2021年温州中学自主招生选拔考试数学试卷(答案)

1、 10/102021年温州中学自主招生选拔考试数学试卷(答案) 2017年温州中学三位一体提前招生选拔考试 数学试卷 考生须知： 1全卷分试题卷和答题卷。试题卷共6页，有3大题，19个小题。满分为150分，考试时间为120分钟。 2请将学校、班级、姓名、座位号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。 3答题时，将试题卷答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷 各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置） 1. 已知

2、p 、q 是有理数，x 2 15满足x 3 px q 0，则p q 的值等于（ ） A 、1 B 、1 C 、3 D 、3 2.如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH -，P ，Q 分别为棱FB ，GC 上的点， 1 2,2 FP PB GQ QC =，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH -裁剪并展开，得 到的平面 图形是（ ） A 一个六边形 B 一个平行四边形 C 两个直角三角形 D 一个直角三角形和一个直角梯形 H G 解：依题意可知， BP= BF= DH， CQ=CG= DH， 又PBCQDH， APBAQCAHD， A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图

3、） 故选B 3. 使得 是完全平方数的正整数 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解 当4n 时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则 38181(31)n k +=+. 因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得2 31k x +=，即 231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂. 又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k =. 因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）. 381n +n 4.如

4、图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（） （A）（B） 4 （C） （D）4.5 解：如图，以CD为边作等边CDE，连接AE. （第4题） 由于AC = BC，CD = CE， BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE，BD = AE. 又因为，所以 . 在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 5.在平面直角坐标系中，满足不等式x2y22x2y的整数点坐标（x，y）的个数为（） （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 解：由题设x2y22x2y，得02. 因为均为整数，所以有 解得 以上共

5、计9对. 6. 设三位数abc n =，若以c b a ,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有（ ） A 、45个 B 、81个 C 、165个 D 、216个 7. 在ABC 中，c b a ,是三角形的三边，且 211 a b c =+，则A （ ） A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.锐角、直角、钝角都有可能 8. 已知二次函数2 (1)y x =+，若存在实数t ，当1x m 时，2 (1)y x t =+的图象总在直线y x =下方，则实数m 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 提示:由图象右移知,当3t =-时,即右移3个单位

6、时,m 可取到最大值4.故选D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分请将答案填在答题卷的相应位置） 9. 由方程|1|1|1x y -+-=确定的折线所围成的图形的面积是 . 10.有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6同时掷这两枚骰子，把这两枚骰子朝上的面的数字分别记为m 、n ，当x 取全体实数，代数式2x mx n +的值恒为正的概率为 11. 已知n 多边形123(4)n A A A A n L 的所有内角都是15?的整数倍，且 123285A A A +=?，其余的内角都相等，那么n 等于_ 提示:7(2)18028515(3)(

7、3)1243,123 n k n n k n k n -?=+-?-=-=- - 37,3 1.10,4n n n n -=-=(舍). 12. 直线1y kx b =+经过点P （3，4）且与直线23y x =和3y x =分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取得最小值时，k+b=_ 13. 如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 . 解：如图，连接AC ，BD ，OD . 第13题图 第14题图 （第13题）

8、 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90. 依题设BFC = 90，四边形ABCD是O 的内接四边形， 所以BCF =BAD, 所以RtBCFRtBAD，因此. 因为OD是O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC， 于是. 因此. 由 ，知 因为， 所以，BA=AD， 故 . 14. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边ABC ，当C (x ,y )在第一象限时，y 与x 的函数关系是_. 2(0)y x =+ 解析：作A 关于x 轴的对称点A (1)-， 由BC =BA =BA 知A 、A 、C 在点B 为圆心的圆上， 再由

9、圆心角与圆周角的关系知:AA C =1 2 ABC =30o， 2(0) y x =+. 2017年温州中学三位一体提前招生选拔考试数学 答题卷 一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 ； 三、解答题：（本大题共5小题，15、16题12分， 17、18题各15分，19题20分，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15、当a 取什么整数时，方程0) 2(222=-+-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根。 16、若满足不等式2 )1(2)

10、1(2 2- +-a a x 的x 值也满足不等式 0)13(2)1(32+-a x a x ，求a 的取值范围。 17、在一个m n ?（m 行，n 列，1m ）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，m 这m 个数出现且仅出现1次） （2）每一行n 个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求()m n ，的所有可能取值。 18、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x22mxm2m的顶点为C.直线y=x2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB交于点M. （1）求线段MB的

11、长； （2）作点B 关于直线MC的对称点B. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使 得QB 2 2QB的值最小，求这个最小值。 M B B A x y C O Q 第18题图 19、如图，H 为ABC 的垂心，圆O 为ABC 的外接圆。点E 、F 为以C 为圆 心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。求证：（1）AC 垂直平分线段HE ； （2）四边形ADBE 是等腰梯形。 F D E H O B C A （第19题图） 参考答案 一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）： 1. A 2. B 3.B. 4. B 5.B 6. C 7.

12、B 8. D 二、填空题（本大题共6题，每题6分，共36分） 9.2 10. 17 36 11. 10 12.3 13. 14.2(0)y x =+ 三、解答题： 15、解：原方程化为0) 2(4222=-+-x x a x x （1）若0422,202 =+-a x x x x 则且 原分式方程恰有一个实根，=0，即=,0828)4(24)2(2 =-=+?-a a 则2 7- =a 于是2 1 21= =x x 但a 取整数，则舍去 （2）若方程04222 =+-a x x ，有一个根为x=0，则a=-4 这时原方程为 0) 2(4222=-+-+-x x x x x x x ，去分母得0

13、222=-x x ，解得x=0，x=1 显然x=0是增根，x=1是原分式方程的根 （3）若方程04222=+-a x x ，有一个根为x=2，则a=-8 这时，原方程为 0) 2(8 222=-+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=-x x 解得x=2，x=-1 显然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根 经检验当a=-4时，原方程恰有一个实根x=1；当a=-8时，原方程恰有一个实根x=-1 16、若满足不等式2)1(2)1(2 2- +-a a x 的x 值也满足不等式 0)13(2)1(32+-a x a x ，求a 的取值范围 解：2 )1(2)1(2 2- +-a

14、 a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-+-a a x a ， 解得122+a x a 0)13(2)1(32+-a x a x ，可化为0)13()2(+-a x x 观察132)13(-=-+a a （1）当3 1 a 时，3a+12解得2x 3a+1 则由题意可得? ?+1 13222 a a a 解得13a 综上所述a 的取值范围是131-=a a 或 17、解：依题意，每列m 个数的和为(1) 1232 m m m += L ，共n 列。又每行m 个数的和为34。 所以，(1) 342 m m n m +?=，2(1)68217m n +=?。 又1m 。所以，()(671)

15、m n =，(332)，(164)，(317)，。 当()(671)m n =，时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。 记i j a 为第i 行，第j 列所填写的数。 当()(332)m n =，时，令1i a i =，234i a i =-。 即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，1时，符合要求。 当()(164)m n =，时，令1i a i =，217i a i =-，3i a i =，417i a i =-。 即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，16；第2列自上而下各行

16、所填的数依次为16，15，14，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。 当()(317)m n =，时， 填写方式如下： 符合要求。 所以，符合题意的填数方式存在时，()m n ，的所有可能取值有3种，分别为： ()(332)m n =，(164)，(317)，。 18、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 22mx m 2m 的顶点为C .直线y =x 2与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB 交于点M . （1）求线段MB 的长 （2）作点B 关于直线MC 的对称点B . 以M 为 圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使 得QB

17、2 2 QB 的值最小，求这个最小值. M B B y Q 解：(1)、y =x 2-2mx +m 2+m =（x -m ）2 +m ， 顶点坐标为C （m ，m ）,点M 坐标为（m ，m +2） y =x 2-2mx +m 2+m 由 y =x +2 x 1=m -1 x 2=m +2 y 1=m +1 y 2=m +4 点A 在点B 的左侧， B （m +2，m +4），则B （m -2，m +4），BM =2 2 (2)、由M 点坐标（m ，m +2），C 点坐标（m ，m ） 可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）-m =2 取MB 的中点N ，点N 的坐标为（m +1，m +

18、3），连接QB 、QN 、QB ， 则MN =12 BM = 2 ，MN MQ = MQ MB ，QMN =BMQ ，MNQ MQB ， QN QB = MN QM = 22，QN = 22QB ，即QB + 2 2QB = QB +QN 当Q 、N 、B 三点共线时QB +QN 最小，(QB +QN )min =B N =10 即QB +2 2QB 的最小值为10 19、如图，H 为ABC 的垂心，圆O 为ABC 的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。求证：（1）AC 垂直平分线段HE ； （2）四边形ADBE 是

19、等腰梯形 证明：方法一： 如图，连结AH ，AE ，EC 。 由H 为ABC 的垂心知，180AHC ABC +=?。 由A 、B 、C 、E 四点共圆，得180AEC ABC +=?。 AEC AHC =。 又CH CE =，CEH CHE =， AEH AHE =，AE AH =。 AC 垂直平分线段HE 。 方法二： 作点H 关于直线AC 的对称点G 。连结AH ，AG ，GC 。D (G ) H O A E F D E H O B C A F D E H O B C A （第19题） 则CG CH =，点G 在以C 为圆心、CH 长为半径的圆上。 又AGC AHC =，H 为ABC 的垂心， 180AGC AHC ABC =?-，A 、G 、C 、B 四点共圆。因此，点G 也在圆O 上。 E 、G 两点重合。 因此，E 、H 关于直线AC 对称，即AC 垂直平分线段HE 。 （2） 连结CF ，BH 。依题意有CE CH CF =。结合D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点，知CD 为圆O 的直径。 DA AC 。 又由（1），以及H 为ABC 的垂心知，HE AC ，BH AC 。因此，B 、H 、E 三点共线。 BE AC 。 9090DCE CDE CBE ACB =?-=?-=。 ?DAE ADB =。 AD/BE