2021年温州中学自主招生数学试卷

1、 6/62021年温州中学自主招生数学试卷 2017年温州中学自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）： 1. A 2. B 3.B. 4. B 5.B 6. C 7. B 8. D 二、填空题（本大题共6题，每题6分，共36分） 9.2 10. 1736 11. 10 12. 直线y 1=kx+b 经过点P （3，4）且与直线y 2=3x 和y 3=x 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当三角形AOB 的面积取得最小值时，k+b=_ 13. 14.2(0)y x =+ 三、解答题： 学校_ 班级_ 姓名_ 座位号_ 装订线 15、当a 取什么整数时，方程 0)

2、 2(222=-+-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根 解原方程化为0) 2(4222=-+-x x a x x （1）若0422,202 =+-a x x x x 则且 原分式方程恰有一个实根，=0，即=,0828)4(24)2(2 =-=+?-a a 则2 7- =a 于是2 1 21= =x x 但a 取整数，则舍去 （2）若方程04222=+-a x x ，有一个根为x=0，则a=-4 这时原方程为 0) 2(4222=-+-+-x x x x x x x ，去分母得0222=-x x ，解得x=0，x=1 显然x=0是增根，x=1是原分式方程的根 （3）若方

3、程04222=+-a x x ，有一个根为x=2，则a=-8 这时，原方程为 0) 2(8 222=-+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=-x x 解得x=2，x=-1 显然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根 经检验当a=-4时，原方程恰有一个实根x=1；当a=-8时，原方程恰有一个实根x=-1 16、若满足不等式2)1(2)1(2 2- +-a a x 的x 值也满足不等式 0)13(2)1(32+-a x a x ，求a 的取值范围 解：2 )1(2)1(2 2- +-a a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-+-a a x a ， 解得122 +a x

4、 a 0)13(2)1(32+-a x a x ，可化为0)13()2(+-a x x 观察132)13(-=-+a a （1）当3 1 a 时，3a+12解得2x 3a+1 则由题意可得?+1 13222 a a a 解得1a 3 综上所述a 的取值范围是131-=a a 或 已知：O 是坐标原点，()P m,n （m 0）是函数k y x = (k 0)上的点，过点P 作直线PA OP 于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点()0A a, (a m ). 设OPA 的面积为 s ，且4 14 n s =+. （1）当1n =时，求点A 的坐标（4分）； （2）若OP AP =，求k 的值

5、（5分）； (3) 设n 是小于20的整数，且42 n k ，求2 OP 的最小值（5分）. D C 在等腰RtABC 中，AC=BC ，点D 在BC 上，过点D 作DEAD，过点B 作BEAB 交DE 于点E ，DE 交AB 于F. （1）求证：AD=DE ； （2）若BD=2CD ，求证：AF=5BF 。 （1）证法（一） 过D作DN/AB交AC于N点 CAD+CDA=EDB+CDA=90， CAD=EDB，又AND=DBE=135， AN=BD，ANDDBE,DA=DE 证法（二）证A、D、B、E四点共圆 (2)过E作EM/BC交AB于M点，则BME=MBD=45，BME为等腰Rt,设C

6、D=a, 则AC=BD=3a，AB=a2 3，BE=a2,ME=2a, 可证MEFBDF,所以MF=BF=2a2 ，AM=2 2 5a ，AM=5BF. 17、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x22mxm2m的顶点为C.直线y=x2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB交于点M. （1）求线段MB的长 （2）作点B关于直线MC的对称点B. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使 得QB 2 2QB的值最小，求这个最小值. M B B A x y C O Q 解：(1)、y =x 2-2mx +m 2+m =（x -m ）2 +m ， 顶点坐标为C （

7、m ，m ）,点M 坐标为（m ，m +2） y =x 2-2mx +m 2+m 由 y =x +2 x 1=m -1 x 2=m +2 y 1=m +1 y 2=m +4 点A 在点B 的左侧， B （m +2，m +4），则B （m -2，m +4），BM =2 2 (2)、由M 点坐标（m ，m +2），C 点坐标（m ，m ） 可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）-m =2 取MB 的中点N ，点N 的坐标为（m +1，m +3），连接QB 、QN 、QB ， 则MN =12 BM = 2 ，MN MQ = MQ MB ，QMN =BMQ ，MNQ MQB ， QN QB =

8、MN QM = 22，QN = 22QB ，即QB + 2 2QB = QB +QN 当Q 、N 、B 三点共线时QB +QN 最小，(QB +QN )min =B N =10 即QB +2 2QB 的最小值为10 如图所示，已知抛物线213 222 y x mx m = -交x 轴于1(,0)A x 、2(,0)B x ，交y 轴于C 点，且120 x x . x y O A C B （第17题图） 2CO m =，2()121OA OB CO +=+， 212()1221x x m -+=?+， 即21212()4241x x x x m +-=+. 整理，得 29810m m -=， 解

9、得 11m =，219 m =-. 0m ，11m =. 抛物线的解析式为213 222 y x x = -. （2）存在这样的点P ，使得APB 为锐角. 213 2022 x x -=，得11x =-，24x =. (1,0)A -、(4,0)B ，而(0,2)C -. 如图所示，连接AC 、BC ，可得25AC =，220BC =，225AB =， 222AC BC AB +=,ABC 为直角三角形. 过A 、B 、C 三点作1O ，则AB 为1O 的直径. 1O 与抛物线都关于直线3 2 x =对称， C 点关于直线3 2 x =的对称点M 是1O 与抛物线的另一个交点， (3,2)M

10、 -. 设P 点的坐标为0 x ，当003x . 解：（1）取90n = 290325n =?，90共有2,3,5三个质因数. 12p =，672902，55b n ，则3355 a b n p = 成立，31135 a a n p p +比成立，则式得证. 由于k 0，k 为整数时，310k n =?有无穷多个， 原命题成立. 18.已知整数a ，b 满足：a b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a 2017时，求a 的最小值. 解：设a b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a +b )24ab = (a b )2， 所以 (2a m )24n 2 =

11、m 2， (2a m +2n )(2a m 2n ) = m 2 . 因为2a m +2n 与2a m 2n 都是正整数， 且2a m +2n 2a m 2n (m 为素数)， 所以2am+2n m2，2am2n1. 解 得a ， . 于是=am . 又a2017，即2017. 又因为m是素数，解得m89. 此时，a =2025. 当时， ， ， . 因此，a的最小值为2025. 19、如图所示，O1与O2外切于点T，四边形ABCD内接于O1，直线DA，CB分别切O2于点E、F，直线BN平分ABF并与线段EF交于点N，直线FT 交弧AT（不包含点B的弧）内于点M求证：点M为BCN的外心 C 解

12、、如图，设AM 的延长线交EF 于点P . 联结AT ，BM ，BP ，BT ，CM ，CT ，ET ，TP . 由BF 与O 2相切于F 点，可得 BFT =FET 由O 1与O 2外切于点T ，可得 MBT =FET 因此，MBT =BFM 于是，MBT MFB ，从而，MB 2=MT MF 同理可得， MC 2= MT MF 又由O 1与O 2外切于点T ，可得 MAT =FET 因此A ，E ，P ，T 四点共圆，从而APT =AET 由AE 与O 2相切于点E ，可得 AET =EFT 因此 MPT =PFM 于是，MPT MFP 从而MP 2=MT MF 由前面可得 MC =MB =MP 从而点M 是BCP 外接圆的圆心.于是 FBP =1 2CMP 而CMP =CDA =ABF 由题意得FBN =1 2ABF 从而FBN =FBP 即点P 与点N 重合.证毕. 1 6=的实数解的个数为（ ）。 ()0A ()1B ()2C ()D 大于2 答 选A 。 设 a b = =，则33 6