非线性电路理论与混沌现象

1、非线性电路理论与混沌现象1目录：一、线性与非线性理论二、混沌三、电路中的混沌现象和蔡氏电路四、混沌电路在通信系统中的应用五、总结2一、线性与非线性理论线性（linear）：指量与量之间按比例、成直线的关系，两个变量之间存在一次方函数关系。非线性（non-linear）：则指不按比例、不成直线的关系，即 变量之间的数学关系，不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性。线性非线性3线性与非线性之间的关系在非线性科学大规模涌现之前，人们普遍认为自然界的任何问题都可以线性地加以解决。现在看来，线性只是局部的，非线性才是普遍存在的，因而直接面对非线性是不可避免的。非线性系统才是最一般的系统。分段线性化局部线

2、性化4在物理学中，非线性问题由来已久。伽俐略的单摆的等时性原理，尽管可用一个其解可以线性叠加的线性微分方程来表示，然而这种简单关系只在很小（Sin ）时才成立；当角增大时，线性微分方程就成为非线性的了。所以，单摆的等时性（线性关系）只是非线性振动的线性近似。19世纪经典力学两大难题刚体定点运动和三体问题曾难倒了不少科学家，也因而推动了经典力学。然而在近代自然科学发展的早期，为了追求目标的简单性，避免数学上的复杂性，物理学家对非线性问题大都做了线性的近似处理。使用了几个世纪的牛顿引力定律是广义相对论的弱场近似。只有当GmM/R mc2时牛顿引力定律才是正确的。5拉普拉斯曾写道：“我们应当把宇宙目

3、前的状态视为其过去状态的结果和未来状态的原因。”拉普拉斯的世界不但是确定的，而且是可预测的。这就是牛顿世界中的决定论。20世纪初，庞加莱首先意识到在确定论系统中有混沌现象的存在，对牛顿严格的决定论提出置疑，拉开了非线性研究的序幕。20世纪50年代，由杨振宁和米尔斯建立的杨米尔斯规范场论是非线性的，并且随后建立起来的弱电统一理论、量子色动力学也都是非线性的。而这些理论与实验符合得很好。物理学家断言：最后的大统一场论肯定也是非线性的。 整个世界，从宇观、宏观到微观本质上都是非线性的。6“通向混沌之路”传统上，人们把信号分为两大类1、确定性信号 这种信号所有时刻的波形都是确定的。2、随机过程 它的波

4、形由概率分布确定。然而，这样的分类忽略了另一类极为重要的信号混沌信号。混沌信号的波形是非常不规则的，表面上看来就象噪声，但实际上它却是由确定性的规则所产生的，这种规则有时是很简单的。虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。7二、混沌混沌现象是发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用。 一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。确定的系统与不确定的未来非线性系统初始值的细

5、微变化造成结果的巨大差差异模拟世界中的初始值的偏移是无法精确描述的，这和数字计算机是有区别的。8混沌现象的提出庞加莱对三体问题进行了深入的探讨，以其巨大的智慧，证明了方程根本不存在数学解析解。他在科学的价值一书中肯定地指出：一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不见的重要结果。系统的运动和变化对初始条件的依赖极其敏感，系统的长期行为似乎有一种不确定性。三体问题：一颗质量很小的卫星（灰尘）在两颗大质量的行星作用下运动。假定行星（灰尘）在它们之间的万有引力作用下绕其联线中心作圆周运动，而卫星（灰尘）质量很小，对行星运动的影响可以忽略。同时假定三个天体在同一平面内运动。现在要问：卫星在两颗行星作用

6、下的运动情况如何呢？9蝴蝶效应（差之毫厘，失之千里）1961年美国气象学家洛伦兹利用他的计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍，但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。10用决定论的方程，找不到稳

7、定的模式，得到的却是随机的结果。混沌现象掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。去许多曾被认为是噪声的信号，其实是一些简单的规则生成的。这些包含内在规则的“噪声”不同于真正的噪声，它们的这种规则是完全可以应用的。11混沌基本特征1、敏感性。表现在对系统结构参数敏感性和对初始条件敏感性。前者是指系统运动状态 依赖于结构参数的变化，后者指初始条件的微小变化将导致系

8、统运动行为的巨大差异。该特点违背了微分方程解对初始条件的连续依赖性，该特点形象的称为“蝴蝶效应” 。122、遍历性。混沌系统的运动在其混沌吸引域内是各态历经的。即混沌轨迹在有限时间能经过混沌区内每一个状态点。3、有界性。混沌是有界的，混沌系统的轨道一直在被称之为chaotic attractor的有界区域内运动，即它在相空间内整体上是有界的。所以从整体上来说混沌系统是稳定的。134、内随机性。混沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏感性造就了它的这一性质，同时也说明混沌是局部不稳定的。5、分维性。是指混沌的运动轨迹在相空间中的行为特征。混沌系统在相空间中的运动轨迹，在某个有限区域内经过

9、无限次折叠，不同于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分维数正好可以表示这种无限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限次的自相似结构。6、普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，它不依具体的系统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如著名的Feigenbaum 常数等。普适性是混沌内在规律性的一种体现。14混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则：1、能量永远会遵循阻力最小的途径2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改

10、变。考虑一个简单的问题：抛出一把硬币，我们如何确定这些硬币的最终状态（正面朝上还是背面朝上） ？有几种方法？我们可以使用经典力学方法来计算这些硬币最终的状态。然而我们也可以使用概率理论来求解这个问题。一个问题可以使用看似没有任何关系的理论来求解。混沌揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、确定性与随机性的统一 , 有序与无序的统一 , 大大加深了人们对大自然的理解。15研究混沌的意义混沌运动的发现，使人们看到普遍存在于自然界而长期视而不见的一种运动形式，从而理解过去难以理解的许多现象。高能粒子加速器中的束流损失、磁约束核聚变装置中等离子体的泄漏、核电站循环水系统可能发生的有害回流等，都与混沌

11、现象有联系。混沌运动的发现提供了一种考虑问题的新角度。如长期天气预报问题、洛伦茨吸引子的发现、大气动力学方程组解对初值的敏感性，动摇了原来以为只要提高计算精度即可解决长期天气预报的想法。而混沌吸引子的遍历性质，恰好可保证许多长时间平均量的稳定性和对初始条件的无关性。因为长期天气预报所关心的是相当长时期以后雨量、温度的平均值，混沌反而增加了长期天气预报的可靠性。163. 混沌运动的研究对用物理学、数学等精确科学方法研究复杂的生命现象有重要启发作用。如各种生物节律，既非完全周期，又非纯粹随机。考察人类的脑电波，发现癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波更接近随机信号。4. 混沌研究

12、改变了人类的自然观。对于统一的自然界，历来有确定论和概率论两套对立的描述体系。牛顿力学建立以来的科学传统推崇确定论体系，而把概率论描述当作不得已而为之的补充。混沌运动对确定性系统本身就存在着内秉随机性的揭示，无疑会使人们从这种人为对立的描述系统中解脱出来，深化对必然和偶然的认识，更全面地认识自然界的统一性。17混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间即原因与结果之间关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意味着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现

13、在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。18混沌信号的判别方法1、时域图法又称波形图法，即画出信号的时间曲线图。如下图，曲线虽然杂乱，但蕴含着规律，随着时间的变化，y 的幅值在一定的范围内随机跳动，这表明混沌行为具有整体稳定性（幅值只出现在一定范围内，从不超过这个范围）和局部不稳定性（随机的跳动）。19相轨迹图法 对于任何动力学系统，都可以设想同一种类型的几何图像。假如你使一动力学系统从某个初始点出发，观察它长期运作的情况，你往往会发现它最终围绕相空间中某个明确的 形状游荡。而且，初始条件的不同选择会导致相同的终末形状。洛伦兹吸引子庞加莱截

14、面法庞卡莱截面法是描述吸引子空间结构的一种方法。对于含多个状态变量的自治微分方程系统，可采用庞加莱截面法进行分析。其基本思想是在多维相空间中适当选取一截面，在此截面上某一对共轭变量取固定值，称此截面为庞加莱截面。则当庞卡莱截面上是一闭曲线时，运动是准周期的；当庞卡莱截面上是成片的密集点，且有层次结构时，运动便是混沌的。20随着高精度电子器件的广泛应用, 电路中出现了大量的非线性现象。已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为, 又不能指导非线性电路的分析与综合, 于是有关非线性电路的理论研究迅速展开,非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起。三、电路中的混沌现象和蔡氏电路蔡氏电路蔡氏电路（英语：C

15、huas circuit），一种简单的非线性电子电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。在1983年，由蔡少棠教授发表，当时他正在日本早稻田大学担任访问学者。这个电路的制作容易程度使它成为了一个无处不在的现实世界的混沌系统的例子，导致一些人声明它是一个“混沌系统的典范”。21蔡氏电路的组成蔡氏电路原理图R=1/GVr蔡氏电路实体图22由常见元件组成的蔡氏二极管蔡氏二极管可以有不同的电压和电流特性，故组成蔡氏二极管的电路也不尽相同一种蔡氏二极管和其伏安特性另一种蔡氏二极管的实现电路23蔡氏电路的特性蔡氏电路的状态方程：(1)24对于固定参数的蔡氏电路，方程(1)确定了一个动态的系统。蔡氏电路可

16、以工作在不同的模式下。例如电路的工作曲线可以是一个稳定的点，可以是一个环，还可以是奇异吸引子251、Period-Doubling Route to Chaos（倍周期分岔道路） 蔡氏电路中的走向混沌之路在右侧的实验电路中除了电阻R的值是可变的以外，其他元件的参数都是固定不变的。其中个元件的参数如下：在这种状态下的蔡氏电路，随着R的减小，其工作状态会从一个稳定的点变化为一个极限环，随着R的进一步减小，一个极限环变为两个极限环再变成四分，八个上面的分歧与变化过程会随着R的不断减小而持续发生，最终走向混沌。具体实验结果如下图：262. Intermittency Route to Chaos（或称

17、为准周期道路） 使用和上面的实验相同的参数，当R进一步减小到系统产生3个极限环时，系统会形成另一种混沌现象：系统产生的信号几乎是周期性的，只是信号中存在一些没有规则的现象。也就是说信号中同时存在周期性的行为与没有规则的行为。产生这种混沌现象的方式为：在前一个实验中当系统产生三个稳定的极限环时，适当增加R的大小。电路所展现的是三个极限环，但信号的相位却在发生变化。273. Period-Adding Bifurcations （阵发混沌道路）使用与前面的电路相同的参数，当减小R的值的时候，电路所展现的状态会发生变化：极限环的个数会依次增加，但在极限环的个数为n和n+1之间的时候电路产生了混沌现象

18、，随着R减小到一定的程度，系统会直接进入混沌状态。这种现象有两种主要的形式：一是极限环是单环的情形：一种是以吸引子的形式展现的：28在上面实验中的蔡氏电路只有一个非线性的元件，也就是蔡氏二极管，而且蔡氏二极管也是本电路中唯一的有源元件（active element）。改变上面实验所使用的电路，将蔡氏二极管替换成有下面特性曲线的元件（曲线的斜率是正的）：将电阻用非线性的元件替换，替换电阻的元件的伏安特性与结构如下：29电路中的元件的参数进行如下更改：Ga = 0.599mS. Gb = 0.77mS. G =1/R = -0.7mS, E= 1V, C2 = 0.3406uF, L = 7.59

19、5mH, Ro = 11.4本次实验将改变电容C1的值，并保持其他元件的参数不变。电路所展现的特性如下：30只含一个运放的可以产生混沌现象的电路第三节介绍的蔡氏电路是最早（1983）可以产生混沌现象的电路，电路中除了蔡氏二极管以外，其他的元件都很常见。虽然说蔡氏二极管可以使用其他的常见元件组成，但依旧比较复杂。这里介绍一个只含一个运放的可以产生混沌现象的基于Jerk Circuit的电路。左侧场效应管的特性电路组成31模拟与实验结果：第一行是matlab 的模拟结果，第二行是pspace的模拟结果，第三行是实际实验中示波器的输出。32四、混沌产生电路在通信系统中的应用1983年蔡氏电路的发明，

20、开创了混沌研究的新纪元，掀起了混沌研究的新高潮。然而，真正利用混沌进行通信，则必须解决混沌系统的同步问题。1990年，美国海军实验室的Pecora和Carroll的研究结果表明，在一个混沌信号的驱动下，两个结构相同的混沌系统之间可以达到同步，这样就出现了驱动一响应同步方式。随着混沌同步概念的提出，利用混沌进行保密通信就成为当前混沌研究领域的热点。在模拟通信方面，出现了混沌掩盖和混沌参数调制方法，而在数字通信方面，利用混沌载波键控以及不稳定周期轨迹来进行二进制数字编码。另外，用混沌码序列进行扩展频谱通信有着广阔的发展前景。33混沌通信技术从1992 年至今已经历了4 代。1、混沌掩盖和混沌键控属

21、于第一代,这类技术安全性能非常低,实用性较低;2、混沌调制属于第二代技术,尽管第二代系统的安全性能比第一代高,但是仍然达不到满意的程度;3、混沌加密技术属于第三代,该类技术将混沌和密码学的优点结合起来,具有非常高的安全性能;4、基于脉冲同步的混沌通信则属于第四代。34混沌电路的优点对给定的一个混沌吸引子，只对系统做小的扰动就可以得到某个预期的周期行为是控制混沌的基本含意。通过对系统的参数作小改变就可以使其稳定化于不同的周期轨道，而且随着时间的增长，改变前后的轨迹区别会成指数级的增长。只以很低的能量消耗就能在同一混沌系统的不同周期轨道之间实现转换，产生各种各样的稳定化的周期运动。对于线下系统而言

22、这是不可能的。 混沌系统的这种敏感性还有利于迅速地引导轨道进入期望的状态。混沌这个“麻烦”的现象其实具有优越性，与之相反，在非混沌系统中，即只有稳定的周期运动的系统中，小扰动控制只能轻微地改变系统的动力学，如果不用大的控制或改变系统，我们无法摆脱业已存在的系统行为。由于稳定的周期运动可塑性差缺乏任意选择状态的灵活性，因此在设计系统中，存在混沌状态对取得易变性是有益的。混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。35实现混沌通信的方式有很多，其中一种是使用混沌信号对信号进行遮掩。蔡氏混沌掩盖通信的基本原理是利用具有逼近于高斯白噪声统计特性的混沌信号x(t)在驱动端对有用信息s(t)进行混沌掩盖，在

23、响应端利用自同步后的混沌信号去掩盖，恢复出有用信息s(t)，掩盖方式可以分为三种：相加，相乘，加乘结合方式。原理图如下：一种使用蔡氏电路的混沌通信系统36混沌通信系统中非常重要的一个环节就是混沌同步，混沌信号不同步将无法从信号中获得有用的信号这也是混沌加密的特点。下面的几张图将展示混沌信号同步对有用信号提取的影响：用于信号遮掩的混沌信号发送与接收端混沌信号 不同步时获得的信号发送与接收端混沌信号 同步时获得的信号37混沌开关又称混沌参数调制. 混沌参数切换方案是混沌参数调制中最简单的方案 , 是针对数字信号的的通讯方案 , 其信息信号为二进制比特流. 该方案的基本思想是在发射端用含信息的二进制

24、波形取调制发射机的某一个或更多的参数. 在接收端 , 参数调制在接收到的驱动信号和接收机自身再生出来的驱动信号之间产生误差 , 误差信号的幅度取决于调制. 根据同步误差 , 可以决定接收到的信号所对应参数 , 进而解码.混沌理论在数字通信系统中的应用38混沌同步的定义39精确同步（完全同步）：相位同步：40延迟同步：射影同步：41发送端信号混沌加密信号接收端提取的信号混沌加密通信系统的一个优点是经混沌系统加密后的信号接近于白噪声信号，降低了信号被监听的可能性。42混沌在其他地方的应用混沌在数字水印中的应用：混沌由于其自身的优点 : 易于产生 , 仅需采用有限维混沌映射方程 , 水印信号生成速度快; 数量众多 , 选择混沌系统不同参数和初值的即可得到互相关性几乎为零的两序列; 保密性好 , 如果不知道混沌模型及相关参数 , 几乎不可能破译. 因此 , 混沌数字水印信号可以有效地解决实际应用中大量数字水印的产生问题. 同时在水印嵌入时引入扩频通信原理 , 水印的鲁棒性可以得到明显的增强.混沌理论在雷达中的应用混沌在杂波分析与建模、信号检