非线性振动漫谈

1、非线性振动漫谈小组成员：1Four Parts1 非线性科学概述2 线性系统与非线性系统的对比3 非线性振动的求解方法 3.1 定性分析法 3.2定量求解方法 3.3数值求解法4 几种求解方法的对比21 非线性科学概述 牛顿方程建立以来，人们应用线性微分方程研究物体的运动取得了许多重要的成果。实际上，不仅是力学，还包括其他物理学领域，人们长期研究的主要是线性理论。 自20世纪60年代以来，人们在实验研究中发现，在自然科学的许多领域都存在一些线性理论无法解释的现象，开始是非线性振动后来又在流体力学和声学领域，接着是伴随激光而诞生的非线性光学.非线性向人们展示了一副令人惊奇、甚至是不可思议的图景。

2、32 线性系统与非线性系统的对比线性系统非线性系统函数值对自变量的取值精确度不敏感，亦即相应于自变量的微小变化，函数值也只会产生微小的变化。满足线性叠加原理初始值具有高度的敏感性（蝴蝶效应）各个子系之间有着不可忽略的相互作用，因而在非线性的情况下线性叠加原理并不满足45 3 非线性振动的求解方法3.1定性求解法多自由度的运动方程一般可以写为令多自由度的运动方程可以写为通过状态空间中一个确定的点，一般只有一条确定的轨线。状态向量6平衡点及平衡点的稳定性的点称为奇点或平衡点。7单自由度状态方程在平衡点邻域的线性化单自由度系统的状态方程式线性化后其中8平衡点领域中的相图及平衡点的类型做线性变换讨论：

3、（1)1，2是相异的实数 如果2110不稳定的结点。 如果201鞍点9图1渐近稳定结点 图2 鞍点（2）如果1，2是相等的实数1=20不稳定10（3）如果1，2是共轭复数令1=（+i),2=（-i),为实数，其解为 做线性变换在（v1,v2)平面上这是一对数螺旋线0逆时针 0顺时针0向外旋，不稳定焦点11=0轨线称为图4所示的同心圆中心 图3稳定焦点 图4中心12133.2定量求解法1 解析求解法体系的拉格朗日函数为T=2142.微扰法微扰法又称逐级近似法摄动法，它适于求解形如（1）153.3数值分析方法数值分析方法得到广泛应用一个原因是因为非线性分析理论发展的不完善性，对很多问题无法进行理论

4、上的分析；另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的提高使得数值分析成为可能。 常用的数值分析方法有纽马克（Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、RungeKutta法等。由于篇幅有限这里不再详细介绍。 164 解析法，微扰法和数值计算法的比较解析法能彻底解决问题，但缺点是试用的范围很有限，对大多数问题是无能为力的。微扰法比解析法试用的范围更广，只要求待求对象是一个简单系统加上小的扰动。只是数学上略烦，而且对其他体系不适用。更一般的体系，由于其复杂性，以上两种方法都将失效，必须采用数值计算才能求解。这三种方法实际上都是实际科研工作中的基本手段，一个课题的研究过程往往是先解析地建立

5、一些基本规律，再用微扰法有效地解决更细致的问题。最终靠强大的数值计算研究给研究体系的所有细节。17ReferenceWilliam T. Thomson &Marie Dillon Dahleh. Theory of Vibration with applications(Fifth edition)M.北京：清华大学出版社，2005：436-456.李有堂.机械振动理论及应用M.北京：科学出版社，2012：440-455黄永念.非线性动力学引论M.北京：北京大学出版社，2010:19-22董键.Mathematica与大学物理计算M.北京：清华大学出版社，2010:11-47庄礼贤，尹协远，马晖扬.流体力学M.合肥：