整理拉格朗日中值定理的几种特殊证法

1、精品文档届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学 号:姓 名:班 级:指导教师:专 业:系 别:完成时间：年月精品文档精品文档学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文关于拉格朗日中值定理的几种特 殊证法是我个人在导师 王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写的研究成果， 也不包含为获得长治学院或 其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。 所有合作者对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学

2、 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。签名： 日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果， 已经审 阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内 容的一致性和准确性。指导教师签名： 时间： 精品文档精品文档摘要拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用 ， 本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理，介绍了其几种特殊的证明方法.首先 本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明 ，其中在 分析法构造辅助函数中应用了推理法、原

3、函数法、行列式法及弦倾角法 ，在几何 法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法 ；其次,应用了 区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明 ； 最后，本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻 ，还将其应用到求极限，证明函 数性态等具体问题中.关键词：拉格朗日中值定理；区间套定理；巴拿赫不动点定理精品文档精品文档Several Special Proofs on theLagrange s Mean Value Theorem08404141 ZHAO Xia-yan Mathematics and Applied MathematicsTutor WA

4、NG Jian-zhenAbstractLagrange s mean value theorem plays an important role in some theory educations in Higher algebra and Mathematical analysis, this thesis introduces several particular methods proving methods in order to comprehend Lagranges mean value theorem precisely. First of all, applying ana

5、lysis and geometry with constructing auxiliary function to prove Lagranges mean value theorem, in the aspect of analysis, the methods of constructing auxiliary function include the reasoning method, original function method, the determinant method and chord angle method, In the aspect of geometric,

6、the methods of constructing auxiliary functions include the poor construction method, area structure method and the rotating coordinate transformation method; secondly, also use the theorem of nested interval proving method and the Banach fixed point theorem to prove it; finally, this article applie

7、s Lagranges mean value theorem to the specific question in the limit, proving the function of state and other issues.Key Words: Lagranges mean value theorem; The theorem of nested interval; The Banach fixed point theorem精品文档精品文档 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark13 o Current Document .引言 1 HYPERLINK

8、 l bookmark15 o Current Document .利用分析法构造辅助函数 1 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document .利用几何法构造辅助函数 4 HYPERLINK l bookmark19 o Current Document .利用区间套定理证明 6 HYPERLINK l bookmark21 o Current Document .利用巴拿赫不动点定理证明 7 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document .拉格朗日中值定理的应用 8 HYPERLINK l bookmark37 o

9、Current Document .结语 11 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 参考文献 12致 谢 12精品文档精品文档关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法08404141赵夏燕数学与应用数学指导教师王建珍1.引言微分中值定理作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分 学的核心理论.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定 理，它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具，其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理的条件和结论可以 看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理是其推

10、广.首先回顾下拉格朗 日中值定理以及它的预备定理一罗尔中值定理.定理1.1 (罗尔中值定理)1若函数f满足如下条件：(i ) f在闭区间a,b上连续；f在开区间(a,b)内可导;f (a) = f (b);则在(a,b)内至少存在一点 匕使得f ( ) = 0.定理1.2 (拉格朗日中值定理)2若函数f满足如下条件：(i ) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点使得f( )=f(b) - f.b - a课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法，在此基础上，下面给出了拉格朗日 中值定理的几种特殊证明方法.2.利用分析法构造辅助函数拉格朗日中值定

11、理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同，二者的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等，基于这种关系，自然想到构造一 个辅助函数，使它满足罗尔中值定理的条件，从而是否由罗尔中值定理的结论导精品文档精品文档出拉格朗日中值定理的结论呢？事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数F(x)要在a,b的端点有相同的函数值,即F(a) = F(b),以下将对如何利用分析 法构造辅助函数进行深入的分析.证明方法2.1 (推理法)由拉格朗日中值定理结论f( ) = f(b)-f(a) ,可知其右端是一个常数，故 b -a可设 XU11al = k ,贝U有 f (b) - f (a) = k(b - a)

12、,即 f (b) - kb = f (a) - ka仔细观 b -a察其特点，不难发现一个能使F (a) = F (b)的新函数：F (x) = f (x) kx ,故F (x)就是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下：令F(x)= f(x) -kx,其中k= f(b)- f,由题设可知，F(x)在a,b上连续, b - a在(a,b)内可导，且F(a) =F(b),即F(x)满足罗尔中川定理,故在(a,b)内至少存在一点巳使得F注)=f ) -k=0,即f=f(b) f(a)证毕.b - a证明方法2.2 (原函数法)这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅 助函

13、数.由拉格朗日中值定理的变形f(b) - f(a)= f )(b-a)得f ( )(b-a)-f(b)-f(a) =0,令 =乂得 f (x)(b-a)-f(b)-f(a) =0,两边积分可得f (x)(b - a) - f (b) - f (a)x c =0,取c = 0得f(x)(b -a) -f (b)- f(a)x=0,若令F x = f(x)(b-a)-f(b) - f(a)x,容易验证F(a) = F(b) =bf(a)-af(b),知F(x)满足罗尔中值定理的条件，所以F(x )就是所求的辅助函数，证明过程如下：令 F (x )= f (x)(b -a) - f (b) - f

14、(a)x, x w a,b,因为函数在闭区间a,b内连续，在开区间(a,b)内可导，且F(a) = F(b),所以至少存在一点-e (a,b),使得精品文档精品文档F，) =0,又 F)= f 仕)(b a) f (b) f(a),所以即住)=一 f ,证 b - a毕.证明方法2.3 (行列式法)a f(a) 1由于想得到F (a) = F(b),故可根据行列式的性质3,设F(x)=b f (b) 1,x f (x) 1所以可以得到辅助函数并且满足F(a) = F(b) = 0.证明如下：a f(a) 1设F(x)=b f(b) 1 xwa,b,则由行列式的性质可得F(a)=F(b)=0,所

15、 x f(x) 1以F仅湎足罗尔中值定理，因而至少存在一点Xw (a,b),使得FK) =0,又aF (x)=b1f(a) 1 f(b) 1 f (x) 0f (a) - f(b) 0f(b) 1 = f(a)-f(b)+ f(x)(b-a), f (x)0所以 F 住)=f (a) f (b) + f )(b a) =0,即 f 仕)=f(b)- f(a). b -a证明方法2.4 (弦倾角法)目的是为了得到F (a )= F (b),设连接连续曲线L : ( x, f (x) |axb,两端点A和B的弦为AB (图1),其倾倾斜角为0 ,则2sini tan? =rcosJIJT一 8 一

16、 ,2f (b) - f (a)b。a也即有f b cos r - bsin 二-f (a) cos 二-a cos ,所以令F(x)= f (x) cos6 -xsinB ,如此所得到的辅助函数F(x)就能满足要求,证 明如下:精品文档精品文档设 F(x) = f (x) cose -xsin 8 ,其中曲线 L : ( x, f (x) | a x b,如上图所示,且一二 日 0,在闭区间a + %b 一名上构造自映射f (b) - f (a)Ax = x - f (x)-.b -a可以证明A是一个压缩映射，事实上，对于xx2Wa + %b-4，不妨设xi 0,从而一定存在 一个数九w (

17、0,i),使得0 ：二, (x2 - xi):二 f (x2) - f (xi),因此Ax2 - Axi W|x2 -xi(i-九)，所以A是闭区间a + w,b-可上的压缩映射，由引 理3得，存在唯一的一点 S(a,b),使得AU,于是f (b) - f (a)= f (), b - a故定理得证.拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都 起到了化繁为简的作用.求极限由拉格朗日中值定理指出，如果f在a,b连续，在(a,b)可导，则有f (b) - f (a) = f ( )(b - a) a :,匚：,b , 因此对_x (a,b),有f (x

18、) - f (a) = f ( )(x - a) a :二 x ,(i)精品文档精品文档公式(1)表明，求某些差式的极限，可转化为求积式型的极限，以化简极限的计算 或解决某些运算，用别的方法求不出极限式子.当然也要具体情况具体分析，并不 是所有差式型的极限都能适合于运用中值定理，应以简便为原则选用.n_):：问题6.1.1 求 lim n2(Vx -n11x)(x 0).解 令f (t) =x,，则对任何自然数n, f(t)在，J上满足拉格朗日中11 .值定理的条件，而且f(t) = xtinx是t上的严格单调函数，因而在，-上由拉格朗日中值定理，得.2n2 (Vx _*x) = n2 f (

19、) - f () = n2 f )(- ) =-x- in x ,n n 1n n 1 n(n 1)11 一,当 nT +i时，-t 0,n 1 nn2故原极限=lim x in x = in x .n，二n(n 1)证明不等式证明不等式的方法有很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定能解得出 来，例如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函 数增量形式等的题型.这时如果考虑用拉格朗日中值定理，会比变较容易简单.问题6.2.1 证明 sin xsin y E x - y .证明 设f(x)=sinx,显然f(x)在x,y上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在-(x, y),

20、使得 f (x) - f (y) = f (：)(x - y),即sin x -sin y = (x - y)cos ,又因为cos：W1 ,因止匕有 sin x -sin y a时，f (x) 0.证明 W a,由已知得f(x)在a,xj上满足拉格朗日中值定理，其a, xj ,使 f d)f (a) = f 饪)仅1 a),因为 f F) a 0 , xa a 0 ,所以f 的)=f ( -)(Xi -a) 0 ,所以 Vxi a ,有 f (xj a 0,即 Vx w (a,z),有f(x) 0.6 .5估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便.特别是二阶及二阶 以上的导函

21、数估值时.但对于某些积分的估值，可以采用拉格朗日中值定理来证 明.问题6.5.1 设f *(x)在a,b上连续，且f (a) = f (b) = 0 ,试证明(I f (x) dxmabf(x)证明 若f (x)三0,不等式显然成立.若f (x)不包等于0,存在c w (a, b),使max f (x) = f (c),在a,c及c, b上分别用拉格朗中值定理，得精品文档精品文档f ( 1) = 3, f (Q =c 一 af(c)c - b从而b|f ”(x)dx 之。f “(x)dx占 L f “(x)dx = f 代L_2,1f (c)(b-a)(b 一 c)(c 一 a)再由(c-a)

22、(b -c) 0)收敛.n证明 作辅助函数f (x) = J，则f (x)=-喂，当n之2时，在Sn,Sn上用拉格朗日中值定理，可得=f ( n ) ( Sn/，n ：:- Sn),f(Sn) - f (Sn)Sn Sn 4于是an an _ 1 z 11 、S1 越 ” _R(S，6)snnsn 1 sn由一 1(4-4)收敛网，可得所证.n： ， Sn7.结语本文初步探讨了拉格朗日中值定理定理的几种特殊证法， 其中给出了分析法 构造辅助函数、几何法构造辅助函数、区间套定理法和巴拿赫不动点定理法.几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲 同工之妙；区间套定理法

23、和巴拿赫不动点定理法，它们不需要构造辅助函数，也可 以证明，虽说是一种很好的证法，但是比较抽象难懂.最后对拉格朗日中值定理在 求极限、证明不等式、证明等式、证明函数性态、估值问题、证明级数敛散性六 方面的应用做了简单的介绍，从而使我们加深对拉格朗日中值定理的认识.精品文档精品文档参考文献华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.第三版.北京：高等教育出版社,2001.同济大学应用数学系主编.高等数学（上册）M.第五版.北京：高等教育出版社,2002.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数M.第三版.北京：高等教育出版社,2003.9.许在库.用区间套定理证明 Rolle定理Lagrange定理J.安徽大学学报，2003.27（2）: 18- 21.张恭庆，林源渠.泛函分析讲义：上册M.北京：北京大学出版社，2003.5.周建伟.微分几何M.北京：高等教育出版社,2008.4.程其襄等编.实变函数与泛函分析基础M.第三版.北京：高等教育出版社,2010.6.