勾股定理的几种推广

1、科研论文 勾 股 定 理 的 几 种 推 广姓 名： 项 继 宇 学 校： 韶山市银田学校 学 段： 初中 学 科： 数 学 手 机：勾股定理的几种推广摘要：本文利用联系的观点，发散思维，从不同的角度来理解勾股定理和发现问题，分别从射影，质点的运动，几何的割补思想，代数，数列等角度，尝试把勾股定理推广到更一般的情形，得到了一些结论，供大家参考。 关键字：勾股定理 推广几何学家陈省身说过，中学几何中最重要的定理就是三角形内角和定理和勾股定理，其他定理就没有那么重要了。 勾股定理作为中学阶段一个重要的定理，有着广泛的应用，是度量几何发展的光辉成就。本文尝试从不同的角度理解

2、勾股定理，从不同角度推广勾股定理，由低维向高维的推广已有很多文章研究，本文将不再重述：在RtABC中,a,b是直角边,c是直角边， 称之为勾股定理。在勾股定理中，把b看成是底a上的高，勾股定理反应了底a和高b,与 另一边c 之间的关系。在一般的三角形中呢？ 定理1： 任意三角形中，锐角（或钝角）所对边的平方等于另两边的平方和 减去（加上）这两边中一边与另一边在这边上射影乘积的二倍。证明：如图d 是a 上的高，有勾股定理可得： 故：其中：是b在a 上的射影。在锐角三角形中，证明方法同样。质点A沿某一方向移动b后，转动90再移动a ，这时质点A的位移的长度 c,可表示成：。现考虑：点 易知： 即为

3、余弦定理。实际上定理1和余弦定理本质是相同的。 质点（假设两次转动的方向相同，在同一平面内） 如图：a,b,c表示向量，设 可以看到与余弦定理有着很好的相似性，也可以继续推下去。这里由于转动方向和角度的不确定性，采用向量的方法总是可求的，注意在空间中可能较为复杂，在三维空间中向量可能是空间的，这时夹角不能有已知角度来确定，后文中我们给出一个与角度无关的边的等量关系。 勾股定理的几何推广勾股定理的发现源于土地丈量过程中产生的割补思想。在直角三角形ABC中，以每条边为边长向外做一个正方形，两直角边产生的正方形的面积和等于斜边产生的正方形面积。源于这种思想，我们试图推广到任意三角形。定义：在任意AB

4、C中如图，分别以两个较短边为边长，向外部做一个正方形，把ADE称为ABC的补三角形。直角三角形的补就是直角三角形。锐角三角形的补是钝角三角形，钝角三角形的补是锐角三角形。 定理2：分别以三角形两条较短边（交点为A）为边长的两个正方形面积的和与补三角形的外接圆过A点的直径与最长的边组成平行四边形的面积相等。 证明：如图：ABC的补三角形为,设 的外接圆半径为R。 延长FA到G，使得FA=AG，连接GE,GD 易知： 且ACEG,ABDG均为平行四边形。 不妨设 则： 故： 得证。实际上在这里平行四边形ACEG,ABDG分别于两个正方形同底等高，故面积相等。对勾股定理的几何推广有许多的方式，主要的

5、思想都是一样的。勾股定理的代数推广。一个自然的问题：在Rt ABC中，c为斜边，有, 两个式子能不能合成一个式子？定理3：在ABC中，a,b,c分别表示三边，设a为最大边，存在k1，使得成立。 证明：构造函数，其中a,b,c是三角形的边长。显然都是大于0小于1的。设, 单调减小。注意到： 所以存在使得成立。. 定理4：在ABC中，设a为最大边，存在k1，使得成立，（1）若为锐角三角形的充分必要条件是： k2（2）若为直角三角形的充分必要条件是：k=2（3）若为钝角三角形的充分必要条件是：1k1使得成立。 证明:考察函数 易知，单调减小， 所以存在使得成立。 定理5在空间中同样适用。同时我们也必

6、须指出，k 我们在理论上证明了总是存在的，但实际中并不好求，着也是局限所在。5.若分别以1，1为直角三角形两直角边，可得斜边为，再以1，为两直角边，得三边为，这样总是以较大两个数为直角边，迭代下去，可得一个数列。 若记，试求 记,为著名的斐波那契数列：则，所以=斐波那契数列在实际优选问题有很大的用处，有许多性质，借此我们也可以来研究以上数列的性质。有趣的是黄金分割点！注意若取不同的初始值，由特征函数法，数列的通项总是可求的。若用直角三角形把上述数列的生成过程表示出来，那最后的图形类似于分形几何中的勾股树，实际上勾股树的生成方法也与此类似。在直角三角形中，如果三边都是整数，则称为一组勾股数，勾股数也有很多有趣的性质，例：大于等于3的奇数总是能找到其他两个整数构成勾股数；大于等于4的每一个偶数，也总能构成勾股数；在勾股数中至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数，至少有一个是5的倍数等，在这里就不证明了。