2021-2022学年上海市第四中学高二数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知为虚数单位，实数满足，则A1BCD2已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）ABCD3已知双曲线的实轴长为1

2、6，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ( )ABCD4刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，九章算术中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）A24BC64D5下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概

3、率为（）（ ）ABCD6某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A10B11C12D167数列an中，则anA3333B7777C33333D777778若6名男生和9名女生身高（单位：）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为( )A179，168B180，166C181，168D180，1689在正四棱锥中，直线与平面所成的角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）ABCD10已知复平面内的圆：，若为纯虚数，则与复数对应的点（ ）A必在圆外B必在上C必在圆内D不能确定11已知

4、函数的图象关于直线对称，当时，若，则的大小关系是ABCD12已知，则等于( )A-4B-2C1D2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在平面直角坐标系中，已知点满足，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是_.14如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为_ _15要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 （以数字作答）16已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(

5、2X4)=0.6826，则p（X4）= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知关于的不等式的解集为（1）求实数的值；（2）求的最大值.18（12分）如图，在四棱锥中，平面，且，.（1）求证：；（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.19（12分）已知数列满足，且.（）求，的值；（）是否存在实数，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.20（12分）在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

6、（1）求曲线，的极坐标方程；（2）曲线：（为参数，），分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.21（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.22（10分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：利用复数相等求出值，再由复数模的定义求得模详解：由已知，故

7、选D点睛：本题考查复数相等的概念的模的计算解题时把等式两边的复数都化为形式，然后由复数相等的定义得出方程组，即可求得实数2、B【解析】将点P带入求出a的值，再利用公式 计算离心率。【详解】将点P带入得，解得 所以【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。3、A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.4、B【解析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两

8、个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为故侧面积为即需要的茅草面积至少为选B5、D【解析】首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：因为直角三角形的斜边为，所以，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.所以图形总面积，所以.故选：【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.6、D【解析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解【详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则在样本中故选D【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题7、C【解析】分别

9、计算a1、a2、a3归纳出an的表达式，然后令【详解】an=111a3猜想，对任意的nN*，an=111【点睛】本题考查归纳推理，解归纳推理的问题的思路就由特殊到一般，寻找出规律，根据规律进行归纳，考查逻辑推理能力，属于中等题。8、C【解析】根据平均数和中位数的定义即可得出结果.【详解】6名男生的平均身高为,9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位数为168.故选:C.【点睛】本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难度容易.9、C【解析】试题分析：连接交于点，连接.因为为中点，所以，所以即为异面直线与所成的角因为四棱锥为正四

10、棱锥，所以，所以为在面内的射影，所以即为与面所成的角，即，因为，所以所以在直角三角形中，即面直线与所成的角为故选C考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论10、A【解析】设复数,再利用为纯虚数求出对应的点的轨迹方程,再与圆：比较即可.【详解】由题,复平面内圆：对应的圆是以为圆心,1为半径的圆.若为纯虚数,则设,则因为为纯虚数,可设,.故故 ,因为,故.当有.当时,两式相除有,化简得.故复数对应的点的轨迹是.则所有的点都在为

11、圆心,1为半径的圆外.故选：A【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.11、D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.12、D【解析】首先对f（x）求导，将1代入，求出f（1）的值，化简f（x），最后将x3代入即可【详解】因为f（x）1x+1f（1），令x1，可得f（1）1+1f（1），f（1）1，f（x）1x+1f（1）1x4，当x3，f（3）1故选：D【点睛】本题考查导数的运用，求出f（1）是关键，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析

12、】设，由圆的切点弦所在直线方程可知的方程为，进而可求圆心到距离，从而求出弦长，结合已知可求出弦长的取值范围.【详解】解：设，当时，此时过点与圆相切直线的斜率，则过点与圆相切直线方程为，即，当时，此时切线方程或满足.综上所述，过点与圆相切直线方程为；同理，过点与圆相切直线方程为，设，则直线的方程为，此时圆心到距离.所以.由可知， ，则，所以.故答案为: .【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的切线，考查了弦长的求解.在圆中求解弦长时，通常是结合几何法，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求解弦长.14、【解析】设正方形的边长为1,则扇形的面积为，所以，它落在扇形外正方形内的概率为.15、

13、288.【解析】解：数学课排在前3节，英语课不排在第6节，先排数学课有种排法，再排最后一节有种排法，剩余的有种排法，根据分步计数原理知共有=288种排法.16、0.1587【解析】P(3X4)=12P(2X4)=0.3413,观察如图可得,P(X4)=0.5-P(3X4)=0.5-0.3413=0.1587考点：正态分布点评：随机变量N(,2)中，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）4【解析】（1）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（2）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值【详解】（1）由，得则解得,（2）当且仅当，即时等号成立，

14、故18、（1）见解析（2）在线段上,存在一点,使得二面角的大小为，且与平面所成角正弦值为【解析】（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于此得出；（2）设，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐标，则即为与平面所成角的正弦值.【详解】（1），平面，平面，平面，；（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，设，设平面的法向量，则，即则，又平面的法向量为，解得：或（舍），平面的法向量为，设与平面所成角为，则.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的计算

15、，解题时要建立合适的坐标系，利用空间向量法来计算，另外就是对于动点的处理，要引入合适的参数表示动向量的坐标，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题19、（），；（）存在实数，符合题意.【解析】（）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；（）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.【详解】（）因为，整理得，由，代入得，.（）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.当时，当时，由解得：，.下面用数学归纳法证明：存在实数，使对任意正整数恒成立.（1）当时，结论显然成立.（2）当时，假设存在，使得成立，那么，当时，.即当时，存在，使得成立.由（1）（2）得：存在实数，使对任

16、意正整数恒成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，比较综合，难度较大.20、（1），. （2）【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求出；（2）先求出曲线的极坐标方程，分别与曲线，的极坐标方程联立，即可求出，进而得到，由三角函数求值域的方法即可求出取得最大值【详解】（1）因为，的极坐标方程为， 的普通方程为，即，对应极坐标方程为（2）曲线的极坐标方程为（，），设，则， 所以， 又，所以当，即时，取得最大值【点睛】本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程的互化，直线的普通方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程和的几何意义的应用

17、，涉及三角函数知识的运用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题21、（1）见解析；（2）【解析】（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，知，.设平面的法向量为，由，得，不妨设，得.又，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”