上海复旦附中2022年数学高二下期末调研试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分

2、之间的人数约为（ ）A150B200C300D4002若，；，则实数，的大小关系为（ ）ABCD3已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD4在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（ ）ABCD5下列函数既是偶函数，又在上为减函数的是（ ）ABCD6设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是()ABCD7函数f(x)3sin(2x)在区间0，上的值域为( )A，B，3C，D，38小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）A72B56C4

3、8D409下列说法正确的是（ ）A命题“”的否定是“”B命题“已知，若则或”是真命题C命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题D“在上恒成立”在上恒成立10已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD11已知的展开式中的系数为 5，则（ ）A4B3C2D-112已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数z满足，则_14已知，用数学归纳法证明时，有_15已知，且，则_16在平面直角坐标系中，抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_.三、解答题：共

4、70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为降低养殖户养鸭风险，某保险公司推出了鸭意外死亡保险，该保单合同规定每只幼鸭投保2元，若生长期内鸭意外死亡，则公司每只鸭赔付12元.假设鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，且每只鸭是否死亡相互独立.若某养殖户养鸭3000只，都投保该险种.（1）求该保单保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡的只数；（2）求该保单保险公司平均获利多少元.18（12分）已知二次函数 ，设方程有两个实根 （）如果，设函数的图象的对称轴为，求证：；（）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围.19（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范

5、围20（12分）为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，是其中心，是椭圆的长轴，是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在上选两点，使，沿、铺设管道，设，若，（1）求管道长度关于角的函数及的取值范围；（2）求管道长度的最小值.21（12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的直线方程22（10分）（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

6、1、C【解析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数【详解】，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为故选C【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题2、A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别确定，的范围，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.3、A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.【详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小

7、题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.4、A【解析】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.5、B【解析】通过对每一个选项进行判断得出答案.【详解】对于选项：函数在既不是偶函数也不是减函数，故排除；对于选项：函数既是偶函数，又在是减函数；对于选项：函数在是奇函数且增函数，故排除；对于选项：函数在是偶函数且增函数，故排除；故选：B【点睛】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.6、C【解析】求出椭圆上的点与圆心的

8、最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【详解】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则， 即，当 时，故的最大值为.故选C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.7、B【解析】分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.8、A【解析】分别找出从家到水果店，水果店到

9、花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可【详解】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有（种）【点睛】本题考查了排列组合中的乘法原理属于基础题9、B【解析】A注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D根据对恒成立问题的理解，由此判断真假.【详解】A“”的否定为“”，故错误；B原命题的逆否命题为“若且，则”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C原命题的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，因为时，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；

10、D“在上恒成立”“在上恒成立”，故错误.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同.10、B【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角，可得1，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.详解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，由过一、三象限的渐近线的倾斜角，tantan，1，13，21+4，即2e24，解得e2，故选：B点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或

11、不等式)求解11、D【解析】将化简为：分别计算的系数，相加为5解得.【详解】中的系数为： 的系数为： 的系数为： 故答案选D【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.12、C【解析】求导计算处导数，画出函数和的图像，根据图像得到答案.【详解】当时，则，；当时，则，当时，；画出和函数图像，如图所示：函数有3个交点，根据图像知.故选：.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数图像是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出复数，代入模的计算公式得.【详解】由，所以.【点睛】本题考查复数的四则运算及模的

12、计算，属于基础题.14、【解析】根据题意可知，假设，代入可得到，当时，两式相减，化简即可求解出结果。【详解】由题可知，所以故答案为。【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明不等式过程中的归纳递推步骤。15、0.4【解析】分析：先根据正态分布曲线得，再求，最后求.详解：根据正态分布曲线得,所以,所以0.5-0.1=0.4.故答案为：0.4.点睛：本题主要考查正态分布图，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.16、【解析】由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出的值，即可得到渐近线方程【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，解得，故其渐近线方程

13、为，即.【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和的值，然后可得渐近线方程，较为基础三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）500只；（2）600元【解析】（1）根据题意，得到保费的总额，再除以每只鸭赔付的金额，得到答案；（2）根据鸭在生长期内的意外死亡率，得到需赔付的金额，然后根据总的保费，得到平均获利.【详解】（1），答：该保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡只数为只.（2）因为鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，所以需赔付的金额为，总保费为，所以得到平均获利为.答：该保单保险公司平均获利元.【点睛】本题考查求随机变量的均值，属于简

14、单题.18、 (1)见解析（2）【解析】分析：（1）有转化为有两根：一根在与之间，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积列不等式可求的取值范围.详解：（1）设，且，则由条件x12 x24得 （2） ，又或综上：点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.19、（1）见解析；（2）【解析】（1）求出，分或两种情况讨论（2）由，得恒成立，则恒成立，

15、然后利用导数求出右边的最大值即可【详解】解：（1）易知，（i）当时对任意的恒成立；（）当时，若，得若，得，综上，当时在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）由，得恒成立，则恒成立，令，则令，则，在上单调递减，又，在上，即；在上，即，在上单调递增，在上单调递减，故，即的取值范围为【点睛】恒成立问题首选的方法是通过分离变量，转化为最值问题.20、（1），（2）【解析】(1)由三角函数值分别计算出、的长度，即可求出管道长度的表达式，求出的取值范围(2)由(1)得管道长度的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为，所以，其中，.（2）由，得，令，当时，函数为增函

16、数；当时，函数为减函数.所以，当，即时，答：管道长度的最小值为.【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法21、 (1) ； (2) 或【解析】（） 根据题意，先对函数进行求导，再求函数在点处的导数即切线斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可。（） 设切点坐标为，将代入得出，利用点斜式表达出直线方程，再将点代入直线方程，即可求解出，从而推得直线方程的解析式。【详解】解：（1）由，则曲线在点处的切线方程为（2）设切点的坐标为，则所求切线方程为 代入点的坐标得，解得或 当时，所求直线方程为由（1）知过点且与曲线相切的直线方程为或故答案为或。【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程。若已知曲线过点，求曲线过点的切线方