平行四边形归纳总结

1、平行四边形 +几何帮忙线的作法 一,学问点 1四边形的内角和与外角和定理： B 1A 4D（ 1）四边形的内角和等于 360； A C（ 2）四边形的外角和等于 360 . 2多边形的内角和与外角和定理： D（ 1） n 边形的内角和等于 n-2180 ； B 32C（ 2）任意多边形的外角和等于 360. 3平行四边形的性质： 四边形 ABCD 是平行四边性质 （1）两组对边分别平行； A DO B C（2）两组对边分别相等； （3）两组对角分别相等； 形 判定 （4）对角线相互平分； （5）邻角互补 . 4,平行四边形判定方法的选择 5,和平行四边形有关的帮忙线作法 （ 1）利用一组对边平

2、行且相等构造平行四边形 例 1,如图,已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角AC 的中点,四边OCDE 是平行四边. 线 形 形 求证 : OE 与 AD 相互平 分 . 说明：当已知条件中涉及到平行,且要求证的 结论中和平行四边形的性质有关,可试通过添 加帮忙线构造平行四边形 . （ 2）利用两组对边平行构造平行四边形 例 2,如图,在 ABC 中, E, F 为 AB 上两点, AE=BF, ED/AC, FG/AC 交 BC 分别为 D, G. 求证 : ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时,可通 过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四 边形解决问题 . 第 1

3、页,共 19 页（ 3）利用对角线相互平分构造平行四边形 例 3,如图,已知 AD 是 ABC 的中线, BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF.求证 BF=AC. 说明：此题通过利用对角线相互平分构造平行 四边形,实际上是接受了平移法构造平行四边 形 . 当已知中点或中线应摸索这种方法 . （ 4）连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形； 例 4,如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E, F 在对角线 AC 上,且 AE CF , 请你以 F 为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需 证明一条线段即可） DC

4、DF O E A 图 1 B A （ 5）平移对角线,把平行四边形转化为梯形； 例 5,如右图 2,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,假如 AC 12 , BD 10 , AB m,那么 m 的取值范畴是（ ） DB CA , 1 m 11 B , 2 m 22 O E C , 10 m 12 D, 5 m6A 图 2 （ 6）过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题； 例 6,已知：如图,四边形 ABCD 为平行四边形 2 DA A DC31P E DF2 求证： AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2B E 图 3 CF B

5、 图 A （ 7）延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形； 例 7,已知：如右上图 4,在正方形 ABCD 中, E, F 分别是 CD , DA 的中点, BE 与 CF 交于 P 点, 求证： AP AB C31E DP F 2B A K 图4 第 2 页,共 19 页二, 课堂练习： 1,如图, E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点, AC 与DE 相交于点 F ,如平行四边形 ABCD 的面积为 S ,就图中面积为 1 S 的三角形有（ 2） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2,顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个 四边形 3,如图, AD ,

6、 BC 垂直相交于点 O, AB CD , BC=8 , AD=6 , 就 AB+CD 的长 = ； AC,点 D,E,F 分别在 BC, 4,已知等边三角形 ABC 的边长为 a, P 是 ABC 内一点, PD AB,PE BC,PF AC, AB 上,猜想： PD PE+PF=,并证明你的猜想 5,平行四边形 ABCD中, E , G, F , H分别是四条边上的点,且 AECF , BCDH, O 任作始终线试说明： EF与 GH相互平分 AC 和 BD 交于 O, E, F 分别OB, OD的中点,6,如图,平行四边形 ABCD的对角线 为 过 分 别交 AB, CD 于 G, H

7、试说明： GF EH 7,如图,已知 ABAC , B 是 AD 的中点, E 是 AB 的中 点 试说明： CD 2CEB第 3 页,共 19 页8,如图, E 是梯形 ABCD腰 DC的中DE点 ABE1S 梯形 试说明： S2ABCD9 ,已知六边形 ABCDEF 的 6 个内角均 为 周长 120, CD 2cm, BC 8cm,AB 8cm, AF=5cm,试求此六边形的10,已知 ABC是等腰三角形, AB=AC,D是 BC 边上的任一点,DEDEAB ,的中点 M, 且 DFAC , CHAB ,垂足分别为 E, F, H, ；连结 EC,取 EC求 证： DEDFCH11,已知

8、：在 RtABC中, ABBC ；在 Rt ADE中, AD连结 DM和 BM （ 1）如点 D 在边 AC 上,点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合,如图, 求证： BM DM且 BM DM； （ 2）假如将图 8- 中的 ADE绕点 A 逆时针旋转小于 45的角,如图,那么（ 1）中的结论是否 仍成立？假如不成立,请举出反例；假如成立,请赐予证明 E B E B A DMCA DMC图 图 - 矩形 菱形 第 4 页,共 19 页典型例题一 例 01 如图,已知：在矩形 ABCD 中, E 在 DC 上,且 AB AE 2 AD . 求： EBC 的度数 . 典型例题二 例题 02 如

9、图 1,矩形 ABCD 中, AE BF 3 , EF ED 交 BC 于 F ,矩形的周长为 22,求 EF 的长 分析 样就可证得 要求 EF 的长,必需求出 BE 的长,由 EF DE , AE BF ,可证明 ADE BEF ,这 AD BE ,利用矩形的周长及 AE 的长,就可是求出 BE 的长 典型例题三 且 a例题 03 如图 1,在矩形 ABCD 中, AD a ,DC 2b , E 为 DC 的中点, BF AE ,垂足为 F , b5 , ab 6 ,求 BF 的长 分析 利用 ABE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系可求出 BF ,所以要连结 BE 第 5 页,共

10、 19 页典型例题四 例题 04如图,已知：在矩形 ABCD 中, DF 平分 ADC ,交 AC 于 E,交 BC 于 F, BDF 15 . 求： DOC 和 COF 的度数 . 典型例题五 例 05 已知：如图,矩形 ABCD ,延长 CB 到 E,使 CE CA, F 是 AE 的中点 . 求证： BF FD . 典型例题六 例题 06 如图 1, ABCD 中,以 AC 为斜边作 Rt AMC ,又 BMD 为直角 求证：四边形 ABCD 是矩形； 第 6 页,共 19 页正方形 典型例题一 E 点作 EF AC 交 AD 于 例 01如图,在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取点

11、 E,使 CD CE ,过 F. 求证： AE EF DF . 典型例题二 例 02 如图,已知：在 ABC 中, ACB 90 , CD 是 ACB 的平分线, DE / AC 交 BC 于 E, DF / BC 交 AC 于 F. 求证：四边形 CEDF 是正方形 . 典型例题三 例 03 已知：如图,在正方形 ABCD 中, E 为 AD 上一点, BF 平分 CBE 交 CD 于 F. 求证： BE CF AE . 第 7 页,共 19 页典型例题四 例 04 如图,已知： E 是正方形 ABCD 的边 AD 的中点, F 是 DC 上的一点,且 DF 1 CD 4. 求证： EF B

12、E . 典型例题五 例 05 已知：如图,正方形 ABCD 中,延长 AD 至 E,使 DE AD ,再延长 DE 至 F,使 DF BD . 连结 BF 交 CE, CD 于 P, Q. 求证： PD PQ . 典型例题六 例 06 如图,已知：在正方形 ABCD 中, E, F 分别是 AB, BC 上的点,如有 AE CF EF . 求： EDF 的度数 . 第 8 页,共 19 页典型例题七 例 07 如图,已知：正方形 ABCD 的边长等于 12cm,点 P 在 BC 上, BP 5cm, EF AP 且与 AB, CD 分别交于 E, F 两点 . 求： EF 的长 . 典型例题八

13、 例 08（河北省, 1997）命题：如图（ 1）,已知正方形 ABCD 的对角线 AC ,BD 相交于点 O,E 是 AC 上一点,过点 A 作 AG EB ,垂足为 G,AG 交 BD 于点 F,就 OE OF . 动点问题及四边形难题 1 如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边 ABCO 是菱形,A 的坐标为（ 3,4）, 点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 形 y 轴于点 M, AB 边交 y 轴于点 点 交 H （ 1）求直线 AC 的解析式； A 动身,沿折线 ABC 方向 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动, （ 2）连接 BM,如图 2,动点 P 从点

14、 设 PMB的面积为 S（ S0）,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 以 t 的 取值范畴）； 第 9 页,共 19 页2. 已知：如图,在直角梯形 COAB 中, OC AB ,以O 为原点建立平面直角坐标系, A, B, C 三点的坐标分别为 A8,0, B8,10, C0,4,点 D为线段 BC的中点,动点 P 从点 O 动身,以每秒 1 个单位的 速度,沿折线 OABD 的路线移动,移动的时间为 t 秒 （ 1）求直线 BC 的解析式； （ 2）如动点 P 在线段 OA 上移动,当 t 为何值时,四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB 面

15、积的 2？ 7（ 3）动点 P 从点 O 动身, 沿折 OABD 的路线移动过程中, 设 OPD 的面积为 S ,请直接写出 S 与 t 的 线 函数关系式,并指出自变量 t 的取值范畴； B y DCO P A x 3. 如图,已知 ABC 中, AB AC 10 厘米, BC 8 厘米,点 D 为 AB 的中点 （ 1）假如点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 / 秒的速度B 点向 C 点运动,同时,Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 由 点 点 运动 如点 Q 的运动速度与 点 如点 Q 的运动速度与 点 P 的运动速度相等,经1 秒后, BPD 与 CQP 是否全等,请说明理由； 过

16、 P 的运动速度不相等, 当点 Q 的运动速度为多少 时, 能够使 BPD 与 CQP 全 等？ （ 2）如点 Q 以中的运动速度从C 动身,点 P 以原先的运动速度从B 同时动身,都逆时针沿 ABC 点 三边运动,求经过多长时间点 点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相A 遇？ B DQ P C第 10 页,共 19 页4. 如图,已知 AD 与 BC 相交于 E, 1 2 ADB 90, CH AB 于 H,CH 交 AD 于 F. （ 1）求证： CD AB； （ 2）求证： BDE ACE； （ 3）如 O 为 AB 中点,求证： OF 1 2BE. 3, BD CD, 5,

17、如图 1 4 2l ,在边长为 a 的菱形 ABCD 中, DAB 60, E 是异于 A,D 两点的动点, F 是 CD 上的 点,中意 A E CF=a,说明：不论 E, F 怎样移动,三角 动 BEF 总是正三角 形 形 6,如图 1 438,等腰梯形 ABCD 中, AD BC, AB =CD, DBC 45 , 翻折梯形使点 B 重合于点 D,折 痕分别交边 AB, BC 于点 F, E,如 AD=2, BC=8,求 BE 的 长 7,在平行四边形 ABCD 中, E 为 BC 的中点,连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F 1 求证： AB CF ； B A E CD2 当

18、BC 与 AF 中意什么数量关系时, 四边形 ABFC 是矩形,并说明理由 F 第 11 页,共 19 页8,如图 l 4 80,已知正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 AC 上一点,过 点 足为 G, AG交 BD 于 F,就 OE=OA 作 AG EB,垂 （ 1）请证明 0E=OF （ 2）解答（ 1）题后,某同学产生了如下估计：对上述命题,如点 E 在 AC 的延长线上, AG EB,AG 交 的延长线于 G ,AG 的延长线 DB 的延长线于 F,其他条件不变,就仍有 EB OE=OF 问：估计所得结论是否 成立？如成立,请给出证明；如不成立,请说明理由 交

19、 点 9 已知：如图 4-26所示, ABC 中, AB=AC, BAC=90, D为 BC 的中 P 为 BC 的延长线上一 PE 直线 AB 于点 点, 点, E, PF直线 AC 于点 F求证： DE DF 并且相等 10 已知：如图 4-27 , ABCD 为矩CEBD 于E, BAD 的平分线与直CE 相交于F求证： CA=CF 形, 点 线 点 第 12 页,共 19 页11 已知：如图 4-56A ,直线 l 通过正方形 ABCD 的顶 EC 与边 AD 相交于点 F求证： AE=AF 点 D 平行于对角线 AC,E 为 l 上一点, EC=AC,并且 本例中,点 E 与 A 位

20、于 BD 同侧如 4-56B ,点 E 与 A 位于 BD 异侧,直 EC 与 DA 的延长线交点 F,这时仍有 AE=AF请自己证明 图 线 于 12 求证：矩形各内角平分线 对角的平分线不在始终线上 所围成的四边形 EFGH 是正方形 三角形与动点问题 1,如图, 在等腰 ACB 中,AC BC 5,AB 8,D 为底边 AB 上一动点 （不与点 A ,B 重合）,DE AC , DF BC ,垂足分别为 E, F,就 DE DF CE DF B 2,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连接 PB,PQ, 就 PBQ 周长的最

21、小值为 （结果不取近似值） . 2022 次,点 P 依次落在点 P1, 3,如图,将边长为 1 的等边 OAP 按图示方式,沿 x 轴正方向连续翻转 P2, P3,P4, , P2022 的位置试写出 P1, P3,P50, P2022 的坐标 第 13 页,共 19 页4,如图,在等腰 RtABC 中, ACB=90 , AC=CB , F 是 AB 边上的中点,点 D ,E 分别在 AC , BC 边上运动,且始终保持 AD=CE 连接 DE, DF,EF （ 1）求证： ADF CEF （ 2）试证明 DFE 是等腰直角三角形 第 14 页,共 19 页5,如图,在等边 ABC 的顶点

22、 A,C 处各有一只蜗牛,它们同时动身,分别以相同的速度由 A 向 B 和由 C向 A 爬行,经过 t 分钟后,它们分别爬行到 D, E 处, 请问（ 1）在爬行过程中, CD 和 BE 始终相等吗？ （ 2）假如将原题中的 “由 A 向 B 和由 C向 A 爬行 ”,改为 “沿着 AB 和 CA的延长线爬行 ”,EB 与 CD 交 于点 Q,其他条件不变,如图（ 2）所示,蜗牛爬行过程中 CQE 的大小保持不变请利用图（ 2）情 形,求证： CQE =60 ； （ 3）假如将原题中 “由 C 向 A 爬行 ”改为 “沿着 BC 的延长线爬行, 连接 DE 交 AC于 F”,其他条件不变, 如

23、图（ 3）,就爬行过程中, DF 始终等于 EF 是否正确 第 15 页,共 19 页6,如图 1,如 ABC 和 ADE 为等边三角形, 边三角形 M, N 分别 EB, CD 的中点,易证： CD=BE , AMN 是等 （ 1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时, CD=BE 是否仍然成立？如成立请证明,如不成立请说 明理由； （ 2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时, AMN 是否仍是等边三角形？如是, 请给出证明, 并求出 当 AB =2AD 时, ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；如不是,请说明理由 图 1 图 2 图 3 7,如图,已知 ABC 中,

24、 AC 10 厘米, BC 8 厘米,点 D 为 AB 的中AB （ 1）假如点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 如点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后, BPD 与 CQP 是否全等,请说明理由； 如点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使 BPD 与 CQP 全等？ （ 2）如点 Q 以中的运动速度从点 C 动身,点 P 以原先的运动速度从点 B 同时动身, 都逆时针沿 ABC 三边运动,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 A

25、BC 的哪条边上相A 遇？ DQ B P C第 16 页,共 19 页8,如图, 在平面直角坐标系中, 矩形 AOBC 在第一象限内, E 是边 OB 上的动点 （不包括端点） ,作 AEF y = 90 ,使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点NF ,设 C（ m, n） （ 1）如 m = n 时,如图,求证： EF = AE； P EF = AE ？如存在,请求出点 x E 的坐标； （ 2）如 m n 时,如图,试问边 OB 上是否仍存在点 E,使得 如不存在,请说明理由 O Mly y y F F A CA CA CF O E B x O E B x O E B x 9.（ 202

26、2 年本溪）在 ABC 中, AB AC ,点 D 是直线 BC 上一点（不与 B,C 重合）,以 AD 为一边 在 AD 的右侧 作 ADE ,使 AD AE, DAE BAC ,连接 CE （ 1）如图 1,当点 D在线段 BC 上,假如 BAC 90,就 BCE 度； （ 2）设 BAC , BCE 如图 2,当点 D 在线段 BC 上移动,就 , 之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点 D 在直线 BC 上移动,就 , 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 10如图, 直线 l 与 x 轴, y 轴分别交于点 M 8,0 ,点 N 0,6 点 P 从点 N 动身,以每秒 1 个单

27、位 长度的速度沿 N O 方向运动, 点 从点 O 动身, 以每秒 2 个单位长度的速度沿 O M 的方向运动 已 知点 P, 同时动身,当点 到达点 M 时, P,两点同时停止运动, 设运动时间为 t 秒 （ 1）设四边形 MNPQ 的面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范畴 （ 2）当 t 为何值时, P 与 l 平行？ 第 17 页,共 19 页三,本次课后作业： 1,如图, AC 为正方形 ABCD 的一条对角线,点 E 为 DA 边延长线上的一点,连接 BE ,在 BE 上取一 点 F ,使 BF BC ,过点 B 作 BK BE 于 B ,交 AC 于点

28、 K ,连接 CF ,交 AB 于点 H,交 BK 于点 G （ 1）求证： BH BG ； （ 2）求证： BE BG AE E A M D5F N1K H437 6 G B 8 2 C2,已知：如图, ABC 是边长 3cm 的等边三角形,动点 P,Q 同时从 A , B 两点动身,分别沿 AB , BC 方向匀速移动,它们的速度都是 1cm/s,当点 P 到达点 B 时, P,Q 两点停止运动设点 P 的运动时间为 t （ s）,解答以下问题： （ 1）当 t 为何值时, PBQ 是直角三角形 . （ 2）设四边形 APQC 的面积为 y（cm 2）,求 y 与 t 的 关系式；是否存在某一时刻 t,使四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的三分之二？假如存在,求出相应的 t 值；不存在,说明理由； A P B Q C3,（ 2022 宁夏）已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC 的边 AB 上 沿 AB 方向以 1 厘米 /秒的速度向 B 点运动 （运动开头时, 点 M与点 A 重合, 点 N到达点 B 时运动终止） , 过点 M, N 分别作 AB 边的垂线,ABC 的其它边交于 P, Q 两点,线段 MN 运动的时间为