2022年北京市东城区第二十二中学高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD2设随机变量，若，则n=A3B6C8D93已知恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD4已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是（ ）ABCD5已知，函数，若在上是单调

2、减函数，则的取值范围是( )ABCD6已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（ ）ABCD7正方体中，直线与平面所成角正弦值为（ ）ABCD8袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD9函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是( )。ABC5D410设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f （x）的图象可能是（）ABCD11设函数满足则时，( )A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值12正六边形

3、的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设随机变量的分布列（其中），则_14根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为 .15求曲线在点处的切线方程是_.16已知a，b0,1，2，3，则不同的复数z=a+bi的个数是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）当函数在上单调时，求的取值范围18（12分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个

4、数字中任意取出三个不同的数字.（）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；（）记取出的这三个数字中奇数的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.19（12分）已知空间向量a与b的夹角为arccos66，且|a|=2，|(1)求a，b为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m,n的夹角20（12分）设函数f(x)1x2ln(x1).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)x2(kN*)在(0，)上恒成立，求k的最大值.21（12分）在平面直角坐标系中，直线：，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点.（1）当时，求，两点的直角坐标；（2）当

5、变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.22（10分）已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：函数有小于零的极值点转化为有负根，通过讨论此方程根为负根，求得实数的取值范围.详解：设，则，函数在上有小于零的极值点，有负根，当时，由，无实数根，函数无极值点，不合题意，当时，由，解得，当时，；当时，为函数的极值点，解得，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题. 求函数极值的步骤：

6、(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.2、D【解析】根据随机变量，得到方程组，解得答案.【详解】随机变量，解得 故答案选D【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.3、A【解析】分析：先设，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a 的取值范围.详解：设所以当x（-，-1）时，则函数单调递减.当x（-1，+）时，函数单调递增.,当a0时，.直线y=a(2x-1)过点（）.设为曲线上任意一点，

7、则过点的曲线的切线方程为.又因为切线过点（），所以，解得故切线的斜率k=或k=.所以即a ，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（）的切线的斜率k=或k.4、B【解析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.详解：因为当时，所以当时，所以的单调减区间是，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.5、C【解析】根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数 ，根据所得函数

8、的特征求出 的取值范围.【详解】因为所以 因为在上是单调减函数所以即所以 当时， 恒成立当 时， 令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以 即所以选C【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.6、B【解析】根据等价转化的思想，可得在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得，最后利用导数判断单调性，可得结果.【详解】令，依题意得方程有两个不等正根， 则， ， 令，在上单调递减， ， 故的取值范围是，

9、故选：B【点睛】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.7、C【解析】作出相关图形，设正方体边长为1，求出与平面所成角正弦值即为答案.【详解】如图所示，正方体中，直线与平行，则直线与平面所成角正弦值即为与平面所成角正弦值.因为为等边三角形，则在平面即为的中心，则为与平面所成角.可设正方体边长为1，显然，因此，则，故答案选C.【点睛】本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.8、C【解析】从袋中任取2个球，基本事件总数n所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m，利用古典概型公式

10、可得所求【详解】袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n1所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m24，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9、D【解析】求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案【详解】依题意，函数，得的解集是，于是有，解得，函数在处取得极小值，即，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.10、A【解

11、析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.11、D【解析】函数满足，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通

12、过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.12、A【解析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论【详解】由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为， 以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为， 则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，又因为分别为的

13、最小值、最大值，所以，故选A【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据概率和为列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，解得.故填【点睛】本小题主要考查随机变量分布列概率和为，考查方程的思想，属于基础题.14、1【解析】试题分析：这是循环结构，计算时要弄明白循环条件，什么时候跳出循环，循环结构里是先计算，第一次计算时，循环结束前，此时，循环结束，故输出值为1考点：程序框图，循环结构15、【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线

14、的斜率为，即所求切线方程为，即.16、1【解析】分a=b和ab两种情况讨论，结合排列数公式求解【详解】当a=b时，复数z=a+bi的个数是4个；当ab时，由排列数公式可知，组成不同的复数z=a+bi的个数是A42不同的复数z=a+bi的个数是1个故答案为：1【点睛】本题主要考查了排列及排列数公式，涉及分类讨论思想，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) 函数在最大值是2,最小值是；(2) 【解析】(1)代入,求导分析函数的单调性与最值即可.(2)由题得或在区间上恒成立,求导后参变分离求最值即可.【详解】(1) 时, .函数在区间仅有极大值点,故这

15、个极大值点也是最大值点,故函数在最大值是,又,故,故函数在上的最小值为.故函数在最大值是2,最小值是(2) ,令,则,则函数在递减,在递增,由,故函数在的值域为.若在恒成立,即在恒成立,只要,若要在恒成立,即在恒成立,只要.即的取值范围是.【点睛】本题主要考查求导分析函数在区间内的最值问题以及根据函数的单调性求参数范围的问题.包括参变分离求函数最值问题等.属于中档题.18、 ；（）见解析.【解析】分析：（）取出的这三个数字中最大数字是8，其余两个从1，2，3，4，5，6，7中取（）取出的这三个数字中奇数的个数为0、1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列及期望；（）的所有可能取值为：0、1、

16、2、3 则所以随机变量的分布列为0123P所以的数学期望.点睛：（1）本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 为的均值或数学期望，简称期望19、（1）5（2）m,n的夹角【解析】(1)根据向量a,b的夹角为arccos66即可求出sin=306，从而根据S=|a|【详解】(1)根据条件，cossinS=|a(2)m|m|=(cosm,n【点睛】本题主要考查了向量夹角，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量的模，属于中档题20、 (1)见解析(2)1【解析】（1）首先求出f（x）的定义域，函数f（x）的导数，分别令它大于0

17、，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；（2）化简不等式f（x）x2，得：（x+1）1+ln（x+1）kx，令g（x）=（x+1）1+ln（x+1）kx，求出g（x），由x0，求出2+ln（x+1）2，讨论k，分k2，k2，由恒成立结合单调性判断k的取值，从而得到k的最大值【详解】（1）函数f（x）的定义域为（1，+），函数f（x）的导数f（x）=2x+，令f（x）0则2x，解得，令f（x）0则，解得x或x，x1，f（x）的单调增区间为（1，），单调减区间为（，+）；（2）不等式f（x）x2 即1x2+ln（x+1），即1+ln（x+1），即（x+1）1+ln（x+1）kx（kN*）在（0

18、，+）上恒成立，令g（x）=（x+1）1+ln（x+1）kx，则g（x）=2+ln（x+1）k，x0，2+ln（x+1）2，若k2，则g（x）0，即g（x）在（0，+）上递增，g（x）g（0）即g（x）10，（x+1）1+ln（x+1）kx（kN*）在（0，+）上恒成立；若k2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，结合K为正整数，故k的最大值为1【点睛】本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g（x），运用导数说明g（x）0恒成立，从而得到结论这种思想方法要掌握21、（1）；（2）.【解析】（1）根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，与直线方程联立，即可求解