2021年山东省高考数学试卷(理科)

1、 12/122021年山东省高考数学试卷(理科) 2008年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1（5分）满足1M a ?，2a ，3a ，4a ，且1M a ?，2a ，31a a =，2a 的集合M 的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2（5分）设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则z z 等于( ) A i B i - C 1 D i 3（5分）函数cos ()2 2 y ln x x =- 的图象过区域M 的a 的取值范围是( ) A 1，3 B 2 C 2，9 D 9 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16

2、分） 13（4分）执行如图所示的程序框图，若0.8p =，则输出的n = 14（4分）设函数2()(0)f x ax c a =+，若1 00 ()()f x d x f x =?，001x 剟， 则0 x 的值为 15（4分）已知a ，b ，c 为ABC ?的三个内角A ，B ，C 的对边，向量(3m =，1)-，(cos ,sin )n A A =若m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = 16（4分）若不等式|3|4x b -为偶函数，且函 数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2 （）求()8 f 的值； （）将函数()y f x =的图象

3、向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间 18（12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 ，乙队中3人答对的概率分别为221 ,332 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分 （）求随机变量的分布列和数学期望； （）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB 19（12分）将数列n a 中的所有项按每一行比上一行多

4、一项的规则排成如下数表： 12345678910a a a a a a a a a a ?记表中的第一列数1a ，2a ，4a ，7a ，?构成的数列为n b ，111b a =n S 为数列n b 的前n 项和，且满足 2 21(2)n n n n b n b S S =- （）证明数列1n S ? ? 成等差数列，并求数列n b 的通项公式； （）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当814 91 a =- 时，求上表中第(3)k k 行所有项的和 20（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA 平面ABCD ，

5、60ABC =?，E ，F 分别是BC ，PC 的中点 （）证明：AE PD ； （）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角E AF C -的余弦值 21（12分）已知函数1 ()(1)(1) n f x aln x x = +-，其中*n N ，a 为常数 （）当2n =时，求函数()f x 的极值； （）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x 时，有()1f x x - 22（14分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B （）求证：A ，M ，B 三点的横坐

6、标成等差数列； （）已知当M 点的坐标为(2,2)p - 时，|AB =求此时抛物线的方程； （）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由 2008年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1（5分）满足1M a ?，2a ，3a ，4a ，且1M a ?，2a ，31a a =，2a 的集合M 的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【解答】解：1M a ?，2a

7、 ，31a a =，2a 1a ，2a 是M 中的元素，3a 不是M 中的元素 1M a ?，2a ，3a ，4a 1M a =，2a 或1M a =，2a ，4a ， 故选：B 2（5分）设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则z z 等于( ) A i B i - C 1 D i 【解答】解：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算可设2z bi =+，由8z z = 得2 48b +=，22 (22)2.88 z z i b i z =选D 3（5分）函数cos ()22 y ln x x =-的图象过区域M 的 a 的取值范围是( ) A 1，3 B 2 C 2，9

8、D 9 【解答】解析：平面区域M 如如图所示 求得(2,10)A ，(3,8)C ，(1,9)B 由图可知，欲满足条件必有1a 且图象在过B 、C 两点的图象之间 当图象过B 点时，19a =， 9a = 当图象过C 点时，38a =， 2a = 故a 的取值范围为2，9 故选：C 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13（4分）执行如图所示的程序框图，若0.8p =，则输出的n = 4 【解答】解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是判断111 0.8242 n S =+?+时，1n +的值 当2n =时，11 0.824 +， 此时14n += 故答案为：4 14（4分）设函

9、数2()(0)f x ax c a =+，若1 ()() f xd x f x =?，001x 剟， 则0 x 的值为 【解答】解：2 ()(0)f x a x c a =+ ， 31 1000 ()()33 ax a f x f x dx cx c =+= +?又2 00()f x ax c =+ 2 013 x =， 00 x ，01x 15（4分）已知a ，b ，c 为ABC ?的三个内角A ，B ，C 的对边，向量(3m =，1)-，(cos ,sin )n A A =若m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = 6 【解答】解：根据题意，3cos s

10、in 03 m n A A A ?-=?=， 由正弦定理可得，sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=， 又由sin cos sin cos sin()sin A B B A A B C +=+=， 化简可得，2sin sin C C =， 则2 C =， 则6 B = ， 故答案为 6 16（4分）若不等式|3|4x b -为偶函数，且函数 ()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为 2 （）求()8 f 的值； （）将函数()y f x =的图象向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长 到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x

11、 =的图象，求()g x 的单调递减区间 【 解 答 】 解 ： （ ） 1 ()cos()cos()2sin()26 f x x x x x x ?=+-+=+-+=+- ()f x 为偶函数， 对x R ，()()f x f x -=恒成立， sin()sin()66 x x ?-+- =+- 即sin cos()cos sin()sin cos()cos sin()6666x x x x ?-+-=-+-， 整理得sin cos()06 x ?-= 0，且x R ，所以cos()06 ?-= 又0? 因为1213 1212782 ?+?+= =， 所以表中第1行至第12行共含有数列n a

12、 的前78项，故81a 在表中第13行第三列， 因此28113491a b q =- 又1321314 b =-?，所以2q = 记表中第(3)k k 行所有项的和为S ， 则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1) k k k k b q S k q k k k k -= =-=-+-+ 20（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA 平面ABCD ， 60ABC =?，E ，F 分别是BC ，PC 的中点 （）证明：AE PD ； （）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角E AF C -的余弦值 【解答】证明：（

13、）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC =?，可得ABC ?为正三角形 因为E 为BC 的中点，所以AE BC 又/BC AD ，因此AE AD 因为PA 平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE 而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD 且PA AD A =， 所以AE 平面PAD 又PD ?平面PAD ， 所以AE PD 解：（）设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH 由（）知AE 平面PAD ， 则EHA 为EH 与平面PAD 所成的角 在Rt EAH ?中，AE 所以当AH 最短时，EHA 最大， 即当AH PD 时，EHA 最大 此时tan AE

14、 EHA AH = = ， 因此AH =2AD =，所以45ADH =?， 所以2PA = 因为PA 平面ABCD ，PA ?平面PAC ， 所以平面PAC 平面ABCD 过E 作EO AC 于O ，则EO 平面PAC ， 过O作OS AF 于S，连接ES，则ESO 为二面角E AF C -的平面角， 在Rt AOE ? 中，sin30 EO AE =?= 3 cos30 2 AO AE =?=， 又F是PC的中点，在Rt ASO ? 中，sin45 SO AO =?= ， 又SE= 在Rt ESO ? 中，cos SO ESO SE =， 21（12分）已知函数 1 ()(1) (1)n f

15、 x aln x x =+- - ，其中* n N ，a为常数（）当2 n=时，求函数() f x的极值； （）当1 a=时，证明：对任意的正整数n，当2 x时，有()1 f x x- 【解答】解：（）解：由已知得函数() f x的定义域为|1 x x， 当2 n=时， 2 1 ()(1) (1) f x aln x x =+- - ，所以 2 3 2(1) () (1) a x f x x - = - （1）当0 a时，由()0 f x =得 1 11 x=+ ， 2 11 x=， 此时12 3 ()() () (1) a x x x x f x x = - 当 1 (1,) x x 时，(

16、)0 f x ，() f x单调递增 （2）当0 a时，()0 f x 时，() f x在1 x= 2 (1(1) 2 a f ln a =+当0 a时，() f x无极值 （）证法一：因为1a =，所以1 ()(1)(1)n f x ln x x =+- 当n 为偶数时， 令1 ()1(1)(1)n g x x ln x x =， 则11 12()10(2)(1)11(1)n n n x n g x x x x x x +-=+ -=+ 所以当2x ，)+时，()g x 单调递增， 又g （2）0=， 因此1 ()1(1)(2)0(1)n g x x ln x g x =- -=-恒成立，

17、所以()1f x x -成立 当n 为奇数时，要证()1f x x -，由于1 0(1)n x ， 所以当2x 时，恒有()0h x ，即(1)1ln x x -，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B （）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （）已知当M 点的坐标为(2,2)p -时，|AB =求此时抛物线的方程； （）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（）证

18、明：由题意设22 12 12120(,),(,),(,2)22x x A x B x x x M x p p p - 由2 2x py =得2 2x y p =，得x y p =， 所以1MA x k p = ，2MB x k p = 因此直线MA 的方程为1 02()x y p x x p +=-， 直线MB 的方程为2 02()x y p x x p += - 所以211102()2x x p x x p p +=-，2 22202()2x x p x x p p +=- 由、得12 1202 x x x x x +=+-， 因此12 02 x x x += ，即0122x x x =+ 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列 （）解：由（）知，当02x =时， 将其代入、并整理得：2211440 x x p -=，2 22 2440 x x p -=， 所以1x ，2x 是方程22440 x x p -=的两根， 因此124x x +=，2124x x p =-， 又22 2101221222AB x x x x x p p k x x p p - +=-， 所以2AB k p = 由弦长公式得|AB = 又|AB =， 所以1p =或2p =， 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y = （）解：设3(