2021年考研数学模拟卷1(数学一) - 解析

1、版权所有 翻版必究2021 数学全真模拟测试卷解析（数学一）本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：110 小题，每小题5 分，共50 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. )t2( x2dt，( )=g xcosx d，则当x0f x x( )是 nt t（1 f x2时，t00g(x) x的低阶无穷小，是 n的高阶无穷小，则正整数 的值为（）n（A）3（B）（C）56（D）4C） t)2tant t2，0t，【解析】由等价无穷小替换得：当t时，2tt)1210( 时， f xx2dt( g xcosx t t 当xx ，4

2、x6，22t00f(x) xg(x) x又因为是 n的低阶无穷小，是 n 的高阶无穷小，则n5，故选（C(x) a,+）f (a)0 f(a) 0f(x) k(k 0)，且 ，则（2 f在上二阶可导，f (x)在(a,+内零点的个数为（）( )A 0个( )( )C( )D 3个12个B 个( )【答案】 B【解析】因为 f a( ) 0( ) ( 0)，且 f x k k，所以 )！fk( ) ( ) ( f x f a f a x a( ) ( ) ( ) ,x a x a 其中 介于 a与 x之f a222k ( ) ( ) lim f(x)( )0 ( )，再由 f a 得 f x 在

3、间，而f ax a2，故2xx(a,+内 至 少 有 一 个 零 点 ， 又 因 为 f(a) 0， 且f(x)k(k 0)， 所 以1版权所有 翻版必究( )( )0( )( ) ,)x a ，即 f x 在 af x上单调增加。所以零点是唯一的，故选 B 。2 x，曲线上某点处的切线以及xx3围成的平面区域的面积（3）若由曲线 y最小，则该切线是（）xx( ) 2( )By 2yA221( )C( ) 2 Dyxy x12( )【答案】 A1x2 x t,2 t)y 2 t (xt) t，由【解析】曲线 y在处的切线方程为tty 2 x 的上方，2 xxx3围成的面积于切线位于曲线所以由曲

4、线 y4 x2 t 2S St)3 t 2 x dx3xdx由定积分得。 tt1121( )S t0 2t 。t ttt(0,2)( )0S tt(2,3)( )0S tS t( )取最小值，2，则当t 时，当时，；当时，x( ) 2，故选 A 。此时切线方程为 y2( )xf xf(x)lim1，则（0，x，x（4）设在x的某邻域内有连续的二阶导数，且）xsinxx0A f(0)00 f(x)是（ ）的极大值点.0 f(x)是 的极小值点.B f(0)0（ ）（C ） f(0)0，点(0, (0)f ( )是曲线 y f x 的拐点.D f(0)0（ ）(0, f(0)y f(x)不是曲线

5、的拐点.，点2版权所有 翻版必究C ）.1616xsinx x x ( )x o xx ，则有30【解析】因为当x时，33( )xf x( )xf x( )f x1lim6lim6limf ， (0)0 xsinxx3x2x0 x0 x016( )f x( )f x( ) 1f xlimlimlim f(0)0.2x3x2xx0 x0 x0( )f x(0, (0)y f x ( )的0f在x两侧，的符号与x 相同，由负变正，所以点是曲线拐点lim ( )0f xf(,) f(x)0（5）若函数 在上，且，则在下列四项函数性质：xlim ( )0f xlim ( )f x( )0f x( )0

6、f x；中（）xxA fB f（ ） 仅有第，两项性质.（ ） 仅有第项性质.D f（ ） 具有四项性质.（C ） f 仅有第，三项性质.D ）.( )0 ( )x(,) f xf x( )f x【解析】对于：由，单调递增，因为单调递 u1 1，2u(,) ,：uu增，对使得，121 ) ( ) ) ( ( )fu) fu ff u ff uf u.12lim ( ) lim ( 1) lim ( 1)0lim ( )0f xf uf uf u 当u.uuux( )f x(,)x(,)， 有对 于 ： 因 为 在内单 调 递 增 ， 所 以 对( ) lim ( )0.f x f uulim

7、( )0f x(,)( )0 ( )内 f x f x对于：因为在，又由于，所以xf(x)0.3版权所有 翻版必究x2x(,)对于：，f(0)0，( ) ，f x f ( ) f f2lim ( )f x所以.xf可见， 具有全部四项性质，故应选（D ）.!a nn0（6）已知级数，其中a，则下列说法正确的是（）nnn1（A）当a（C）当a1时级数发散（B）当（D）当0a1时级数发散ea e时级数收敛0 时级数收敛D）【解析】由比值判别法可知：( 1)!a nn1( 1)( 1)a naann1limlimlim，1!( 1)a nnnen1nnn(1 )nnnnnnaeae1，级数发散；当0

8、 0 1a e时， ，级数收敛，故选（D故当a时，e 3A 3A A, ,（7）已知 阶矩阵 与 维列向量 ，若向量组2 线性无关，且2 ，则矩阵 属于特征值A 3A 2AA3的特征向量是（） A 3AA 2A 3（A）（C）2（B）2 2A A（D）B）【解析】由定义可知：A量， 0A，则 为矩阵 属于特征值 的特征向 3A，由于A(A 3) A+3A=32A+3= A232222A+ 30，且向量组,A ,A2 线性无关，可知24版权所有 翻版必究为矩阵 A 属于特征值A 3A2所以的特征向量，故选（BABB（8）设 阶实对称矩阵 经第一行与第二行对调得到矩阵，矩阵 再经第一列与nA第二列

9、对调得矩阵C ，则矩阵 与C 为（）（A）等价但不相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）相似、合同且等价D）E AB CE C，矩阵A通过初【解析】由题可得：，故可得：12121212( ) ( ) E ，故等变换得到矩阵C ，故矩阵A与C 等价；因为 E 1 E ， ET1212( )( )C AEAEE AE12C A与C 相似，EAETE AE1121212为实对称矩阵，故矩阵A与C 合同，故选择（DX YXY（9）设随机变量和 相互独立，服从参数为的指数分布，的分布律为12Y P YYX，则的分布函数（）（A）是连续函数（B）恰有一个间断点的阶梯函数（D）至少有两个间断点（C）

10、恰有一个间断点的非阶梯函数A）【解析】由全概率公式知，对任意的常数aR，X Y X Y a|Y Y X Y a|Y Y X aY X aY 11X a X a 0，22XY所以的分布函数是连续的函数，故选（A1F(,) P P P XX（10 服从分布，）12X（A）P1PP P（B）2125版权所有 翻版必究P,（D）因n未知，无法比较P P 大小（C）P1212C）1F(,) F(,)m n【解析】如果随机变量 XXX11均服从分布F(,)，因此，P P X1 与PP ，故选（C2XX二、填空题：16 小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案写在答题纸指定位置上.( , )2 f x

11、y x ylim0，则z f(,y) (1,0)（）设在处可微，且( 1) xy2( , )(1,0)x y2 )fhfh_。hh04【答案】【解析】由题( , )2 f x yx ylim0可知： f2(1,0)1，而y， f( 1) xxy2( , )x y2 ) ) h ffhfhfhffhhh0h0 ) fhffh f2h f(1,0)2f4。hxyh0h01y x e( 的斜渐近线_。x（12）曲线【答案】 y21 x21x e 12x1e 1et1xk limlimlim1，【解析】由于1xtxxt0 x 1 lim 1 11 11blimx ( ) oxx e x，22x x 2

12、x2x2x 2 x6版权所有 翻版必究所以斜渐近线y x12。zf(,lnxg()xzz。fu,v),gu)均可微， y （13xy2f【答案】【解析】.zx1zzxz yf( yg)f xfxgf f。，故xyyy21x212 r acos ) ,(a0,0 2 )（14）心形线的全长为_。【答案】8a【解析】极坐标形式下弧长公式为：sr2 r d( ) 2 cos ( sin) 2 2 aad ad222000 ad a2 2 costdt a2 cos d a2 cos8。20001 2， 1，其对应的线性无关的特征（15）设A 为三阶矩阵，其特征值为23 1, ,P =(4 , , 2

13、 )( 3 )P A E P为_。向量为，令，则123123234【答案】111 2, 1A【解析】因为 的特征值为，23 2A E3 的特征值为，所以 的特征值为A；123 4 , , 2A也为 的线性无关的特征向量，又因为12323 4 , , 2A E3的线性无关的特征向量，所以也是123237版权所有 翻版必究4( 3 ) P A E P1所以 1。1F(x)，概率密度函数f(x) (x) (x)（16）假设随机变量 X 的分布函数为，其12f (x)1N(0, )f (x)2中是正态分布2 的密度函数，是参数为 的指数分布的密度函数，1已知F，则a b,分别的取值为_。813 , b

14、【答案】a.44f(xa f (xb【解析】由概率密度归一性可知1 f (xab，1211a又因为F，即0( ) 0f x a f x b f x a( ) 0( ) ，82 81213 ,b可得：a。44三、解答题：1722 小题，共 70 分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17 10 分）f(x) 0, 在 ) x )f x （）设（）设上连续，证明：；200 x f(x) , 在( )f x( f x( )，求 f x。上连续，且1x2x2( ) f x.12x2u fu0 ) ) )x u 01 ) )u f u 0 ) ) ) u f u 0

15、 )f x 0 x ；2208版权所有 翻版必究xf(x)（）令 f(x)sin xdx A，则 A，1cosx2该式两边同乘x并在 , 上求积分得： x x ( f x A ，1x2xsinx由于是关于x的偶函数， Ax是关于x的奇函数，1cosx2sin x x ( )sin2 dx0，因此f xxdx1cosx20sinx x ( )sin2 f xxdx dx，则 A1cosx20 x x t，对进行变量替换，令x1x20sinsinsin2t t tt2 2 dtdt dt A，则 A1cos1cos1cos0ttt22200sin 2 2t2arctan(cos ) dt t可得：

16、 A，10 442t20或利用（）结论得：sinsin 2 2 2 x xx2 2arctan(cos ) Adxdxt，1cos2 1cos0 442xx2200 x2( )所以 f x。12x2 f( x y )2 具有二阶连续偏导数，且满足（18 本题满分 10 分）设 u22uu 1 u2u x y22，试求函数u的解析式。x y x x22C cos x y C sin x y x y 2C C,【答案】u,其中为任意常数。2222221212u r x u x d u1 du x du2222 x yx r dr r dr r dr【解析】令r2 ，则，2x x r 22239版权

17、所有 翻版必究d u2u y d u 1 du y du2222ur2，r dr r dr同理可得，代入方程化简得y22r dr23dr2C cosrC sinrr 2；求解二阶常系数非齐次微分方程，得其通解为：u212C cos x y C sin x y x y 2,C C为任意故函数解析式为u,其中2222221212常数。 3 1xy22（19 10 S是空间曲线绕 y 轴旋转形成的椭球面的上z 0(z0)取上侧，是S在点(,y,z)(,y,z)处的切平面，是原点到切平面半部分 , ,的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算：z ( x3 y zdS z。dS ；（）（）( , , )

18、x y zSS22x 3y z z0)【解析】由题意得：椭球面S的方程为 222。F x 3y z 12 , 6 , 2x F y F z，Fx令222，则yzx y zn ,3 , 切平面 的法向量为，( )3 ( ) ( )0 x X x y Y y z Z z切平面 的方程为，x 3y z1222( , , ) x y z原点到切平面 的距离为x 9y z29 x2 y z2222 zI 1dS z x y z dS9 所以：222( , , ) x y zss: 1, 0, 0将第一类曲面积分转化为二重积分：记D xzxz，由对称性可得：2210版权所有 翻版必究32( )zx z(3

19、2 )r22 r22I 14dxdz4 sin d1dr23(1 )x z3(1 )r22002xz(32 )sin (32sin ) r2rdr4tt22241dt ；232 )r020 x3yz,（）方法一：因为，x 9y z9 x2 y zx2 y z9 2222222( )92I z x y z dS z x y z dS I 所以22；221ss ) 3zxdydz zydzdx z dxdyI z xy z dS22ss:z0,x 3y :x 3y z z0)记22222，取面 向下， 向外， 63zxdydz zydzdx z dxdyIzdV由高斯公式得：22求解三重积分：方法

20、 1：先一后二：21 I 26d 23 2xy3 3 ) xy dd1r r ) 2222300023 21yx23 21yx6 161d ) z z I2方法 2：先二后一：方法 3：球面坐标：；23200 x23 2 2yz243 1d rsin drI d322。220001111（20 10 分）求级数12x2x 4x 6x n 的234562 n ns(x)收敛域并求其和函数。11版权所有 翻版必究111xx ln(1 ) 1 1 xxx2【答案】收敛域1,1，和函数为：s x( ) 2122x 111( )【解析】设s x( ), (x，x ，则s x2x2 2nn2 n n1x2

21、n1n11 1 xxx(1,1)( )所以s x x，12 1t201211ln11ln1 ln(1 ) x1ttx tx(1,1)( )s xxxxxx ，212110212xtx201ln1 ln(1 )1xs(1) limxx2212xx1111 lim xln(1x) xln(1x) ln(1x) ln(1x)2222x11 xln(1x) ln(1 2x.2122x1xs(1) limln1 ln(1 )xx212xx(1)1111 lim xln(1x) xln(1x) ln(1x) ln(1x)2222x(1)11ln2+ lim ( xln(1x) ln(1 x)ln2.22x

22、(1)111xx ln(1 ) 1 1 xxx2故收敛域为1,1，和函数为：s x。( ) 2122x 111 a 0 0 1BO（21 15 分）已知 A与 B三阶矩阵，满足 ，B，1 1 00有非零解T。齐次方程组 （1）求a 的值；（2）求可逆矩阵P ，使为对角矩阵；P 1(AE100（3）求。BOAEB=Or(AE)r(B)3【解1）由，可得，而由12版权所有 翻版必究11 a B 0 0 1( ) 2，故 A( )1r A E0可知，r B，即，又由于齐次方程组有非零1 1 0解 ，即( )3r AE ，即 AE O，可得，从而( )1r A E，综合得Tr(AE)1，由 r(AE)r(B)3，可得 r(B) 20a1；B（2）由r(AE)1可得， 1是矩阵 A的特征值，且至少为二重的，又由 r(A)3，01,1,0 A E B = O B的可知 也为矩阵 A每一列均为 AEx=0的解，故矩阵 B任意线性无关的两列即为A