机械工程测试技术基础讲稿第二部分

1、机械工程测试技术基础讲稿第二部分第1页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四0tx(t)E例：求图1和图2周期方波的频谱。解：对于图1的信号，其周期为 ，可得x(t)0tE图1图2第2页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四第3页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四进一步为：同理可得图2信号的频谱表示式为：第4页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四00图1信号的频谱图2信号的频谱第5页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四两点重要的结论：当 ，即信号从周期信号转换为瞬态非周期信号时，频谱趋于连续。因此，瞬态非周

2、期信号的频谱应该是连续的。当 ，即信号从周期信号转换为瞬态非周期信号时， 。因此， 无法用于描述瞬态非周期信号。第6页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四 对 取极值，得频谱密度函数为：即为x(t)的傅里叶正变换。第7页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四0Et频谱密度函数的图示解释：第8页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四根据周期信号的复指数基展开，有取第9页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四那么，得到傅里叶反变换为因此，傅里叶变换对为正变换反变换可记为第10页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四由

3、于，因而有，上述傅里叶变换对可表示为：正变换反变换可记为第11页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四其中是一个复数，可表示为：存在以下关系第12页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四由于对于实信号 ，有 因此，对于实信号幅频谱为偶函数，相频谱为奇函数。第13页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四 傅里叶变换的存在的充分条件是在无限区间上绝对可积，即 但是，自从引入广义函数概念以后，在傅里叶变换中允许奇异函数（如冲击函数）存在，这样使许多并不绝对可积的函数（如阶跃函数、符号函数及周期函数等），其频谱函数有了确定的表示式。第14页，共47页，2

4、022年，5月20日，2点57分，星期四例1 求矩形窗函数的频谱 解：应用欧拉公式E-T/2T/2tw(t)0第15页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四W(f )TE01 T1 Tf3 T3 T2 T2 T(f )01 T2 T3 T1 T2 T3 TW(f )TE01 T1 Tf3 T3 T2 T2 T-幅频谱相频谱第16页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四例2 求下列函数的频谱 1tx(t)0解：1/afX(f)0-1f0第17页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四例3 求符号函数的频谱 解：符号函数是例2当a 0时的极限状态，因此

5、1tsgn(t)0-1问题：如何求得阶跃函数的频谱？第18页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四1）奇偶虚实性 若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数 若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数 若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数第19页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四2）线性叠加性 如果那么因此，Fourier变换是一种线性变换。第20页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四证明： 3）对称性 如果则有IFT定

6、义 互换t和f用-t代t这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证即第21页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四对称性举例 利用该性质，可根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。第22页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四4)时间尺度改变特性 如果则有得证证明第23页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四尺度改变性质举例 时间尺度改变特性，又称为时间展缩原理a) k=1b) k=0.5幅值增大频带变窄c) k=2幅值减小频带变宽第24页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四5）时移和频移性质如果则有时移性质： 频移性质：

7、证明： 此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值时，频谱函数将乘因子，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。第25页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四6）卷积性质（又称为褶积）卷积定义：运算步骤： 反褶，即平移，即相乘，即积分，即第26页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四图形解释 101-1/210-210210 信号 反褶 平移第27页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四101-1/2101-1/2 相乘和积分 第28页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四101-1/2101-1/2101-1/2 第29页，共47页，

8、2022年，5月20日，2点57分，星期四卷积结果15/1601-1/223卷积起到钝化作用；计算相当繁琐。系统与信号的关系 对于一个线性系统，其系统函数为h(t)，那么，输入信号x(t)和输出信号y(t)之间存在一个卷积关系，即h(t)x(t)y(t)第30页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四卷积性质可表述为：（这个性质很重要） 卷积一般难于计算，应用傅里叶变换的性质，可以将之化为乘积，然后再做反变换。卷积性质第31页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四7) 微分与积分性质同理若则证明即微分性质积分性质第32页，共47页，2022年，5月20日，2点57

9、分，星期四傅里叶变换的主要性质 积 分时 移 频域微分尺度变换 时域微分对称性 x1(t) x2(t)频域卷积线性叠加 x1(t)x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数 共 轭虚偶函数虚偶函数 翻 转 虚奇函数实奇函数 频 移 实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频 域时 域性 质频 域时 域性 质第33页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四3.几种典型信号的频谱3.1 单位脉冲函数(t)函数) 的频谱 函数定义其面积（强度）： 0t(t)/201/s(t)t第34页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四 函数的采样性质 第35页，共47页，2022年，5月20日，2

10、点57分，星期四卷积性 函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一类形式。把函数的卷积性质描述为：第36页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四函数与其它函数的卷积示例 第37页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四函数的频谱 对(t)取傅里叶变换频谱特点： 有无限宽广的频谱； 在所有的频段上都是等强度的。均匀谱白噪声第38页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四函数是偶函数 利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对 对称性频移性质时移性质第39页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四（各频率成分分别移相2ft0） (t

11、t0) (f) （单位脉冲谱线） 1 （幅值为1的直流量） 1 （均匀频谱密度函数） (t) （单位瞬时脉冲） 频 域 时 域 常用的(t)函数的性质第40页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四3.2 正余弦函数的频谱密度函数 正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。 由欧拉公式知：第41页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0第42页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四3.3 等间隔周期单位脉冲序列（梳状函数）的频谱 其中Ts为周期；n为整数。 周期单位脉冲序列（梳状函数）为周期函数。因此可以表示成傅氏级数第43页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个函数(t)，故式中第44页，共47页，2022年，5月20日，2点57分，星期四从而 所以 时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列； 时域周期为Ts ，则频域周期为1/Ts ； 时域脉冲强度为1，频域中的脉冲强度为为1/Ts。