2021-2022学年安徽省六校教育研究会高三(上)第一次素质测试数学试卷(理科)(解析版)

1、2021-2022 学年安徽省六校教育研究会高三（上）第一次素质测试数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.21设集合AxN|x28x+120，Bx|log（x1）2，则AB（）2Ax|3x5 2复数Bx|2x5，则|z|（）C3，4D3，4，5AB4CDn1n一个至少有3 项的数an中前n 项和S +a 是数a n1nC充要条件下列说法正确的是（）经过三点确定一个平面必要不充分条件 DB各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一个三棱锥四个面可以都为直角三角形二项式（x+1）n（nN*）的展开式中x3 的系数为20，则n（

2、）A7B6C5D4A（ ， ）绕原点逆时针旋转B得到点B，则点B 的横坐标为（）CD已知抛物线y22px（p0），A和B 分别为抛物线上的两个动点，若为坐标原点），弦AB恒过定点则抛物线方程为（）Ay22xBy24xCy28xDy216x角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方 形，若在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为（ ）BCD把 、34、7 后增，则这样的数列共有（ ）A20个B62个C63个D64个我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，9 填入 33 内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于1，2，3，n2 n n 阶幻方

3、的对角线上的数的和为NnN315N11 的值为（ ）A670已知双曲 线B671C672D6752F1F （M21 21 在第一象限），若F 与NF F 3：1 21 （）A设，B2，C，则（）D2AcabBbcaCacbDcba二、填空题（4520分）。13已知向量， 满足2， +则在棱长为2的正四面体ABCD 中，AE 是ABC 的高线，则异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为首先引入sec，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在三角学中首先使用，后经欧拉采用得以通行在三角中，定义正割sec，余割csc已知t0，且sec2x+tcsc2x16 对任意的实数x（x均成立，则t 的最小值为已知函

4、数f（x），设，且函数的图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为三、解答题（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。n log a nnnn2 nna 和 nn求数列的前n项和T nABC A，B，C a，b，ca3+c3b2a+b2cB；b ，求ABC 的面积最大值2020 9 12 年，我国儿童青少年总体近视率为 52.7%为掌握某校学生近视情况，从该校高三7 4 3 7 3 人做进一步医学检查X 3 X 的分布列与数学期望；设A 为事件“抽取的3 A 的概率如图在多面体ABCEFM 中底面ABC 是等腰直角三角形四边形ABFEABC，AECM，AEAC2CM6，N AB E

5、MN BC 于GCG长； 的余弦值已知椭圆C：（ab0）的离心率为F2是椭圆C 的左、右焦点，P为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为3C 的方程；CF2xl1M MF2xk2，探索k 是否为定值，若是求出；若不是说明理由设p，q1，满足证明：对任意正数x，有；对任意正数a，b，有参考答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.21设集合AxN|x28x+120，Bx|log（x1）2，则AB（） Ax|3x5Bx|2x5C3，4解：因为集合AxN|x28x+120 x|2x6，xN3，4，5，22Bx|log （x1）2x|1x5， AB3，42故选：C2复数A，则|z|（

6、B4）CD解：，故选：Bnn1n一个至少有3 项的数 中前n 项和S +a 是数a nn1n充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件+21解：若S n（aa ），则当n 时，S （n ）（aa+21n1nn11n12+1两式相减得， a n（aa ）（n ）（aa2+1n1n1n11+即（n ）aa（n ）a 1+n11n32+当n 时，（n ）aa（n ）a32+n21n1222得， （n ）a（n ）（aa222n1nn22 aaa2n1nn2n数列a 为等差数列，充分性成立，nnn1若数列S n（a +nn1n Sn n（a1+an）an为等差数列的充要条件，故选：

7、C下列说法正确的是（） A经过三点确定一个平面 B各个面都是三角形的多面体一定是三棱C各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一个三棱锥四个面可以都为直角三角形解：对于 A：经过不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于 B：由多个三角形构成的多面体不一定是三棱锥，故B 错误；对于 C：各侧面都是正方形的棱柱，底面为菱形的四棱柱不是正棱柱，故C 错误； 对于 D：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形，如图所示：二项式（x+1）n（nN*）的展开式中x3 的系数为20，则n（）A7B6C5D4解：二项式（x+1）n（nN*）的展开式中 x3 的系数为故选：B20，则 n6，A（ ， ）绕原点逆时针旋转

8、B得到点B，则点B 的横坐标为（）CD解：设直线OA的倾斜角为，则sin ，cos ，则cos（+）coscossinsin（ ）则点B 的横坐标为故选已知抛物线y22px（p0），A和B 分别为抛物线上的两个动点，若（O为坐标原点），弦AB恒过定点则抛物线方程为（） Ay22xBy24xCy28x解：设l：xmy+4，代入y22px，得y22pmx8p0，1设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y +y22pm，y1y28p， 则x1x2161AOB（O 为坐标原点），1 21 x x +y y 0，即 168p0，解得 1 21 抛物线的方程为 y24x；故选：B角形、一块正方形和一块

9、平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方 形，若在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为（ ）BC2，GF1，EF DE d ，白色部分的面积为：S221 ，S白在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P把 、34、7 这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先后增，则这样的数列共有（）A20个B62个C63个D64个解：从中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增减的数列有个，从中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减数列有个，故满足条件的总个数为个故选：B我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，9 填入 33

10、内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于1，2，3，n2 n n 阶幻方的对角线上的数的和为NnN315N11 的值为（ ）A670B671C672D675解：根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，Nn 1+2+3+（n21）+n2 ，故N11故选：B已知双曲 线671F F F （M1223在第一象限），若MF F 与NF F 的内切圆半径之比为 ： ，则直线 MN 31 21 2（）B2CD2解：设MF F 的内切圆为圆 O ，与三边的切点分别为 A，B，C，1 21如图所示，设 MAMCm，AF BF n，BF CF t，1122由双曲线的定义可得，所以 na+c，

11、由此可知，在MF F 中，O Bx 轴于点 B，同理可得 O Bx 轴于点 B，1 212所以 O O x 轴，12过圆心 O 作 CO 的垂线，垂足为 D，212122因为O O D+BF C180，BF C+CF x1802122所以O O D 与直线 l 的倾斜角相等，21设MF F 与NF F 的内切圆半径 r 、r之比为 3：2，1 21 2123因为 ，不妨设r ，r 31221则 O O 3+25，O D32121Rt2在 O O D 中 ，O Rt22122tanO O D2l 2，12设，则（）AcabBbcaCacbDcba解：设，则，bf（2），因为，所以当1xe 时，f

12、（x）0；当xe 时，f（x）0 所以f（x）在（1，e）单调递减，在单调递增因为 f（2）f（4），且所以，abc故选：D二、填空题（4520分）。13已知向量 ， 满足2， +（1，3），则 2解：由+（1，3），可得|+|，那么+|）10，即，2，；故答案为：在棱长为2的正四面体ABCD 中，AE 是ABC 的高线，则异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为2 ABCD 中，AE 是ABC AD，EC AC N，G，FNG，GF，NF， NGCD，GFAE，异面直线 AE 和 CD 夹角的平面角为FGN，作正四面体的高DO，且DO，O 落在AE 的三等分点上，作NM 垂直AE，可得NMDO；

13、且NM，NMABC，在EMF 中，可得EM，EF ，MEF90，MF；NMABC，NMF 是直角三角形，NF ；在GNF 中，NF 余弦定理可得cosFGN；那么异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为故答案为首先引入sec，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在三角学中首先使用，后经欧拉采用得以通行在三角中，定义正割sec，余割csc已知t0，且sec2x+tcsc2x16对任意的实数x（x，kZ）均成立，则t的最小值为9解：sec2x+tcsc2x（sec2x+tcsc2x）（sin2x+cos2x），当且仅当t 时，取等号，sec2x+tcsc2x16解得：t9 t25（舍已知函数f（x），

14、设，且函数的图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为（ ， ） 解：当x0 时，f（x）2x36x+3，f（x）6x266（x21）6（x+1）（x1），若 x（0，1），f（x）0，f（x）单调递减；若 x（1，+），f（x）0，f（x）单调递增，且 f（0）3，f（1）1，则画出 f（x）的大致图像，如图所示：，函数g（x）kx+恒过点 ），要使函数 yf（x）g（x）的图像经过四个象限，由图可知只需f（x）与 g（x）在（，0）和（0，+）上分别有交点即可，且交点不可为（3，0）和切点，当 k0 时，若g（x）kx+过点（3，0），则k ，0k ，当 k0 时，符合题意，当 k0 时，在

15、内，只需要求出过定点， ）即可，x设切点坐标为（ ， x00解得，切线的斜率为 ， k0，k 的取值范围为（ ， ），故答案为：（ ， ）三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。n log a nnnn2 nan和bn的通项公式；n求数列的前n 项和T nn1nnn 解：（1）S 当n1时，可得a 由a S S（n1nnn n可得a （4n1）（4n11）n24n1，当n1 时，2，满足；数列an的通项公式 an24n1；n2 又b n2 nb 2n1；nn故得数列b 的通项公式 b 2n1nn（2）由（1）可知 b 2n1，n设数列那么 数列cn，的前 n项和 T

16、n ABCA，B，Ca，b，ca3+c3b2a+b2cB；若b，求ABC的面积最大值解：（1）因为a3+c3b2a+b2c，所以（a+c）（a2ac+c2）b2（a+c）， 所以 a2ac+c2b2，即 a2+c2b2ac，由余弦定理知因 为 B（0，）， 所以B ，因为b，所以 a2+c23ac，所以 a2+c23+ac2ac，即 ac3，所以S acsinB故ABC的面积最大值为2020912年，我国儿童青少年总体近视率为 52.7%为掌握某校学生近视情况，从该校高三74373人做进一步医学检查X 3 X 的分布列与数学期望；设A 为事件“抽取的3 A 的概率解：（1）由题意可知，X 的可

17、能取值为 0，1，2，3，又所以 X 的分布列为：，X0123PXE（X）0+1+2+3；（2）B 3 2 1 C 3 1 2 人”，则 ABC，且 B 与 C 互斥，所以P（A）P（BC）P（X2）+P（X1）+ 故事件A发生的概率为 如图在多面体ABCEFM 中底面ABC 是等腰直角三角形四边形ABFEABC，AECM，AEAC2CM6，N AB EMN BC 于GCG长； 的余弦值解：（1）如图，延长 EM、AC，设 EMACH，连接 BH，AECMAE2CM，C AH BC 为ABH 的中线，N AB 的中点，HN 为为ABH HNBCG，G 为ABH 的重心，故 BG：GC2：1， BC6（2）CCA、CBCM、yz系，则 B（0，6，0），G（0，2，0），E（6，0，6），N（3，3，0），设平面GBE 的法向量为，由，取z1，得设平面GNE 的一个法向量为，由，取得cos由图可知，二面角 BEGN 为锐角，二面角 的余弦值为已知椭圆C：（ab0）的离心率为F2是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为3C的方程；C F2x l1 M MF2x k2，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由解：（1）椭圆的离心率为，PF1F2面积的最大值为3，解得a3，b，故椭圆的方程为（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），MF2x 轴，设直线 l设直线