选修22导数教材分析

1、精选文档精选文档PAGEPAGE14精选文档PAGE选修2-2：教材与教法剖析第一章导数及其应用一、地位与作用微积分的创办是数学发展中的里程碑，它的发展和宽泛应用创始了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数供给了重要的方法和手段导数、定积分都是微积分的核心看法，它们有极其丰富的实质背景和宽泛的应用在选修模块中，学生将学习导数和定积分的有关知识，领会此中包含的思想方法，感觉它们在解决实质问题中的作用，认识微积分的文化价值。二、课标要求导数及其应用的基本教课要求是：1经过对大批实例的剖析，经历由均匀变化率过渡到刹时变化率的过程，认识导数看法的实质背景，知道刹时变化率就是导数，领会导数的思想及其内

2、涵；经过函数图象直观地理解导数的几何意义2能依据导数定义，求函数yc,yx,yx2，yx3,y1，yx的导数（文科只需求求函数xyc,yx,yx2，y1的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法例求简单函数x的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(axb)的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表3联合实例，借助几何直观研究并认识函数的单一性与导数的关系；能利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间4联合函数的图象，认识函数在某点获得极值的必需条件和充分条件；会用导数求不超出三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超出三次的多项式函数的最

3、大值、最小值5经过使收益最大、用料最省、效率最高等优化问题，领会导数在解决实质问题中的作用。6经过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中认识定积分的实质背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步认识定积分的看法(文科数学不做要求)7经过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与行程的关系），直观认识微积分基本定理的含义(文科数学不做要求)8领会微积分的成立在人类文化发展中的意义和价值三、内容说明1本模块中，导数的看法是经过实质背景和详细应用的实例引入的。教课中，能够经过研究增添率、膨胀率、效率、密度、速度等反应导数应用的实例，指引学生经历由均匀变化率到刹时变化率的过程，知道刹时变

4、化率就是导数。经过感觉导数在研究函数和解决实质问题中的作用，领会导数的思想及其内涵。这样办理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。2在教课中，要防备将导数不过作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都能够用导数来描绘。3教师应指引学生在解决详细问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以领会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。关注微积分的文化价值。微积分的创办是数学发展中的里程碑，它的发展及其宽泛应用创始了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数供给了重要的方法和手段。教科书在不一样的机遇让学生经过认识微积分的发展史。比如，在

5、前言中介绍了与微积分密切有关的“四大问题”，论述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；经过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展现导数在科学研究中的作用；经过实习作业，让学生采集微积分创办和发展的有关资料，让学生领会微积分在数学和科学思想史上价值。第一：变化率与导数1教材剖析本节主要包含三方面内容：变化率、导数看法、导数的几何意义实质上，它们是理解导数思想方法及其内涵的不一样角度第一，教科书从均匀变化率开始，用均匀变化率研究刹时变化率，并从数学上赐予各样变化率在数目上的精准描绘，即导数；而后，从数形变换的角度，由数到形，借助函数图象，研究切线斜率与导数的关系，说明导数的几

6、何意义导数看法的核心变化率。变化率：均匀变化率、刹时变化率。均匀变化率割线的斜率切线的斜率。要重视4页上方的思虑题。导数和定积分都是微积分的核心看法，它们有着极其丰富的实质背景和宽泛应用。教科书选用了两个典型的变化率问题，指引学生经历从均匀变化率到刹时变化率刻画显示问题的过程，领会导数的基本思想，理解导数的含义。教课要点：让学生知道刹时变化率就是导数，领会导数的思想及其内涵，经过函数图象直观地理解导数的几何意义教课难点：让学生领会从均匀变化率到刹时变化率，从割线到切线的迫近方法；理解导数的看法2教课建议1）从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题下手，引入均匀变化率，让学生认识均匀变化率的几何

7、意义2）从均匀速度到刹时速度，从刹时速度到导数，让学生经历导数看法的形成过程3）从形的角度，成立切线斜率与导数的关系，获取导数的几何意义4）成立导函数看法5）极限的办理：一般地，导数看法学习的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数。这类看法成立方式拥有严实的逻辑性和系统性，可是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数实质的理解。所以，教科书没有介绍任何形式的极限制义及有关知识，而是从变化率下手，用形象直观的“迫近”方法定义导数，用“趋近于”、“无穷迫近于”、“趋于”、“无穷变小”等平常易懂的词对极限的过程进行描绘。这样一来，其

8、一，防止学生认知水平易知识学习间的矛盾；其二，将更多精力放于导数实质的理解上；其三，学生对迫近思想有了丰富的直观基础和必定的理解，有益于在大学的初级阶段学习严格的极限制义。可是极限的符号仍是能够引入的，这个不要过多解说，只把其作为表示语言表述:当x趋近于0时，f(x0 x)f(x0)趋近于一个定值，这个定值就是x0处的导数。x在教课中值得注意的是，教科书编写的要点在于理解看法的内涵和基本方法，其实不追求理论上的严实性和过多的技巧，建议教课时充分关注这一点，将教课要点放在看法内涵的理解上。第二：导数的计算1教材剖析本节主要包含三方面内容：一是利用导数定义求几个常有函数的导数；二是利用导数公式及导

9、数的运算法例求函数的导数三是复合函数的导数。利用导数定义求导数是最基本的方法，但最后要归纳为求极限，而新课程并未介绍极限知识，所以教科书只是采纳这类方法计算了五个常有函数的导数，意在让学生感觉这类基本方法同时也课对导数看法进行复习、巩固。教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法例，并未推导这些公式和法例，只需求利用它们求简单函数的导数，意在让学生掌握公式法求导数教课要点：让学生会依据导数定义求函数yc,yx,yx2，yx3,y1，yx的导数（文科只需求x求函数yc,yx,yx2，y1的导数）；建议不要大略而过，要一一求解。x能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法例求简单函

10、数的导数教课难点：（1）利用导数定义求几个常有函数的导数；（2）求简单的复合函数（仅限于形如f(axb)的导数，文科数学不做要求)2教课建议1）联系函数研究的需要，提出导数的运算问题2）让学生感觉定义法求导数的过程以便以后不感觉抽象3）联系几何直观和物理意义，进一步认识导数内涵，逐渐培育学生用数学知识解说现实问题的习惯（4）经过适当的练习，让学生熟习公式法求导数（5）对复合函数求导问题，仅限于形如f(axb)的函数求导，要点是正确地剖析出复合函数的复合过程，找出相应的中间变量，应防止过度的形式化的运算练习建议复习切合函数的有关知识：举例说明何为复函数，内层函数、外层函数？学生一定能够正确迅速辨

11、别出一个复合函数是由什么函数切合而成的。控制难度内层只限一次函数复合函数求导法例的推导、如何才能让学生更快更好的理解、掌握？认真研究课本，希望大家贡献一些好的方法。举例：求导过程的书写举例说明。进行必需的纠错与反应，不可以轻易相信学生人人都掌握好了。6）增添课时,求切线方程第三导数在研究函数中的的应用1教材剖析函数是描绘客观世界变化规律的重要数学模型变化规律可用函数性质来描绘导数方法是研究函数性质的通法本节主要包含三方面内容：一是利用导数研究函数的单一性；二是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值教课要点：1）利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间2）会用导

12、数求不超出三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超出三次的多项式函数的最大值、最小值教课难点：函数在某点获得极值的必需条件和充分条件2教课建议（1）联合实例，借助几何直观研究并认识函数的单一性与导数的关系（2）联合典例，让学生掌握利用导数研究函数的单一性（求单一区间）的方法与步骤（3）联合函数图象，直观感觉函数在某些特别点的函数值与邻近点函数值大小的关系，成立函数的极大值、极小值的看法4）借助几何直观研究函数在某点获得极值的必需条件和充分条件5）联合典例，让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤6）联合典例，让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方

13、法与步骤7）经过适当的综合性练习，让学生进一步领会导数方法在研究函数中的优胜性第一，防止过度的形式化的运算练习。对于导数的计算，有两种方法，一是用导数定义计算函数的导数，二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法例计算函数的导数。值得注意的是，因为没有介绍极限知识，所以第一种方法不过用导数方法计算四个函数（选修2-2是五个函数）的导数，目的在于让学生在感觉用定义求导数的过程中进一步理解导数；第二种方法是教科书直接给出了导数公式和运算法例，并无进行公式推导，也不要求推导，不过会用它们进行简单的计算即可。防止过度、复杂的形式化练习，防备将导数和积分作为一些规则和步骤来学习，而忽视了它们的思想和价值。

14、比方我们常常看到学生不动脑筋、不加思虑，求导令导数为0解x接下来不会了？第二，控制应用的广度与深度。比如，在用导数求函数极（最）值时，将函数控制在不超出三次多项式；关于生活中的问题，尽量选用背景比较简单，学生比较熟习的物理问题，像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。第四：生活中的优化问题举例不超课本难度为原则指引自学不可以缺失因材施教第五：定积分与微积分基本定理（一）定积分1教材剖析本节主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基天性质教科书在对两类典型问题（求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移）进行详尽议论的基础上，抽象归纳出它们的共同实质特色，从而引入定积分的看法及其几何

15、意义，最后给出定积分的基天性质初步介绍定积分的看法和简单应用，初步领会定积分的思想，为进一步学习微积分打下基础。通微分的展史，是学生领会微分的思想文化价。教课要点：“以直代曲”“迫近”的思想方法，定分的看法、定分的几何意教课点：“以直代曲”“迫近”的思想方法，定分的看法2教课建（1）情境，揭露“以直代曲”“迫近”的思想方法求曲梯形面和求速直运物体位移的程涵着定分的基本思想方法，在教课中，要学生充分体“切割-近似取代-乞降取极限”的程（2）归纳共同特色，引出定分看法（3）借助几何直，揭露定分的几何意（4）直感知定分的基天性于定分，教科出的用定算定分的函数都特别，并且和数一，种算方法的目的在于学生

16、认识定分的看法。利用微分基本定理算定分的基是数公式，因为数公式有限并且没有原函数等知，故于定分的算要求很，基本上都是一些通察能想到原函数的函数。（5）定分的几何意形面，代数和、正等(二)微分基本定理1教材剖析微分基本定理揭露了数与定分之的内在系，同它也供给了算定分的一种有效方法教课要点：直认识微分基本定理的含，并用微分基本定理算的定分教课点：认识微分基本定理的含2教课建1）情境，揭露求算定分新方法的必需性2）学生微分基本定理的程教课中，可借助速直运物体求位移，研究速度与位移（即数与定分）之的系，出微分基本定理3）常规教课，揭露用微分基本定理算定分的关（三）定分的用1教材剖析本内容是用定分求比复

17、的平面形的面、求速直运物体的行程（位移）以及求力所作的功解决些的关是将它化定分同，通数形合的思想方法，加深定分几何意的理解教课要点：用定分求平面形的面、求速直运物体的行程以及求力所作的功等，学生在解决的程中体定分的价教课点：将化定分2教课建（1）情境，学生体定分的价教课中，可从平面几何顶用初等方法以解决的平面形面下手，学生将平面形面化定分的程再以定分在物理中的用，化学生的2）常规教课及式，帮助学生求比复的平面形面的方法和步，并学生一步体定分的价易点辨析性例1已知a数，f(x)=(x24)(xa),若f(x)在(,2和2,+)上都是增的，求a的取范解：f(x)=x3ax24x+4a,f/(x)=

18、3x22ax4,f(x)在(,2和2,+)上都是增的，在(,2上f/(x)0恒成立且在2,+)上f/(x)0恒成立，对于，函数f/(x)=3x22ax4的张口向上，且过点(0,4)，只需f/(-2)0,对于同理可得f/(2)0，解得2a0(0)，则f(x)在a,b上是增（减）函数，但反过来不行立.反之应为若f(x)在a,b上是增（减）函数，则f/(x)0(0)所以该题应为f/(-2)0且f/(2)0,易得2a2极值问题例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求f(x)错解：f/(x)3x2+2ax+b,f(x)在x=1处有极值为10，f/(1)32ab0a4a32

19、解得b或b3f(1)1aba1011f(x)=x3+4x211x+16,或f(x)=x33x2+3x+9辨析：函数f(x)在一点x0处的导数为0，是f(x)在该点处有极值的必需非充分条件，以上解法中还应考证在x=1双侧导数能否异号事实上当a=3,b=3时，f/(x)=3x26x+3=3(x-1)20,x=1不是极值点，与题意不符，舍去当a=4,b=11时，f/(x)=3x2+8x11=(3x+11)(x1),易知x=1双侧f/(x)异号，x=1是f(x)的极值点只有f(x)=x3+4x211x+16切线问题例3已知函数f(x)=1x3+4,求(1)过点A(2,4)的切线方程；(2)过点B(2,

20、4)的切线方程333错解：f/(x)x2(1)由f/(2)4知,所求切线的斜率为k4,故切线方程为y4=4(x-2),即4xy4=0(2)斜率k=f/(2)4,切线方程为y4=4(x2),即12x3y20=03辨析：求过一点的曲线的切线应注意两点：（1）所给的点在不在已知曲线上；（2）若所给的点在已知曲线上，还要看能否是以该点为切点作切线此题点A在曲线上，但不必定以A为切点，点B不在曲线上若求以A为切点的切线（等价于A点处的切线），则(1)的解法正确正确解法以下：设切点为P(x0,y0)，则切线的斜率为k=f/(x0)=x02，故切线的方程为：21342(xx0)yy0=x0(xx0),即y(

21、x0+)=x033(1)代点A(2,4)得:x0=1或x0=2,从而可得切线为4xy4=0或xy+2=0400=3,从而可得切线为:(2)代点B(2,)得:x=0或x3y=4或27x3y50=03第二章推理与证明一、内容说明“推理与证明”是新课标新增内容(选修1-2第二章，选修2-2第二章)，主要包含合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（此中数学归纳法文科数学不作要求）“推理与证明”是数学的基本思想过程，也是人们学习和生活中常常使用的思想方式本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思想活动中抽象出来的，是由数学思想过程凝缩而成的，是高中数

22、学的重要基础，在高中数学中据有极其重要的地位和作用二、课标要求1合情推理与演绎推理（1）联合已学过的数学实例和生活中的实例，认识合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，领会并认识合情推理在数学发现中的作用2）联合已学过的数学实例和生活中的实例，领会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3）经过详细实例，认识合情推理和演绎推理之间的联系和差别2直接证明与间接证明（1）联合已经学过的数学实例，认识直接证明的两种基本方法剖析法和综合法；认识剖析法和综合法的思虑过程、特色（2）联合已经学过的数学实例，认识间接证明的一种基本方法反证法；认识反证法的思虑过程、特色3

23、数学归纳法（文科不做要求）认识数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题4.数学文化经过对实例的介绍（如欧几里得几何本来、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公义化思想。介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。（一）合情推理与演绎推理1教课要点与难点教课要点：认识合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；认识演绎推理的含义，能利用段论”进行一些简单推理教课难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题“三2教材剖析合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式（1）“合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一数学能力要求的历史变化：最先（1952年纲

24、领）三大能力计算能力、逻辑思想能力、空间想象能力；1978年增添了“培育学生剖析问题与解决问题的能力”；2003年公布的一般高中数学课程标准（实验稿）中，增添合情推理要求。考试说明六大能力：空间想象能力、抽象归纳能力、推理论证能力、运算求解能力、数据办理能力、剖析问题和解决问题的能力。（2）归纳推理和类比推理是合情推理的两种常用的思想方法归纳推理是由某类事物的部分对象拥有某些特色，推出该类事物的所有对象都拥有这些特色的推理，或许由个别事实归纳出一般结论的推理因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般，所以结论不必定靠谱，只好算是一种猜想类比推理是由两类对象拥有某些近似特征和此中一类对象的某些已知

25、特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理其思想过程是从特别到特别，类比的基础是事物之间的相像性或某种特别性因为类比推理是由特别到特别的推理，所以结论不必定靠谱，只好算是一种猜想合情推理拥有两大功能：一是研究一般结论，二是发现解题思路（3）演绎推理是由一般到特别的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式三段论由三部分组成：（两个前提，一个结论）M是P，大前提已知的一般原理；S是M小前提所研究的特别状况；S是P结论依据一般原理，对特别状况做出的判断三段论可用右侧的格式来表示用会合看法就是：若会合M的所有元素都拥有性质P，S是M的子集，则S中所有元素都拥有性质P演绎推理只需前提正确，推理的形式正确，那么

26、推理所得结论就必定是正确的但错误的前提会致使错误的结论（4）合情推理与演绎推理的联系与差别：从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，两者有差别合情推理是依据已有的事实，经过察看、剖析、比较、联想，再进行归纳、类比，而后提出猜想的推理，是由部分到整体、由个别到一般、由特别到特别的推理，合情推理作出的结论未必靠谱，有待于进一步证明或否认演绎推理是由一般到特别的推理，只需前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就必定是正确的正如波利亚所说：“论证推理（即演绎推理）是靠谱的、无可置疑的和终决的合情推理是冒险的、有争议的和临时的”从两者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度上讲，它们又是密切联系，相辅相成

27、的合情推理的结论需要演绎推理的考证，而演绎推理的内容一般是经过合情推理获取的演绎推理回答如何证明定理或命题的问题，是“论证”的手段，而合情推理回答如何发现定理或命题的问题，是发现的工具合情推理能够为演绎推理供给方向和思路，演绎推理能够考证合情推理的结论的正确性合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式很多重要的科学结论（包含数学的定理、法例、公式等）的发现常常发端于对事物的察看、比较、归纳、类比等，即经过合情推理提出猜想，而后再经过演绎推理证明猜想正确或错误对于数学学习来说，既要学会证明，也要学会猜想3教课建议1）要注意联合实质例子，使学生认识合情推理的含义；2）要经过学生学过的简单的数学

28、例子，让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法；3）要经过数学史事，使学生认识合情推理在数学发现中的作用；（4）要经过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握演绎推理的基本模式“三段论”推理模式；5）要经过反例，让学生理解演绎推理的前提与结论之间的蕴涵关系；6）要经过详细实例，帮助学生认识合情推理与演绎推理之间的联系与差别，让学生既学会猜想，又学会证明（二）直接证明与间接证明1教课要点与难点教课要点：联合已经学过的数学实例，认识直接证明的两种基本方法剖析法和综合法，认识间接证明的一种基本方法反证法；认识剖析法、综合法和反证法的思虑过程、特色教课难点：依据问题的特色,联合剖析法、综合法和反证法的思虑过

29、程、特色,选择适合的证明方法或使用不同的证明方法解决同一问题.2数学结论的正确性一定经过逻辑推理的方式加以证明才能获取确认，这是数学差别于其余学科的明显特色直接证明与间接证明是两类基本的数学证明方法.1）综合法的思想特色是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法2）剖析法的思想特色是：执果索因即从结论下手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公义、定理、公式等）或已知条件，从而获取证明好多演绎推理的证明题都是采纳这类方法进行思虑的，有也将合法和剖析法合起来使用3）反法是接明的一种基本方法，任何一个都有正反两面，当直接明有困，便能够考

30、使用反法反法的步可：反3教课建1）先合法，后剖析法合法和剖析法，是直接明中最基本的两种明方法，也是解决数学常用的思方式合法是学生使用多、熟习的一种方法剖析法然在去也常使用，但学生在理解上然不如合法那简单（2）要打破剖析法一教课点剖析法的主要困有两点：一是学生种明方法的思虑程不理解；二是学生种明方法的表达方式不打破点的方法有两点：一是合详细的数学例，学生感觉分析法明的靠谱性，以及“要只需”种表达的必需性；二是将剖析法与合法比着行解帮助学生加深剖析法思虑程及特色的理解3）通详细的数学例，帮助学生形成既剖析又合的思方式，学会将剖析法与合法合起来运用合方式有两种：一是先用剖析法探思路，再用合法有条理地

31、表述明程；二是将剖析法与合法合起来，明某些复的数学4）合已学的数学例，帮助学生认识接明的一种基本方法反法，认识反法的思虑程、特色在必修的教课中，学生已使用反法了然一些的数学命，于反法学生其实不是完好陌生的本次教课尽量利用学生已有的，一步加深反法的思虑程、特色的认识一是要提用反法的基本模式反法的步可：反此中，正确反是用好反法的前提，推出矛盾（）是用好反法的关反能否正确，与知亲密有关，要系常用用中的有关知二是反法的合用范反法主要合用于以下两种情况：要的与条件之的系不明，直接由条件推出的索不清楚；假如从正面明，需要分红多种情况行分，而从反面行明，只需研究一种或极少的几种情况（三）数学法1教课要点与点教课要点：借助详细例认识数学法的基本思想，掌握数学法的基本步，运用数学法明一些与正整数n（n取无穷多个）有关的