集合与实变函数

1、集合与实变函数第1页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第2页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第3页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第4页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第5页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第一章 集合与映射集合的概念集合的运算集合间的映射集合的基数集合的拓扑集合的测度第6页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四具有某种确定性质的事物或对象的全体，称之为集合，记为A。罗素悖论：所有集合放在一起，是否是集合？某一个理发师，声称：给所有不给自己理发

2、的人理发，那他的头发怎么办？第7页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第8页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第9页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第10页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第11页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第12页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第13页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四类：其元素是集合的集合，记为 第14页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第15页，共62页，2022年，5月

3、20日，14点32分，星期四第16页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第17页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四映射类型：单射、满射、双射第18页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第19页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第20页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第21页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第22页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第23页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第24页，共62页，2022年，5

4、月20日，14点32分，星期四第25页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第26页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四可数集合的性质任意无穷集合都有可数子集可数集合的子集至多是可数集合可数个可数集合的并仍然是可数集合无穷集合不一定都是可数的，入如（0，1）第27页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第28页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四二、集合上的拓扑结构第29页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四度量空间第30页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四有了开集的概念，就可

5、以定义闭集、映射的连续等等概念第31页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四直线上的开集、闭集和完备集第32页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第33页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四拓扑空间第34页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第35页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四欧式空间的重要定理第36页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第37页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四三、集合的测度第38页，共62页，2022年，5月20日，14点32分

6、，星期四第39页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四直线上集合的测度第40页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第41页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四可测集类就是全体Borel集和全体零测度集合的“可加”集合类的确存在不可测集合，如商集合0,1/Q在二维以上的欧式空间，也可以作类似的推广，其上的Lebesgue测度理论与直线上的情形很相似。第42页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第二章、L-可测函数和L-微积分理论一、可测函数第43页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第44页，共62

7、页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第45页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第46页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第47页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第48页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四二、L-积分可以通过依次引入下列各函数类的L-积分： 非负简单函数、非负可测函数、有界可测函数、一般可测函数在有界可测集和一般可测集合上的积分L-积分与R-积分有着几乎完全一样的性质： 单调性、线性、对集合的有限（可数）可加性、积分的绝对连续性等等第49页，共62页，2022年，5月20日，14

8、点32分，星期四第50页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四两者的区别与联系改变函数f在零测度集上的定义，其L-积分不变。第51页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四积分与极限换序第52页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第53页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四Fubini定理第54页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四第55页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四三、微分条件太强了，在L-积分中，只需要函数F(x)是绝对连续，就够了第56页，共62页，2022年，5月2

9、0日，14点32分，星期四第57页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四有趣的问题严格递增的连续函数是不是处处可导，其导函数一定大于0？其导函数是不是可积，积分等于端点处的函数值之差？例如Cantor函数第58页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 第59页，共62页，2022年，5月20日，14点32分，星期四函数空间L2a,b上平方可积的函数的全体，将几乎处处相等的不同函数视为同一个元素，就得到了一个商集L2，通过定义距离，正交等概念，可得到一无穷维的欧式空间。在L2中建立正