d95微积分学基本定理计算

1、寄 语也不属于有钱人,而是属于有心人.这个世界,不属于有权人,1第一节、定积分概念第三节、可积条件本章内容：第二节、牛顿-莱布尼兹公式第四节、定积分的性质 第五节、微积分学基本定理-定积分计算 第九章定积分*第六节、可积性理论补叙 2二、定积分的换元法 第五节一、变限积分与原函数的存在性微积分学基本定理定积分计算（续）三、定积分的分部积分法四、泰勒公式的积分型余项 3一、变限函数与原函数的存在性定理1. （2）（1）4证明：（1）5则有(2) 证毕.6定理1. (2) 原函数的存在性定理7牛顿 莱布尼兹公式再证证明:根据定理 1,故定理2.函数 ,则8证明:得记作证毕.9 微积分学基本定理 微

2、积分学基本公式小 结牛顿 莱布尼兹公式原函数存在定理10思考题：?问题1问题2的原函数如何表示？两函数11说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:12例1. 求解:原式例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使解:原式 = c 0 , 故又由, 得13例3(1)(2)(3) 设函数是由方程所确定求解：方程两边同时对求导得：14例4 已知解15例5. 证明在内为单调递增函数 . 证:只要证16定理2. （积分第二中值定理）设函数1）若函数在 上可积，在 上单调减，且则存在使2）若函数在 上单调增，且则存在使证略！17推论. 设函数若函数在 上可积，在 上单

3、调，则存在使证明：不妨设函数在 上单调减，令则h为非负、递减函数，由定理2-1）知，存在使即整理即得。18二、定积分的换元法 定理3. 设函数函数满足:1)2) 在上证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .是的原函数 ,因此有则则191) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限4）如果定理条件中只假设为可积函数，但还要求是单调函数，则结论仍然成立。说明20例1. 计算解: 令则 原式 =且21例2. 计算解: 令则 原式 =且 22 换元必换限不换元则

4、不换限例3.计算23例4.证:(1) 若(2) 若偶倍奇零24例5 计算下列定积分 解解25三、定积分的分部积分法 定理4. 则证:26例1. 计算解:原式 =27例2. 证明证: 令 n 为偶数 n 为奇数则令则28由此得递推公式于是而故所证结论成立 .29例3.计算解：第二项用换元积分法：令则一般：301）佩亚诺(Peano)型 余项四、泰勒公式的积分型余项2）拉格朗日(Lagrange)型余项313）积分型余项阶的连续导数 ,4）柯西(Cauchy)型余项阶的连续导数 ,32内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.提示: 令则332. 设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示: 两边求导, 得得343. 设求解:(分部积分)35作业P229 3；4奇数题 ; 5； 6