等离子体高等-02i

1、9. 非均匀等离子体中的。3。9.1 多尺度分（multi-ysis9. 非均匀等离子体中的。3。9.1 多尺度分（multi-ysis）方法9.1.1 双时间尺度分（asymptoticmethod里只做简单的介绍。对这种方法的详尽了解可以参考有关的书籍（渐进方法：在流体力学中的应用，友，1983E(t) E(0;0 i (9- 上的算子（矩阵E(t) E(0;0 i (9- 上的算子（矩阵） () 来说有 即如在0 附近展开 ，使(9-()( )( ) O()2 ，00其中 等价于算i/ 0 O(c.c.(9- (9-2A(t)B(t) 在时间间隔t 上做平均这个时间间隔t 的“周期10，

2、但是远远小于慢时间尺度1/ 0 ，即1 0t 1/ 。011 * A(t)B(t) AB A B (9-4t也就是说，在这个时间间隔里，可以近似将随时间慢变的“幅度”A(B(9.1.2 能量密度及能量流密BE1BEB 4 也就是说，在这个时间间隔里，可以近似将随时间慢变的“幅度”A(B(9.1.2 能量密度及能量流密BE1BEB 4 J1 E(9-c c 出发得cEB B JE0(9-t 率JE EE（E2 ，在各向同性等离子体中）第三项Poynting 矢量流（即电磁场能量流）写1i c.c. (9-E 0121i c.c. (9-B 012利用上面（9-05）给出的“时间平均”结果，忽略空

3、间变化） H E 0 *(9-这里等离子体中的“波能”密度（包括电磁波能量密度与“波-粒子相互作用 1 | |2 | |2 i * H 1| E E (9-0 1 | |2 | |2 i * H 1| E E (9-0 |160其中，矩阵算子MiM （及其转置共轭MT* iM 比如，（HAHA其转置共轭，包括了“对称的”Hermitian 分 1MMT*(9-H2和称的”非Hermitian 分M 1 MMT*(9-AM MH iMAMT* iM (9-利用前面的“双尺度”分析将作用在慢变物理量（幅度）上的矩阵算子M 1MMT*M( )O2(9-H021 MMT* M(0) (9-M。A0显然

4、，在慢变近似下称非Hermitian 分量是 O() 的数量级可以看出，波能密度随时间的变化是介电张量() 称非Hermitian 1|E | |20(9-20 16 t0 0 1|E | |20(9-20 16 t0 0(0H)/| |2 | |20(9-| |2| |2 e2t0(9-00 (9-。(0H)/(0R)/其中的(0R ) / 0 表征波能，而0I 表征因为波-粒子相互作用引起的功率方程（9-18）的物理图像是（1）有(0R0 0，则0I 0表示功率损失导致波的衰减；而0I 0，有(0R)/00，则0I0表示功率损失，导致波的衰减；而0I 0 表示功率增益，导致波的增长。Lan

5、dau阻尼率 。R/9.1.3 双时空尺度分E(x,t)E(0,k0;t,x)e 0 i(k x t1(9-若用xt来表示时空的快变，而 x， tE(xtE(0k0;)e 0 i(k x t(9-类似地，对作用在E 上的若用xt来表示时空的快变，而 x， tE(xtE(0k0;)e 0 i(k x t(9-类似地，对作用在E 上的算子（矩阵）(k) 有(,k)(0 i/,k0 i/)E (9-即，当算子(k(0 k0 k在 0k k0 于idd ，而k等价于iddM MH iMAMH MH (0,k0)O 2MA O(9-k(kE(,k) (,k)E(,k)c可以写出其零阶（主导阶）D(0,k

6、0) k k k I ,k ) E02 0 ,k k k k I20(9- 0 2|B| 2k E E(9-0H209.1.4 群速 1E E |B| E *0 16 t0 10E E E BE(9-16 H9.1.4 群速 1E E |B| E *0 16 t0 10E E E BE(9-16 HP2W (9- 1|B| E 0 160( )(2 )110 H 0 H *(9-波能流密度（等价于 Poynting 矢量P 1 cReE* 1 * 8 2 0 0cReE* * (9-8 2 01 E E *2 (9-0A。 E W2 0与上一小节相同， 有着类似Landau阻尼的性质 (9-W

7、速度VW (9-W速度VW E V V B (9-*Re 2 09.2 几何光学近似，光线方9.2.1 几何光学近可以把波（的电矢量）E(x,t) E(,)ei(k9.2 几何光学近似，光线方9.2.1 几何光学近可以把波（的电矢量）E(x,t) E(,)ei(kxt)1(9-保持时空变量 x t 作为快变时空尺度，并将慢变时空尺度表示为这里 x， t（wavelet 从上节可知， (k) 是快尺度下的色散关系即波方程的最低（零阶（quasi-particle度“轨迹（trajectory）， (k) V dx (9-Wg（geometric approximation且方程（9-27a）称为

8、“光迹方程 (k;,)(9-k k(,(9-（准粒子）（Ray 9.2.2 光线方光线方程（组）dd (k;,)(9-k k(,(9-（准粒子）（Ray 9.2.2 光线方光线方程（组）dd (kk 不失一般性仅假设空间慢变尺度的存在，则可以写（9-26）E(xt()ei(k()xt) E()eiS (x,t) (9- （eikonalD D(k;(9-D |D| D(k;0 (k对于波矢k k(D(k;) 0dD D D d Ddk Dd 0(9- 即Ddk Dd Ddk D 0(9-(9-9.2.3 “程函”表只E(xt) eiS(x,t)(9-S (x,t)S (9-9.2.3 “程函”

9、表只E(xt) eiS(x,t)(9-S (x,t)S 0 x (xt1 4i (9-S /t (xt) S 1/2c01/2c(9-pk(x,dS S dx 0(9-x dx 1/2cV (9-pk (9-， t (9-9.2.4 “准粒子”表E(x,t) eiS(x,t)(9-D|D| D(x,t;k,)0(9-k k(x,t)(9- t (x,t;k)(9-9.2.4 “准粒子”表E(x,t) eiS(x,t)(9-D|D| D(x,t;k,)0(9-k k(x,t)(9- t (x,t;k)(9-k2 2(9- (9-，。 k kdx kx S( S )t kk (9- k xx d

10、dx (9-x 从光线方程组（9-27，D(x,t;k,) (x,t;k)(9-k k(x, (9-d (x,t;k(9-显然容易看出，k k(x, (9-d (x,t;k(9-显然容易看出，波包的“色散关系 (x, t;k) 具有“能量”27，即方程组加上“光迹方程（9-27a，可以写成Hamiltonian 方程的形式d dH ，dx dx ， 这个工作与量子力学发展过程中对德布罗意（de ）波的“准经典似”的解释是一致的。在研究等离子体中波-粒子以及波-波相互作用时使用的 9.3 截止9.3.1 均匀等离子体中的截止先来回顾一下均匀等离子体中波的截止的一般性质 k2c2对于k0，有 9.

11、3 截止9.3.1 均匀等离子体中的截止先来回顾一下均匀等离子体中波的截止的一般性质 k2c2对于k0，有 pe。如果pe，则k 02，其振幅在 1/ | k |的距离上指数衰减。所以 pe 被称为光学电磁波在等离子还发现，在截止时（k 0）2k210 在k ”解 ce 还看到，在”处（k ，波的相速度和群速度都趋近零播）真实的非均匀等离子体中发生的截止9.3.2 非均匀等离子体中的截止“程函近似即“几何光学近似（等价于量子力学中求解 Schrdinger 方程“准经典近似”或渐进方法中的“WKB真实的非均匀等离子体中发生的截止9.3.2 非均匀等离子体中的截止“程函近似即“几何光学近似（等价

12、于量子力学中求解 Schrdinger 方程“准经典近似”或渐进方法中的“WKB 近似WKB 理（turning 向点”处，WKB 近似不再成立。对于非均匀等离子体中的仅考虑空间的不均匀性，WKB 近似成立的条件k2 或者是“截止”点 0 ，WKB 近似都不再成立似方法，而必须对波动方程（waveequation）（）d q(x)E(x)02(9-2这里，2 1q(xxWKBx(9-E(x) Edxk(x )q(x12满足WKB 近似条k2（1）截止规则转向点（regularturning如果q(xx（ 0 0附近0 x 1/22(9-kx。x显然，WKB 近似在这一区间不再成立。事实上，x(

13、9-E(x) Edxk(x )q(x12满足WKB 近似条k2（1）截止规则转向点（regularturning如果q(xx（ 0 0附近0 x 1/22(9-kx。x显然，WKB 近似在这一区间不再成立。事实上，对于几何光学近似xE(x) Edxk(x x0 （evanescentx0数学上，类似（9-36）的方d2xE(x) (9-2被称为 Airy 方程，其两个线性独立解被称为 Airy 函1 3Ai(r) dcosr (9-3031 3Bi(r) d expr sinr(9- 330其中r 213 x，而x 0是这类方程的“规则转向点奇异转向点（singularturning139，

14、，那么 0附近有 ，x2 d(9-。则 WKB 近似不成立。事实2dxE(x)2 0 处有一个奇点，所以方程的解在这里是奇异的，而且很可能剧烈振荡在x所称x0为“奇异转向点”或者点面 0附近 引起的小尺度效应2dxE(x)2 0 处有一个奇点，所以方程的解在这里是奇异的，而且很可能剧烈振荡在x所称x0为“奇异转向点”或者点面 0附近 引起的小尺度效应导致xA）面（面或奇异电流片B）（leading order耗散项一般具有空间的高阶导数限 Larmor 半径效应）成为主导阶，引起线性模Alfvn波（shearAlfvnwave，SAW）Alfvnwave，KAW“规则转向点”的连接条件（con

15、necting condition）在量子力学中已经充吸 n 24E(xt) 0(9-0m ，其中 n e m E 200e2D(0(9-2 4ne2E(t0。(9-t2D(;) (9-。如果等离子体是非弱均匀的，其密度n0 n0(x 4ne2E(t0。(9-t2D(;) (9-。如果等离子体是非弱均匀的，其密度n0 n0(x (x)4n (x)e2 /m (9-0e (x) E(xt) 02(9-2t如果外部驱动源的频率是0 ，对稳态解（不考虑时间的多尺度WKB 的程函近E(x,t) 0(x)expi(x)i0t (x)e0 i (9- (9-00D0 (x,0(x)(9-， 2D (x,

16、)1(9-。2000k S d i (9-x x 有 (x D (x , 0000 x(x0 xk S d i (9-x x 有 (x D (x , 0000 x(x0 xx0吸”现象可以从程函近似下的解（9-46）和（9-48）直接得到：x x0 D0(x0,00，所以解（9-46）的振幅（9-48）激发频率振荡（程函解（9-但是当外部激发的波的振荡频率与等离子体振幅（即受迫阻尼谐振子的情况引进很小的阻尼率，0 ，2D(x, ;)(9-。( i0如果0 022D(x, ;)(9-。02300点x x0附x )i (xi(9-D00000这里2pe(x00n0(x0n0(x0，0不失一般性如假

17、设pe(x0)0则0写 1/Ln 其中x x0) Ln x2 x 8 Im D(x, ) 01 0Im(9-0 x 0 点x x0附近2 x 8 Im D(x, ) 01 0Im(9-0 x 0 点x x0附近(xx (9-0则波在”x x0面的功率损失 P 1 (9-；0n8如日冕的电流片加热模型29.4 线性模式转9.4.1 与等离子体静电振的入射波转换成 Bohm-Gross 上面情形，即频率是0 ，对时间平稳变化的情况（忽时间多尺度。这样的高频（在电子等离子体频率附近） (9-9.4 线性模式转9.4.1 与等离子体静电振的入射波转换成 Bohm-Gross 上面情形，即频率是0 ，对

18、时间平稳变化的情况（忽时间多尺度。这样的高频（在电子等离子体频率附近） (9-显然，其一般解（9-48）x x0 附近有1xx00000(x)(9-。Dx0 ddD (x) E(x)0(9-dxD 或dD (x) E(x) E (9-22这里D e0D D Ln 这个方程的齐次方程的两个独立解给出 Bohm-Gross 波（ (x)k (x)，在均匀等离子体情况成一般的Langmuir 波2 e2）x D 为(x00 3）x D AirydrE(r)02D2而方程（9-56）可以写成dr E(r E 2D(9-2这里rxx0。则非齐次方程（9-56）x x0（r 0）00 x03）x D Ai

19、rydrE(r)02D2而方程（9-56）可以写成dr E(r E 2D(9-2这里rxx0。则非齐次方程（9-56）x x0（r 0）00 x02 x3/L(9-A 0 x(40 00(9-。( x0L 13 1/3 Airy2ADDDD1 奇异性被化解在这个Airy 尺度里x00000L (9-，2/ 0AAD且入射波的“通解”部分转换成 Airy 函数形式的 Bohm-Gross 波9.4.2 磁化等离子体中低频入射波转换成动理学 Alfvn Larmor effect 的、频率为0幅度对时间缓慢变化（可以忽略） D (xD (x) (x0(9-dx D (x) 2xAxyAik yik

20、 z (x,t) ，xxD (x V (xk 222A显然，方程（9-59）D幅度对时间缓慢变化（可以忽略） D (xD (x) (x0(9-dx D (x) 2xAxyAik yik z (x,t) ，xxD (x V (xk 222A显然，方程（9-59）D (x (x k 0处（即入射波的频率 2220当地的剪切Alfvn 波频率k|VA 处）在这点x x0 （DA(x0)0）附近，方程（9-59）可以写rk 2(9-dr x 的形式，这里r xx0 (9-xy道。那么离子有限 Larmor 半径效应就成为“消除到D k 在这2 2 x x（D (x 0k2dddrk 0r 2(9-dr

21、 D(0) xAdr E02(9- Alfvn波色散关系 k V (1k 22 | 9.4.3 与磁化电子等离子体的入射波转换成离子 Bernstein 波几何光学近似下，平 Alfvn波色散关系 k V (1k 22 | 9.4.3 与磁化电子等离子体的入射波转换成离子 Bernstein 波几何光学近似下，平行磁场方向入射的静电波（0 ，k| ）在均匀磁化（背磁场保持不变）的非均匀等离子体（背景密度不均匀）k2x)D (xk2D (x0(9-c低频近似下（0 2ci 22D (x)p(9- 2D (x) 1(9-。202.1） 在低密度区p(xc Dc(xk2x) k2D (x(9-x ，

22、k21）x x ， )k2D 0 x x x 2）x x k (xk k 2k2222220 x23）x x 2 2pk2(x)k2 k (x)/ (9-2 202.2） (x D (x 02222x D (x )1p00(9-x x0 (x 2(9-k2(x) k(9-，D 得到k2x k2 x x x0 (x 2(9-k2(x) k(9-，D 得到k2x k2 x 01）x x k 12 02）Bernstein模式（ci 0 2ci )k )k 22 22 D (x ) D (x )(9-，42 2220 (x ) k2(42 222D (x k2(x )kk0。 (9-0 D (x (

23、x ) k (x 222 2D (x 这里0 pi(x02ci Bernstein 波9.5 漂移9.5.1 磁化等离子体中的漂移运不均匀性引起的压强梯度漂移（抗磁漂移，或称逆磁漂移 cEVEBb (nT b(n2 V 9.5 漂移9.5.1 磁化等离子体中的漂移运不均匀性引起的压强梯度漂移（抗磁漂移，或称逆磁漂移 cEVEBb (nT b(n2 V pccb(B 2， bc2bln 0 (9-v1而对于温度梯度引起的漂移波不稳定性（如离子温度梯度模，ITG；电子度梯度模，ETG 等 lnn9.5.2 离子静电漂移 ci ，Di i k| e bln/2化的方向（即lnn0的方向）vD vD

24、0有 n 9.5.2 离子静电漂移 ci ，Di i k| e bln/2化的方向（即lnn0的方向）vD vD 0有 n n en (1e/T )e /T (9-e0e0in in kv v n 0， k*(9-icivk b(9-0 ivk b0 ik ik ci (9-利用bvk b) vk 2qi i k ik bk (9- e /T (9-0 vk lnn0 k (9-，k2 q | i k ik (9-vn0 2qi i k ik bk (9-n0 qi2n0 0k k q2 k2 q*nn | | (9-Di 并利用Poisson 方程，* | 4ne2 kk 1k 2 *| i

25、n 2 n0 qi2n0 0k k q2 k2 q*nn | | (9-Di 并利用Poisson 方程，* | 4ne2 kk 1k 2 *| in 2 k 42* | 1(9-i2Te Te *ieTik*k | 1(9-2 e1k k c 0(9-2 22es11/ ) (9-*2 c。iee| k2 2 1对于主要平行磁的模 (9-；1k 2 得到漂移波（利用了k 1近似2 *e k(9-， | *即 (1*(9-i。* 0*ee9.5.3 准静电漂移波，低混杂漂移波不稳定对较高频率的静电波，ci ce，D kBoltzmann 假设ink in0kvk vk n0 0， k(9-iv (1*(9-i。* 0*ee9.5.3 准静电漂移波，低混杂漂移波不稳定对较高频率的静电波，ci ce，D kBoltzmann 假设ink in0kvk vk n0 0， k(9-ivk vk cvk b(9- vk lnn0 kv(9-，k2 | k k (9-vTn0i b(9-v0 k q 2 k k (9-cv iv k bic b(9-， k q 2 q 2n k i bv kcv 220k q q 2 k c k k k b(9-2 Tn0 c对离子来说，i vik lnn0 k iq22n0 k ik i(9-假设 b ln2/b的方向为e ，则 lnn 的方向为e 的方