弹性力学有限元法

1、弹性力学有限元法第1页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1813.1有限元法求解问题的基本步骤问题及求解域定义连续体离散化 即有限元网格划分，将连续体划分为有限个具有一定形状的单元组合体，相邻单元之间通过节点相连接。单元分析（1）选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量。（应用较多）力法：选择节点力为基本未知量。混合法：取一部分力和一部分节点位移作为基本未知量。第2页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/182（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元

2、刚度矩阵。节点载荷和节点位移之间的关系式为： 为单元刚度矩阵。（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元上的力。第3页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1834. 组成物体的整体方程组 由单元刚度矩阵构成整体刚度矩阵。对总体建立方程：5. 求解有限元方程和结果解释 根据边界条件和初始条件求解上式，得到节点位移。第4页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1843.2 连续体离散化 结构的离散化也称为有限元网格划分，即将求解域近似为具有不同有限大小和形状且只在节点上彼此相连的有限个单元组成的离散域。 常用的单元类型：杆单元

3、 一维单元，位移仅是轴向座标的函数。第5页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/185平面单元 二维单元，单元内任意点的应力、应变、位移仅与两个座标方向的变量有关。第6页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/186 三角形单元：采用线性位移模式，在整个单元内各点的应变值为常数，所以也称为常应变单元或常应力单元。 矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性变化的。3. 薄板弯曲单元和薄板单元第7页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1874. 多面体单元第8页，共58页，2022年，5月20日，9点

4、37分，星期三2022/9/1885. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。 任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位移将按抛物线变化，而不是线性变化。 以直角坐标系XOY下的任意直边四边形单元单元的形心为坐标原点，用等分它四个边的两条直线为坐标轴，建立一个非正交的局部座标系 ，使单元边界上的 、 是 ，这样在局部坐标系中构成一个矩形单元。矩形单元的节点和内部任一点都与原总体坐标系中的单元的节点和内部点形成一一对应关系。总体坐标系适用于整个结构，局部坐标系只适用于具体某个单元。第9页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星

5、期三2022/9/1896. 轴对称单元： 几何形状是回转体，所受约束和外力对称于回转轴的机械机构称为轴对称问题。对此类问题一般采取柱坐标系来描述应力和变形。 对于此类问题采用轴对称单元。划分网格的基本原则：（1）网格数量：网格数量增加，计算精度会有所提高。（2）网格疏密：在结构不同处采用不同的网格形式。（3）单元阶次：网格数量较少时，计算精度差别较大，采用高阶单元。网格数量较多时，采用两种单元的精度相差不大，采用低阶单元计算量降低。第10页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1810（4）网格质量：网格几何形状的合理性，网格质量的好坏会影响计算精度，对于太差的

6、网格形状程序将会自动停止计算。（5）网格分界面和分界点：结构中一些特殊位置的界面或特殊位置的点应分为网格边界或节点。（6）位移协调性：一个单元的节点必须也是相邻单元的节点，只有这样单元上的力和力矩才能够通过节点传递到相邻单元。（7）网格布局：对于对称结构应该划分对称单元。（8）节点和单元编号：一般情况下程序自动编号。第11页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18113.3 单元分析单元的插值函数 如果弹性体内的位移分量已知，则应变分量和应力分量也可以确定了。 几何方程 虎克定律第12页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1812

7、 对于整体划分单元后，在每个单元的局部范围里可以采用比较简单的函数来近似地表达单元的真实位移，把各单元的位移函数连接起来，就可以近似表示整个区域的真实的位移函数。第13页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1813 在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj），（xm，ym）。第14页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1814 对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自由度： 。三角形单元的节点位移矢量是：单元节点

8、力矢量是：第15页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1815 单元分析的基本任务是建立单元节点力与节点位移之间的关系式：式中 是6*6的矩阵，称为单元刚度矩阵。 将单元的位移分量u，v取为坐标x，y的多项式，且位移场函数u，v在三个节点处的数值应该等于这三个节点处的六个位移分量。即有：第16页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1816在i，j，m三点应该有：第17页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1817由上式可以确定 的值。将其带入（1）式就可以得到用单元节点位移表示的单元位移模式。第18

9、页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1818N称为形函数矩阵或插值函数矩阵。插值函数具有如下性质：（1）在节点上插值函数的值有：（2）在单元内任一点各插值函数的和等于一。第19页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1819线性单元平面单元立体单元总体、局部和自然坐标数值积分：高斯勒让德多项式ANSYS实例第20页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18203.1 一维单元形函数形函数在有限元分析中,扮演非常主要的角色. 除作为元素(单元)的内插函数,将元素内的位移或温度分布,以节点位移或节点温度表

10、示外,在余量法中的迦辽金法中,亦可作为加权函数来用. 此外,亦可将分布载荷转换为集中力与弯矩,分别施加在各节点上.形函数根据其多项式的幂次,分为一次、二次、三次与高次等。第21页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1821位移沿着单元的分布可以用一个线性函数近似。如图所示。第22页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1822一维一次元素的形函数中，函数值沿单一坐标轴以线性变化。假设位移函数沿x轴线性变化，位移函数uu(x)可写成: u=a1+a2x向量形式: 假设在i、j节点的位移值分别为ui和uj , 有: u=ui 在X=Xi

11、处 u=uj 在X=Xj处第23页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1823将节点的值带入线性方程将产生两个方程和两个未知量：求解未知量a1和a2得到：第24页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1824由节点的值表示的单元的位移分布为：改写一下形式得到：定义形函数： 其中l为单元长度。第25页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1825由形函数表示的单元的位移分布为：写成矩阵形式：可以使用形函数和相应的节点值来表示给定单元上的任意的未知量的变化。第26页，共58页，2022年，5月20日，9点3

12、7分，星期三2022/9/1826形函数的性质在相应的节点上值为1,而在相邻节点上值为0. 和 和2.形函数的和为1。第27页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1827形函数对于x导数的和为0第28页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1828实例（a）悬臂梁在X4cm处的温度由单元（2）来表示：第29页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1829（b）悬臂梁在X=8cm处的温度由单元（3）来表示：对于这个例子，注意 和 的区别。第30页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三202

13、2/9/1830假设承受的是轴向负荷, 应用线性单元, 柱体的垂直位移由下式确定.AB第31页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1831（a）应用总体坐标Y，点A的位移由单元（1）表示：（b）点B的位移由单元（4）表示：第32页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18323.2 一维三节点单元一维三节点单元用二次函数代替线性函数要求使用三个节点来定义一个单元,这是因为至少要有三个点才能确定一个二次函数.第三个点可以取在单元的中点.第33页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1833如单元的温度分布

14、可以表示为:并且节点的值为:T=Ti 在X=Xi处T=Tk 在X=Xk处T=Tj 在X=Xj处第34页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1834产生的三个方程和三个未知量:求解c1，c2和c3，整理后得到由节点的值和形函数表示的单元温度分布：将以上表达式写成矩阵形式为：第35页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1835这里形函数为：一般来说，对于给定单元，由节点的值表示的参数变化 可以写为：第36页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1836对于给定单元节点的位移变化:在形函数的性质中,二次形函

15、数关于X的导数之和不为零.第37页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18373.3 一维四节点单元 在有限元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分布可以表示为：第38页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1838第39页，共58页，2

16、022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1839并且节点的值为： 在 处 在 处 在 处 在 处由节点的值和形函数表示的单元温度分布：写成矩阵的形式为：第40页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1840形函数为:第41页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1841当插值函数的阶数增加时,可以用拉格朗日插值代替以上的方法来得到形函数:对于三次插值函数,每个节点相关的形函数可以用三个函数的乘积表示.函数的乘积在给定的节点上为1,而在其他节点上为0.如考虑节点i:第42页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星

17、期三2022/9/1842若将X=Xj X=Xk X=Xm代入方程, 函数Si的值为零.当在给定节点上计算形函数时,即X=Xi时,函数的值为1:第43页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1843由节点值表示的三次插值函数任意参数的变化可以表示为:三次形函数性质:形函数在相应节点上值为1,而在另一个相邻节点上值为0;如果对形函数求和,结果为1;对三次形函数的求导将得到二次的结果.第44页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18443.4整体、局部和自然坐标 在有限元建模中，可以使用几个参考系。整体坐标用来表示每个节点的位置和每个单

18、元的方向，并用来施加边界条件和负荷。另一方面，需要使用局部和自然坐标系，以简化计算。对于一维单元，整体坐标X和局部坐标x的关系为：第45页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1845 在一维一次形函数的表达式中带入由局部坐标x表示的X有：第46页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18463.4.1 一维线性自然坐标 自然坐标是局部坐标的无量纲形式。使用自然坐标容易在上限1和下限1之间积分。令：这里x是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如图所示。第47页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1847 通过将由 表示的x带入形函数的表达式能够得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性形函数相同的性质。第48页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18483.4.2 一维自然二次和三次形函数将 带入形函数的表达式得到二次自然形函数为：第49页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/1849 一维三次自然形函数为：第50页，共58页，2022年，5月20日，9点37分，星期三2022/9/18503.5 数值积分：高斯-勒让德多项式 高斯-勒让得积分是用来计算不等距离点上的已知函