弹性力学第四章

1、弹性力学第四章第1页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 根据弹性理论的小变形假定，上述一般表达式可以用泰勒级数展开，并略去二阶以上（包括二阶）小量，例如第一式展开，得到 这里的 等等表示函数 对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值。 由于无初应力，即 。所以，应力应变最一般形式在小变形情况下可简化为第2页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 上述关系是胡克（Hooke）在复杂应力条件下的推广，因此被称为广义胡克定律。 式中的 系数称为弹性常数，一共有36个。如果物体是由非均匀材料组成的，这时，各处就有不同的弹性效应。因此，一般来说，弹性常数 是坐标 的

2、函数。但若物体是有均匀材料组成的，则对于物体内各点来说，承受同样的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点有相同的应变，必承受相同的应力。这一点反映在广义胡克定律中， 是常数。第3页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三4.3 各向异性弹性体（一）极端各向异性弹性体 格林公式：将格林公式中 代入广义胡克定律表达式的第二式，有第4页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 上式对 求偏导数，有 （a） 同样，将格林公式中 代入广义胡克定律表达式的第五式，有 上式对 求偏导数，有 （b） 比较（a）式与（b）式，有 同样，有 这样就证明了，对于极端的各向异性体，只有2

3、1个独立的弹性常数。第5页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 如果物体内的每一点都存在这样一个平面，和该面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。如果设平面为弹性对称面，于是做下图所示的坐标变换后，应力和应变的关系应保持不变。（二）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 新老坐标间的关系第6页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三转轴时应力分量与老坐标应力分量的关系是：转轴时应变分量与老坐标应力分量的关系是：第7页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三转轴时应变分量和应力分量的变

4、换公式代入，有则新的本构方程为：第8页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三要使上式与原胡克公式一样，必须： 则原本构方程变为：显然，弹性常数从21个减少到13个。第9页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三（三）正交各向异性弹性体假定 、 平面为弹性体的对称面第10页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三代入转轴时应力分量和应变分量的关系式，可得代入广义胡克定律的表达式，有第11页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 要与坐标转动前的一致，则有 那么，将弹性对称面 、 得到的弹性常数合起来，就得到 显然，此时的弹性常数只有9个

5、。这种弹性体称为正交各性弹性体。第12页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三(四)横观各向同性弹性体 每一点都有一个各向同性平面，即在这个平面内，沿各个方向都具有相同的弹性。这种弹性体称为横观各向同性弹性体。 假定某弹性体的在 平面上各向同性。首先我们考察一个比较特色的转轴，即让坐标轴饶轴转动900，则新老坐标之间的关系是：第13页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三同样，代入坐标转轴后应力分量与应变分量的公式，有则新坐标下的胡克定律为：对比上边两式，则有对比以前第14页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三就得到此时，弹性常数为6个。第15

6、页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 考察更一般的情况，对于在 平面为各向同性面，则整个坐标系饶 轴不论转动角度为多大，其应力应变关系不变。第16页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三代入转轴后应变分量与应力分量的公式，有经过上述变换后，胡克定律的第六式仍成立，第17页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三所以，对于横观各向同性弹性体来说，其弹性常数为5个。第18页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三4.4 各向同性弹性体 各向同性弹性体就是沿物体的各个方向，其弹性性质相同。 在推导横观各向同性弹性体弹性常数的关系时，我们假定 平面上的各点各向同性，物体弹性只随值变化。进一步，如果弹性体的性质也不随 轴变化，那么，这个物体就满足各向同性的条件了。所以，我们将坐标再做如下图变化，讨论各弹性常数间的关系就可以了。第19页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三坐标变换后，各应变分量与应力分量间的关系就变为： 带入横观各向同性弹性体的胡克定律，有要是这两个式子一样，则有 第20页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，星期三那么,各向同性胡克定律为:如果令第21页，共23页，2022年，5月20日，9点40分，