高中竞赛与自主招生：波几何描述与特征现象

1、波的几何描述与特征现象直通竞赛赛前准备MPyxAxM-xP读图方法：振幅、位移看纵坐标平衡位置、波长看横坐标-A速度大小看斜率Q加速度看位移O波动图象方向向后看：“上上、下下”15913 前13个质点首次出现的图示波形时刻,质点1振动情况如示! 质点1振动情况同开始时,说明t是整周期时间17 波恰从质点1传递到距其二个波长的质点17 如图所示，在均匀介质中，各点的平衡位置在同一条直线上，相邻的两质点间距离为a，振动由质点1向右传播，质点1开始振动的方向竖直向上，经时间t，前13个质点第一次形成如图所示的波形，则波中各质点的振动周期是_，波长为_ 解:从高考到竞赛题1 如图所示，在简谐波传播方向

2、上相距为s的P、Q两点均处于平衡位置，它们之间只存在一个波谷的可能波形有图所示的四种情况，若波都是向右传播，波速也都相等，由图示波形时刻开始，P点最先到达波谷的是哪种情况？ 各波传播方向PQ,则可知此刻质点P的振动方向！设PQ=s，各波周期为从高考到竞赛题2解:先计算波长：=0.4 m，得S 如图所示，振源S在垂直于x轴方向振动，并形成沿x轴正、负方向传播的横波，波的频率50 Hz，波速为20 m/s，x轴有P、Q两点，SP=2.9 m，SQ=2.7 m，经过足够长的时间以后，当质点S正通过平衡位置向上运动的时刻，则 A.P和S间有7个波峰 B. Q和S间有7个波谷 C.P处质点正处于波峰，Q

3、处质点正处于波谷 D. P处质点正处于波谷，Q处质点正处于波峰本题答案: ABD从高考到竞赛题3 两列振幅、波长和波速都相同的简谐波1和2分别沿x轴的正方向和负方向传播，波速为v=200 m/s，画出t=0时刻的波形图如下图所示。已知位于x轴上的坐标为x=450 m的质点P在t1时刻出现+y方向位移的最大值，在t2时刻出现位移的最小值 求t1、t2这两个时刻的表达式 解:y/cmx/m20040012600P两波的周期450从高考到竞赛题4波的特征现象衍射 干涉 多普勒效应 反射 折射 ABA云层下表面2H解: 天空有近似等高的浓云层为了测量云层的高度，在水平地面上与观察者的距离为d=3.0

4、km处进行一次爆炸，观察者听到由空气直接传来的爆炸声和由云层反射来的爆炸声时间上相差t=6.0s试估算云层下表面的高度已知空气中的声速从高考到竞赛题5MNABABCC 如图，一频率为f的平面波在介质内传播，经界面MN进入介质中，AC、 ，CB、 分别是入射波与折射波的波线，虚线为波面设此波在两介质中的传播速度各为v和v，且ACa，CBb，求波面 处的振动比 处落后多少时间？ 从高考到竞赛题6解: a bc与波长相比，孔缝尺寸越小，衍射现象越明显！a中衍射明显，c中衍射最不明显则最大！最小！介质相同，波速相同！最小！最大！ 如图所示，是不同频率的水波通过相同的小孔后所能到达区域的示意图， 情况中

5、水波的频率最大； 情况中水波的频率最小从高考到竞赛题7解:0到两波源距离差等于S到两波源距离差等于SS波干涉规律OBAMQP本题答案: C 如图，在直线PQ的垂线OM上有A、两个声源，距点各6m和1m，两个声源同时不断向外发出波长都为2 m的完全相同的声波在直线PQ上从到的范围内声波干涉减弱的区域共有 A. 无穷多个 B. 7个 C. 5个 D. 3个 从高考到竞赛题8两波源间距离为则振动加强线有到两波源距离差为 如图所示，两个声源S1、S2相距R/2，发出声音频率完全相同、振动情况完全相同的声波已知声波波长为R/4一人绕以S1、S2连线中点为中心、2R为边长的正方形一周，能_次听到声音明显加

6、强 解:S1S2与正方形共有8个交点！从高考到竞赛题9AB3m4mS1S2北东A点在两声源连线的中垂线上，是到两声源距离相等、振动加强的点，从该点向正东移动，到S1的距离与到S距离之差逐渐增大，当到达这个距离之差为半波长的位置时，由于两声波引起的该处质点的振动是减弱的，故几乎听不到声音据此应有 0从B点再向正南移动，到达与S1的距离和与S2的距离之差为一个波长的某处C将是两声波叠加使质点振动加强的区域，设该点与B点相距x，则有 从高考到竞赛题10 如图所示，有频率相同、步调一致的两个声源1、2，一人站在声源北方A点时，听到的声音很响；这人朝正东慢慢移动，声音逐渐减弱，到B时几乎听不见声音测得A

7、B距离是1.5 m，则1、2发出声波的波长是多少?若此人由B点再向正南方向移动，声音逐渐变响，那么他沿正南至少走多少,声音又变得很响? 解: 如图，空间同一平面上有A、B、C三点，AB5 m，BC4 m，AC3 m，A、C两点处有完全相同的波源，振动频率为1360 Hz，波速为340 m/s，则BC连线上振动最弱的位置有几处？ 从高考到竞赛题11解:点是到A与到距离之差等于m，为波长12倍的振动加强点点是到A与到距离之差等于m，为波长倍的振动加强点 BC之间应该有到A与到距离之差等于4.5 、 5.5、11.5等 处振动最弱的位置！ACBABO两波源A、O间距离为45m,B点与A点到两波源距离

8、差均等于最大值,即B点与A点间的圆周上应还有到A之前还有8个振动减弱点！0从高考到竞赛题12 如图所示，在湖面上有一个半径为45m的圆圈，AB是它的直径，在圆心O和圆周上的A点分别装有同样的机械波波源，它们发出的机械波在湖面上传播的波长是10m 有一只小船在点恰好感觉不到上下振动现这只小船沿圆周作逆时针运动慢慢向A航行，在到达A之前，它还会有几次感觉不到上下振动? 解: 在时间t内两波相向传播：从高考到竞赛题13 A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如图所示，已知波的传播速度为v，图中标尺每格长度为l，在图中画出又经过t=7l/v时的波形 解: 利用超声波遇到物体发生反射，可测定物体运动的

9、有关参量图甲中仪器A和B通过电缆连接，B为超声波发射接收一体化装置，仪器A和B提供超声波信号并能将B接收到的超声波信号进行处理并在屏幕上显示其波形现固定装置B并将它对准匀速行驶的小车C，使其每隔固定时间T0发射一短促的超声波脉冲，如乙图中幅度大的波形；而B接收到的由小车C反射回的超声波经仪器A处理后显示乙图中幅度较小的波形反射波滞后的时间已在图中标出，其中T和T0为已知量，另外还知道该测定条件下超声波在空气中的速度为v0，则根据所给信息可判断小车的运动方向如何？速度大小为多少？BA图甲T0TT0T0T0图乙从高考到竞赛题14续解T0TT0T0T0图乙解:解法一（运动学方法）第二波比车多走第一波

10、比车多走解法二（多普勒效应）车接收频率B接收频率远离走进竞赛板块波的知识提升 波的几何描述波前在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各点的轨迹称为波前. 波面振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面 波线方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线球面波平面波波面o波线波面波线波前惠更斯原理介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波前 波前解释衍射现象反射定律MNABAB 两种介质界面上的波现象折射定律MNABABA1BA2B2AB1解:专题13-例1 一平面波遇到两种介质的界面时发生反

11、射，设入射波与反射波的振动方向相同如果入射波是一纵波，要使反射波是一横波，设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的 倍问入射角为多少？ 专题13-例2ACB弹道波的几何描述如示:设人在C处:子弹与人的距离即为CB=10 m 子弹在离人5 m处以速度680 m/s水平飞过，当人听到子弹之啸声时，子弹离人多远？设声速为340 m/s. 解:飞机超音速飞行，引起圆锥面波，故飞机速度 vV/sin37小试身手题3解: 站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来，但听不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成37角时，才听到轰呜声，若飞机沿水平直线飞行，当时声速为336 m/s，飞机的速度是多少？ =560 m

12、/s依据惠更斯原理求解:MNr0rO实际的地表大气密度满足解:专题13-例3 假设大气折射率n与空气的密度有关系 ,式中a为常数，0为地球表面的大气密度，r06400 km，c=8772 m，大气折射率随高度的增加而递减为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率n0=1.0003 设能发生圆折射的地球表面空气密度折射率为依据惠更斯原理求解:MNh0hOR 某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照nn0ah的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0 小试身手题

13、15解: 驻波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波 驻波现象静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动， 成因从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不变的；从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式 特性器乐发声原理弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波 规律 拍两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频 示例t0驻波的形成

14、tT/2tT/4t3T/4tT行波行波返回 如图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其R点和S点，另一端通过定滑轮吊一个1.6 kg的重物，弹拨弦的RS部分，使其振动，则R、S点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为278 Hz的音叉发音，则5 s内可听到10次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音频率减小测得RS75.0 cm，求该驻波的波长、频率及弦线的线密度 由驻波成因知该波波长为:专题13-例6弦振动频率与音叉振动频率差产生拍:mg解:RS规律试手9 问题 一个脉冲波在细绳中传播，若绳的线密度为，绳中张力为T试求脉冲波在绳上的传播速度 vvvTT返回 将一根长为100多

15、厘米的均匀弦线沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定现对离固定的右端25 cm处（取该处为原点O，如图1所示）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即y 轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图2所示该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）已知该波在弦线中的传播速度为2.5 cm/s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失 试在图1中准确地画出自O点沿弦线向右传播的波在t2.5 s时的波形 该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播反射点总是固定不动的这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零由此观点出发，试在图1中准确地画出t12.5 s时的波形图小试身手题9图13-1

16、2-2图1解答图2读题6.25波到达右端经再经2.5S,即t=12.5s时y/cmx/cm5101520250.100.05-0.10-0.05018.75再经0.5S,即t=10.5s时18.756.25y/cmx/cm5101520250.100.05-0.10-0.050脉冲波形成经23.75解: 一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，反射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波反射时波长、频率、振幅均不变，但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期，相当于原波损失半个波再反射在图中已画出某时刻入射波B，试用虚线画出反射波C，用实线画出驻波A 小试身手题11BCA解:当声波频率f7 Hz时，波

17、长 :那么井深至少为波长四分之一即12.4 m时，空气柱与音叉可发生共鸣 这样一个井的深度，还可能与频率大于7Hz、波长短于49.6 m、但波长的倍恰等于12.4 m的某些声波发生共鸣! 有一口竖直井，井底有水，它可与fHz的某些频率发生共鸣若声波在该井里的空气中的传播速度为347.2 m/s，试问这口井至少有多深？ 小试身手题12解:标准声频率为250 Hz，拍频1.5 Hz，粘上橡皮后音叉频率减小，与标准声的拍频增大，可知音叉原频率为比标准声频率低，为248.5 Hz 由共鸣时空气柱长度知 音叉与频率为250 Hz的标准声源同时发音，产生1.5 Hz的拍音当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时，拍频

18、增大了将该音叉放在盛水的细管口，如图所示，连续调节水面的高度，当空气柱高度相继为0.34 m和1.03 m时发生共鸣求声波在空气中的声速，画出空气柱中的驻波波形图 小试身手题13解: 设定： 波源相对于介质的速度u；观察者相对于介质的速度v；波在介质中速度V；观察者接收到的频率f；波源频率f 波源固定，观察者以v向着波源或背离波源运动 波源以速度u相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止 如图，此时相当于波长缩短或增长为，故 波源与观察者同时相对介质运动 此时相当于波以速度Vv通过观察者，故 波源与观察者相对介质静止 多普勒效应u设“哆”音频率为f1；低“咪”音频率为f2，有对相向而行的乘客

19、：对静止的路旁观察者：对同向而行的乘客：专题13-例4 车以80 km/h速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后奔驶而去此间超高速车所发出的汽笛声开始若听取“哆”音，后来听到的则是降低的“咪”音（假定“哆”音和“咪”音的频率之比为8/5）设声速为1200 km/h，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高速列车通过他前后声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速为80 km/h的车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少？ 解:观察者接收到的频率先高后低，说明声源与观察者先接近后远离！作出示意图:专题13-例5AMBhvuAvuB由几何关系：代

20、入数据后得 飞机在上空以速度v200m/s作水平飞行，发出频率为f02000 Hz的声波静止在地面上的观察者测定，当飞机越过观察者上空时，观察者s内测出的频率从f12400 Hz降为f21600 Hz已知声波在空气中速度为V330 m/s试求飞机的飞行高度 解:这是测定宇宙中双星的一种方法 (1) 由于B星发出的光波波长在P点位比Q点位短，可知在P点位光源是朝着地球运动的，故B星公转的方向为沿图中逆时针方向 PQABPQBA可得v42 km/s 有A、B两个星球B星以A星为中心做匀速圆周运动，如图由于星球离地球非常远，而且地球位于B星的轨道平面上，所以从地球上看过去，B星好象在一条直线上运动测

21、得B星从P点移动到Q点需要6.28107 s由于多普勒效应，在测定B星发出的光的波长时发现，当B星位于P点时比位于A点时短0.6810-10 m，位于Q点时则比A点长同样的值若位于A点时的波长测量值为4861.3310-10 m，光速c3.0108 m/s求B星公转的方向; B星的公转速度是多少km/s？ 圆周轨道的半径 小试身手题5解:设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为u，此即波源移动速度，由于波源向着观察者运动，接收到的频率变大，由 可得 某人造地球卫星发出频率为10 8 Hz的无线电讯号，地面接收站接收到的讯号频率增大了2400 Hz已知无线电讯号在真空中的传播速度为c3.0108

22、m/s，试估算人造卫星朝地面接收站方向的运动速度 小试身手题6解:接收到来自乐队的频率 来自广播声的频率 U1 m/s 在单行道上，交通川流不息，有一支乐队沿同一方向前进乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近，这时，乐队正同时奏出频率为440 Hz的音调在乐队前面街上有一固定广播设施作现场转播旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从广播中听到的声音相结合产生拍，并测出三秒钟有四拍利用测速计可测出车速为18 km/h试计算乐队行进的速度已知在这个寒冷的天气下，声速为330 m/s 小试身手题8解: 一波源振动频率为2040 Hz，以速度vs向墙壁接近，如图，观测者在A点所得的拍频 =3 Hz，设声

23、速为340m/s，求波源移动的速度vs如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度v=0.2 m/s向观察者A接近，所得到的拍频为 =4 Hz，求波源的频率 小试身手题7解: A点从声源直接接收到的声波频率 经墙反射后的声波频率 观测者波源AS续解代入题给数据 若反射面移动，则A点从声源直接接收到的声波频率反射面接收到的波频率 反射到A接收到的波频率 uR声源移动速度为R，相对观察者接近或背离速度设为u， 有最值! 如图，音叉P沿着半径r8m的圆以角速度=4rad/s作匀速圆周运动音叉发出频率为f0500 Hz的声波，声波的速度为v330 m/s观察者与圆周共面，与圆心的距离为d2r试问当角为

24、多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数值 小试身手题10解:RR专题13-例7 到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，温度随高度递增，这导致声速v随高度y变化，假定变化规律为： 式中v0是地面（y处）的声速，a为比例系数今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成角假定在声波传播范围内 ，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离S 解:由于声速沿y轴递增，折射角i逐渐增大，开始一段声传播的径迹大致如图! 夜间寂静区寂静区白天xy第i层12第i层根据折射定律: 声波波线即声传播轨迹! 续解第i层声波波线视为直线,有查阅可得波线方程为续解对待定方程求斜率于是得声传播轨迹方程:可知地面上听得最清点距声源比较 在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化已