2021-2022学年北京海淀区数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的图像大致为（ ）ABCD2设函数的定义域A，函数的值域为B，则（ ）ABCD3已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD4直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（ ）A9

2、BCD275高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ）ABCD6设函数，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）ABCD7执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）ABCD8已知随机变量，的分布列如下表所示，则（ ）123123A，B，C，D，9已知f(x)=2x2-xA0,12B12,110已知，则的最小值为（ ）ABCD11已知曲线C：y，曲线C关于y轴的对称曲线C的方程是（）AyByCyDy12已知集合，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ）A

3、3个B4个C5个D6个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数的导函数_14在极坐标系中，曲线和相交于点A，B，则线段AB的中点E到极点的距离是_.15已知复数集中实系数一元二次方程有虚根，则的取值范围是_.16定积分的值等于_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切； （1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.18（12分）设函数(1)若对于一切实

4、数，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围19（12分）环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数(0，50(50，100(100，150(150，200(200，300(300，)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是

5、字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数112711731根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优、良空气质量

6、污染总计限行前限行后总计参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中.20（12分）（1）解不等式: （2）设，求证：21（12分）某工厂甲、乙两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，甲、乙两条生产线生产的产品为合格品的概率分别为相.（1）若从甲、乙两条生产线上各抽检一件产品。至少有一件合格的概率为.求的值：（2）在（1）的前提下，假设每生产一件不合格的产品，甲、乙两条生产钱损失分别为元和元，若从两条生产线上各随机抽检件产品。估计哪条生产线的损失较

7、多？（3）若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利元，元，元，现从甲、乙生产线各随机抽取件进行检测，统计结果如图所示。用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量为件时利润的期望值.22（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D

8、【解析】利用函数解析式求得,结合选项中的函数图象，利用排除法即可得结果.【详解】因为函数，所以，选项中的函数图象都不符合，可排除选项，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2、B【解析】根据二次根式的性质求出，再结合指数函数的性质求出，取交集即可【详解】，解得：，而单调递增，故值域：， ， 故选：【点睛】本题考查定义域值域的

9、求法，考查交集等基本知识，是基础题3、D【解析】函数中的取值范围与函数中的范围一样.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域为.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合，而对应关系所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.4、A【解析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为：.本题选择A选项.5、B【解析】根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5

10、种结果，根据概率公式得到结果.【详解】因为高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生，由题意知，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是，故选B.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.6、C【解析】根据集合的定义可知为定义域，为值域；根据对数型复合函数定义域的要求可

11、求得集合，结合对数型复合函数单调性可求得值域，即集合；根据图可知阴影部分表示，利用集合交并补运算可求得结果.【详解】的定义域为：，即： 在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减；当时，；当时，的值域为： 图中阴影部分表示：又， 本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到图的读取等知识.7、C【解析】读懂流程图，可知每循环一次，的值减少4，当时，得到的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，的值减少4，输入，因为2019除以4余3，经过多次循环后，

12、再经过一次循环后满足的条件，输出【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到的值，得到输出值.属于简单题.8、C【解析】由题意分别求出E，D，E，D，由此能得到EE，DD【详解】由题意得：E ，DE，D（）2（2）2（3）2，EE，D=D故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题9、B【解析】求出函数y=fx的定义域，并对该函数求导，解不等式fx【详解】函数y=fx的定义域为0,+f令fx0，得12x1，因此，函数y=f【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。1

13、0、D【解析】首先可换元，通过再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由题意，可令，则，于是，而，故的最小值为，故答案为D.【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.11、A【解析】设所求曲线上任意一点，由关于直线的对称的点在已知曲线上，然后代入已知曲线，即可求解【详解】设所求曲线上任意一点，则关于直线的对称的点在已知曲线，所以，故选A【点睛】本题主要考查了已知曲线关于直线的对称的曲线方程的求解，其步骤是：在所求曲线上任取一点，求得其关于直线的对称点，代入已知曲线求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题12、B【解析】分析：根据映射的定

14、义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是22=4个，故选：B点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据导数运算法则直接计算.详解：点睛：本题考查基本初等函数导数，考查基本求解能力.14、2【解析】将曲线方程化为直角坐标系下的方程，联立方程组，由此求得中点的坐标，再求出其到极点的距离.【详解】将曲线方程化为直角坐标方程可得将曲线方

15、程化为直角坐标方程可得，联立两方程可得故可得中点坐标为，则其到坐标原点的距离即为所求，即.故答案为：2.【点睛】本题考查将极坐标方程化为普通方程，属基础题.15、【解析】复数集中实系数一元二次方程有虚根，可得，解得利用求根公式可得，再利用模的计算公式即可得出【详解】复数集中实系数一元二次方程有虚根，则，解得因为，则，所以的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式，考查推理能力与计算能力16、ln1【解析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】，故答案为：ln1【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题三、解答题：共70

16、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】（1）求出直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r2，曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）设M（1，），N（2，），（10，20），由2sin（2），由此能求出MON面积的最大值【详解】（1）直线l的极坐标方程为，由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r2，曲线C的参数方程为（r0，为参数），曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，所以曲线C的极坐标方程为22cos2

17、sin0，即（2）由（）不妨设M（1，），N（2，），（10，20）， 4sin（）sin（）2sincos+2 sin22sin（2），当时，故所以MON面积的最大值为2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18、 (1) (2) 【解析】(1)利用判别式可求实数的取值范围，注意二次项系数的讨论.(2)就三种情况讨论函数的最值后可得实数的取值范围.【详解】解：(1)要使恒成立，若，显然； 若，则有，(2)当时，显然恒成立； 当时，该函数的对称轴是，在上是单调

18、函数当时，由于，要使在上恒成立，只要即可,即得，即； 当时，由于函数在上恒成立，只要即可，此时显然成立.综上可知【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.19、 (1) 0.003；(2)；(3) 有.【解析】(1) 因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，再利用概率和为1解得答案.(2)利用分层抽样得到空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天，利用排列组合公式的到没有中度污染的概率，用1减得到答案.(3)补全列联表，计算，跟临界值表作比较得到答案.【详解】(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率

19、为0.05，所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.0520.1， 由频率分布直方图可知(0.0040.0060.005m)500.11，解得m0.003. (2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.30.1521，按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天. 记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”.则 (3)22列联表如下：空气质量优、良空气质量污染总计限行前9090180限行后382260总计128112240由表中数据可得，所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【点睛】本题考查了概率的计算，分层抽样，列联表，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.20、（1）（2）见解析【解析】（1）根据零点分段法，分三段建立不等式组，解出各不等式组的解集，再求并集即可.（2）运用柯西不等式，直接可以证明不等式，注意考查等号成立的条件，.【详解】（1）解： 原不等式等价于 或 或 即： 或 或 故元不等式的解集为：（2）由柯西不等式得，当且仅当，即时等号成立.所以【点睛】本题考查绝对值不等式得解法、柯西不等式等基础知识，考查运算能力.含绝对值不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非