弹性力学基础精品课件

1、弹性力学基础第1页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三本章主要内容2.1变形体的描述、变量定义、分量表达和指标记法2.2弹性体的基本假设2.3平面问题的基本力学方程2.4空间问题的基本力学方程2.5弹性问题中的能量表达2.6特殊问题的讨论（两大类平面问题）第2页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三本章要点变形体的三大类基本变量变形体的三大类基本方程及两类边界条件弹性问题中的能量表示平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达应力及应变的分解第3页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三 由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下将产生变形，

2、该物体中任意一个位置的材料都将处于复杂的受力状态之中。 本章将定义用于刻画任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。本章主要内容就是定义位移、变形和力三大变量之间的三大方程给出典型的边界条件第4页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三2.1变形体的描述、变量定义、分量表达与指标记法变形体： 在外力作用下，物体内任意两点之间能够发生相对移动。 从几何形状复杂程度来考虑可以分为： 1）简单形状变形体材料力学 2）任意形状变形体弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 第5页，共63页，2022年，5月20日

3、，9点34分，星期三基本变量第6页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三基本方程 受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程 平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系第7页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三基本变量的指标表达 自由指标：每项中只出现一次的下标。如 哑指标：在表达式的每一项中重复出现的下标。 Einstein求和约定：哑指标意味着求和。 张量：能够用指标表示的物理量，并且该物理量能够满足一定的坐标变换关系。 Vo

4、igt标记第8页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三基本变量的指标表达 自由指标：每项中只出现一次的下标。如 哑指标：在表达式的每一项中重复出现的下标。 第9页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三Einstein求和约定：哑指标意味着求和。小结：自由指标在同一项中只出现一次，可任意取值； 求和指标在同一项中出现两次，可以被另一表示求和指标置换。第10页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三张量：能够用指标表示的物理量，并且该物理量能够满足一定的坐标变换关系。 0阶张量：无自由指标的量，如标量。 1阶张量：有1个自由指标的量，如矢量。 2阶张量

5、：有2个自由指标的量，如应力和应变。 n阶张量：有n个自由指标的量，如四阶弹性系数张量。第11页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三Voigt标记ijpijp111222123二维问题Voigt移动规则的下标对应关系第12页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三Voigt标记ijpijp111222333234135126三维问题Voigt移动规则的下标对应关系第13页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三有了以上的移动规则的下标对应关系，就可以按照同一规则来处理更为复杂的问题。第14页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三2.

6、2弹性体的基本假设连续性假设。物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。均匀性假设。也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。第15页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三各向同性假设。物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 完全弹性假设。物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任

7、何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。第16页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三小变形假设。物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。第17页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三2.3平面问题的基本力学方程平衡方

8、程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：第18页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三 平衡方程第19页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三 几何方程第20页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三变形协调条件 它的物理意义是：材料在变形过程中应该是整体连续的，不应该出现“撕裂”和“重叠”现象发生。第21页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三写成矩阵形式为物理方程第22页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：

9、位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。边界条件第23页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：其中 第24页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三2.4空间问题的基本力学方程平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：第25页，

10、共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三 平衡方程第26页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三X方向负面X方向正面Y方向负面Y方向正面Z方向负面Z方向正面第27页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三X方向力平衡化简得第28页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三Y方向力平衡化简得第29页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三Z方向力平衡化简得第30页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三如果这六个量在某点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态

11、，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：第31页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三 几何方程哥西应变工程应变第32页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三写成矩阵形式为第33页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了

12、说明这一点，试命：式中的u0, v0, w0, x, y, z是积分常数。第34页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三u0弹性体沿x方向的刚体移动v0 弹性体沿y方向的刚体移动 w0 弹性体沿z方向的刚体移动x 弹性体绕x轴的刚体转动y 弹性体绕y轴的刚体转动z 弹性体绕z轴的刚体转动为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。第35页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三变形协调条件 当6个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证得到单值连续的位移函数。第36页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三当沿x轴方向的两

13、个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程 弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为：方程既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。 应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律物理方程第37页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物

14、理常数E及所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。 公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 变形条件下, 各向同性材料。第38页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到： 正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，得弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。第39页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三写成矩阵形式为第40页，共63页，2022年，5月2

15、0日，9点34分，星期三 边界条件XN,YN,ZN分别为作用在某一任意平面上的沿三个坐标轴方向的分量。对于已知应力边界条件的情况，相应的应力边界条件为 第41页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三二维问题： 2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量 2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程三维问题： 3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量 3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程 我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求解的难度是如何处理边界条件（

16、几何形状）。第42页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三2.5弹性问题中的能量表示能量分类1）施加外力在可能位移上所作的功。2）变形体由于变形而存储的能量。第43页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三外力功 施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分力在可能位移上所作的功。第44页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三应变能 以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变能（strain energy）。它也包括两部分 1）对应于正应力与正应变的

17、应变能 2）对应于剪应力和剪应变的应变能第45页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三对应于正应力与正应变的应变能，另外两个方向上的计算类似。第46页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三对应于剪应力和剪应变的应变能（其它两个剪应力类似）第47页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三由叠加原理，将所有方向的正应力应变和剪应力应变叠加得哥西应变张量第48页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三哥西应变张量工程应变 第49页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三从而得系统势能第50页，共63页，2022年，5月20日，

18、9点34分，星期三*虚功原理*刚体：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒等于零。第51页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三*虚功原理*变形体：外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功（外力功）等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功（内力功）。第52页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三2.6特殊问题的讨论实际问题中，经常有一些比较典型的情况，需要有针对性的进行处理，如厚度较薄的平面问题厚度较厚的等截面平面应变问题物体

19、的刚体移动物体变形后的体积变化等第53页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题第54页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三平面应力问题几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。第55页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三几何方程物理方程平衡方程考察应力边界特点注意：第56页，共63页，2022年，5月20日，9点34分，星期三平面应变问题几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且