高考圆锥曲线典型例题(必考)

1、 (A) 12(B)(C)(D) 【答案】x5【 2012 高考四川理15】 椭圆4y 1 的左焦点为F ，直线 x m 与椭圆相交于点3A、 B ，当 FAB6【 2012 高考江西理FAB 的面积是13】 椭圆2x2a2y21(a b 0) 的左、右顶点分别是b2A,B, 左、右焦点分别是F1，F2。若AF1 ，F1F2F1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为例4】 【解析】( )：( )易得直线OP 的方程：yx，设1A(xA， yA)， B(xB， yB )， R(x0， y0) 其中y0 x022+ yA3xB2yB2+yAyBxAxB3 xAxB4yAyB3 2x04 2y0设 直

2、线 AB 的 方程为( 3m 2 )4 m32 (3)x+|AB|1kAB | xAxB|1kABP(2，1)到直线l 的距离表示为：31m (m 0) ， 入 椭 圆 ：4m32( 1 212 ) m 012 且 m 0由上又有：y33x m2xAxB m，(xA xB )2 4xAxB 1 kAB 4 m3m21k AB223x 3mx m 3 0yAyBm2 3显然S ABP1 d|AB|21kAB4，即m3 或m 0(舍去)时，(SABP)max31 |m 2|4 m2 ，当 |m 2|23此时直线 l 的方程y3 x 1 224】 【解析】( 1 )设 ca2b2c 由e设 P(x,

3、y)是椭圆 C 上任意一点，则2x2ab21 ，所以 x| PQ |x2 (y 2)222a ，所以 3a2(122ac12a32y 222) a 3yba2 3y2 (y 2)22(y 1)2 a2 6当 b 1 时，当 y 1 时， | PQ | 有最大值 a2 63 ，可得 a 3 ，所以 b 1, c 2当 b 1 时， PQa2 63b2 6 3 不合题意故椭圆 C 的方程为：x y2132) AOB 中，OA OB 2) AOB 中，OA OB 1， S AOB 2OA OB1 sin AOB21当且仅当AOB 90 时， S AOB 有最大值，2AOB 90 时，点 O 到直线

4、AB 的距离为 d2d22m2 n2n2222又 m 3n 3 m32,n21，此时点2M( 6,2)9.2典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例 1】 已知动圆E 与圆A： (x 4)2 y2 2 外切，与圆22迹方程 .【解析】x2 1y4 1(x2).双曲线B： (x 4)2 y2 2 内切，求动圆圆心E 的轨利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支22 TOC o 1-5 h z 【变式训练1 】 P 为双曲线x9 1y61 的右支上一点，M，N 分别是圆(x5) 要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方

5、程和几何性质，但应特别注意不同点，如a， b， c 的关系、渐近线等. 2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当 |PF1 要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a， b，c 的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当 |PF1| |PF2| 2a |F1F2|时，P 无轨迹 .3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(x 5)2 y2 1 上的点，则|PM | |PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选 D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2y

6、21(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C 上存在一点P，ab使 AP PQ 0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，2(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.22【变式训练2】 设离心率为e 的双曲线C：xa2yb21(a0，b0)的右焦点为F，直线l 过焦点 F，且斜率为k，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是()A. k2e21B. k2e21D. e2k2 1)的两条直线l1 和 l2与轨迹E 都只有一个交点，且l1 l

7、2，求h 的值 .2【解析】(1)轨迹E 的方程为x2y21，x0且x2.(2)符合条件的h 的值为3或2.223】双曲线a2yb21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双A， B 两点，若F1AB 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.1 2 2B.3 2 2C.4 2 2D.5 2 2【解析】故选 D（2）求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y bx，可将双曲线方程设为x22 y22 （ 0， ）aab再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法练习x2231、 【 2012 高考山东理10】 已知椭圆C : 2 y21（a b

8、 0） 的离心学率为. 双曲线 x2 y2 1 的渐a2b22近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16 ，则椭圆C 的方程为A）8222xyB)11262 x C近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16 ，则椭圆C 的方程为A）8222xyB)11262 x C)162 y1 4D）202y15【答案】D2直线y kx 2 与双曲线151515C (3 ，30)x2 y2 6 的右支交于不同两点，则15B （0，3 ）15D （ ，3k 的取值范围是1)23.【 2012 23.【 2012 高考湖北理14】 如图，双曲线x2a2y21 （a,b

9、 0） 的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1 ， B2，b两焦点为F1 ，F2 . 若以A1 A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A, B, C, D . 则S1S21S1;S2S2 的比值3】 由题意知|x1S1S21S1;S2S2 的比值3】 由题意知|x1|2， A1（2， 0）， A2（ 2， 0），则有直线A1P 的方程为y1x12（x2），直线A2Q 的方程为y y12（x2）.方法一：联立解得交点坐标为xx2，yx2y1，即x1x2，y1x2y，则x0，22而点P（x1， y1）在双曲线2 y2 1 上，所以21 y12 1.2将代入上式，整理得所求轨迹E 的方

10、程为x2 y2 1， x0且x2.|x| 1)，2联立x2 y2 1 得 (1 2k2) x2 4khx 2h2 2 0.令 16k2h24(12k2)(2h22)0，得h21 2k20，h2 1h 2 1h2 1解得k1 2 ，k22.由于l1l 2，则k1k22 1，故h3.hh过点A1，A2分别引直线l1，l2通过 y 轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h(h)1 ，得 h2.此时，l1， l2的方程分别为y x2与 yx2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点(32， 232)与 (32， 232).所以，符合条件的h 的值为3或2.【变式训练3】据题意设|AF1| x

11、，则|AB| x， |BF1|2x.由双曲线定义有|AF1| |AF2| 2a， |BF1| |BF2| 2a? (|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)( 21)xx4a，即x22a|AF1|.故在Rt AF1F2中可求得|AF2|F1F2|2 |AF1|24c2 8a2.c2 TOC o 1-5 h z 又由定义可得|AF2|AF1|2a2 2a 2a，即4c28a2222a，两边平方整理得c2a2(52 2)?a2e2522，9.3抛物线典例精析题型一抛物线定义的运用【例 1】 根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，4)；(2)抛物线焦点F 在 x 轴上，直线y3

12、 与抛物线交于点A， |AF| 5.【解析】(1)y2 8x 或x2y.(2)方程为y2 2x 或 y2 18x.【变式训练1】 已知 P 是抛物线y2 2x上的一点，另一点 A(a,0) (a 0)满足|PA| d， 试求 d的最小值.【解析】dmin2a 1.题型二直线与抛物线位置讨论【例2】 (2010 湖北)已知一条曲线C 在 y轴右侧，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是 1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A， B 的任一直线，都有FA FB 0).(2)3 2 2 m 3 2 2.由此可知，存在正数m，

13、对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A， B 的任一直线，都有FA FB 0)的焦点的直线交抛物线于A、|AB| x1 x2 p 或 |AB|2p2 （ 为 AB 的倾斜角）， y1y2sin 2 p2， x1x2 p4等练习1.【 2012 高考全国卷理8】 已知F1、 F2为双曲线C： x2-y2=2 的左、右焦点，点P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos F1PF2=(A) 1( B) 3(C) 3(D) 4 【答案】C45452【. 2012 2【. 2012 高考安徽理9】 过抛物线y2 4x的焦点 F 的直线交抛物线于A, B 两点， 点 O 是原点， 若 AF

14、 3 ，则 AOB 的面积为（）2223 22223 222 2 【答案】 C TOC o 1-5 h z 【例 3】 证明：如图，设A（x1, 2x12），B（x2, 2x22），把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，kx x kk k2由韦达定理得x1x22，x1x21 ，所以xNxM2 4，所以点N 的坐标为（4，8）.k2kmk k2设抛物线在点N 处的切线l 的方程为yk8m（xk4），将y2x2代入上式，得2x2mxm4kk80，mk k2因为直线l 与抛物线C 相切，所以 m28（ 4 8 ）m22mkk2（mk）20，所以mk，即l AB.(2)假设存在实数k，使NA NB

15、 0，则NA NB，又因为 M 是 AB 的中点，所以|MN |1 |AB|.21111 k2k2k2k2 k2 16 TOC o 1-5 h z 由(1)知yM1(y1y2)1(kx12kx22)1k(x1x2)41(k4)k 2.因为MNx轴，所以|MN|yMyN|k 2 k k .222224488又|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2) 24x1x21k2(k2)24(1)21k21k216.所以k281641k21k216，解得k 2.即存在k2，使NA NB 0.9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一直线与圆锥曲线交点问题【例 1】 若曲线y2 ax与直线y （a1）

16、x 1 恰有一个公共点，求实数a 的值 .【解析】综上所述，a 0 或a1 或a4.5【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a 0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 a 1 0，即a1 的可能性，从而漏掉两解. 本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：当a TOC o 1-5 h z a0 时，曲线y2ax，即直线y0，此时与已知直线yx1 恰有交点（1,0） ；当a1 时，直线y1 与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点（ 代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零） ；4当a5时直线与抛物线相切1】 若直线y kx 1 与双曲线x2 y2 4 有且只有一个公共点，则实

17、数 k 的取值范围为（5A.1 ，5A.1 ，1，2 ，5255B.(，2 2 ，)C.( C.( ，11 ，)5D.( ，1) 2 ，)答案为 A.题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题22【例2】(2010 辽宁)设椭圆C：x2y21(ab0)的右焦点为F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于A，Bab两点，直线l 的倾斜角为60， AF 2 FB .(1)求椭圆 C 的离心率；15(2)如果 |AB| 145，求椭圆C 的方程 .【解析】(1)e c 2.(2) x y 1. TOC o 1-5 h z a3 95【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方

18、程.【变式训练2】 椭圆ax2 by2 1 与直线 y 1 x交于A， B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为23，则ab的值为.【解析】ab xy023.题型三对称问题【例3】 在抛物线y2 4x上存在两个不同的点关于直线l： y kx 3对称，求k 的取值范围.【解析】故 k 的取值范围为( 1,0).【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1， y1)、 B(x2， y2)关于直线l 对称，则满足直线l 与 AB垂 直，且线段AB 的中点坐标满足l 的方程；(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大

19、于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的 TOC o 1-5 h z 条件建立不等式求参数的取值范围.【变式训练3】已知抛物线yx23 上存在关于xy0 对称的两点A，B，则|AB|等于 ()A.3B.4C.3 2D.4 2【解析】设 AB 方程： yxb，代入yx23，得x2xb30，11所以xA xB1 ，故 AB 中点为( 2，2 b).它又在xy0 上，所以b1 ，所以|AB|32，故选C.总结提高1. 本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组A

20、x By C 0, f(x,y) Ax By C 0, f(x,y) 0,通过消去y(也可以消去x)得到x 的方程ax2 bx c 0 进行讨论.这时要注意考虑a 0和 a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0 ， 0 外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程【例1】 已知抛物线的方程为x2 2

21、y， F 是抛物线的焦点，过点F 的直线 l 与抛物线交于A、 B 两点，分别过点A、 B 作抛物线的两条切线l1 和 l2，记l1和 l2交于点M.(1)求证：l1 l2；(2)求点M 的轨迹方程.【解析】(1)所以l1 l2.1(2)M 的轨迹方程是y2.直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意 “ 求轨迹方程” 和 “ 求轨迹 ” 是两个不同概念，“ 求轨迹 ” 除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌1 】 已知 ABC 的顶点为A( 5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线x 3

22、上，则顶点C 的轨迹方程是()22A. 9 16 1Cx y 1(x 3).9 1622 xy B. 16 922D.x y 16 91(x 4)，方程为x2y2 1(x 3)，故选C.916题型二圆锥曲线的有关最值2】 已知菱形ABCD 的顶点A、 C 在椭圆x2 3y2 4 上， 对角线 BD所在直线1.当ABC 60时，求菱形ABCD 面积的最大值.因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD.AC 的方程为yx n.22x y ,得 4x2 6nx 3n2 4 0.y xnA， C 在椭圆上，所以12n2 64 0，解得4343 n33.3n3n2 4设A，C 两点坐标分别为(x1，y1

23、)，(x2，y2)，则x1x22，x1x24 ，y1 x1 n ， y2x2n. 所以 y1 y2 2.因为四边形ABCD 为菱形，且ABC 60，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD 的面积S 23|AC|2.又|AC|2(x1x2)2(y1y2)2 3n 16，所以S3(3n216) (43n1 ，直线 l：xmym2 0，椭圆1， F1， F2分别为椭圆C 的左、右焦点.(1)当直线 l 过右焦点F2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆 C 交于A， B 两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G， H.若原点O 在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围(1)故直线l 的方程为x2y 1 0.（2）A（x1， y1）， B（x2， y2），则由 m2 8（m 1）m2 8 0 知m2 8，4且有my1且有my1 y22，2 m y1 y2812.F1( c,0)，F2(c,0)，故O 为 F1F2的中点，AG 2GO， BH 2HO，得G（x31， y31）， H（x32， y32），222 |GH |2