高中数学理科选修知识点归纳总结文档

1、第一章：命题与规律结构 学问点： 1,命题：用语言,符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句 . 真命题：判定为真的语句 . 假命题：判定为假的语句 . 2,“如 p,就 q”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论 . 3,对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个 命题称为互逆命题 . 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题 如原命题为“如 p ,就 q ”,它的逆命题为“如 q ,就 p ” . . 4,对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否 定,就这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原

2、命题,另一个称为原命题的否命题 . 如原命题为“如 p ,就 q ”,就它的否命题为“如 p,就 q” . 5,对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否 定, 就这两个命题称为互为逆否命题； 其中一个命题称为原命题, 另一个称为原命题的逆否 命题； 如原命题为“如 p ,就 q ”,就它的否命题为“如 q,就 p”； 6,四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： 1 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性； 2 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假

3、性没有关系 7,如 p q ,就 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件 如 p q,就 p 是 q 的充要条件（充分必要条件） 8,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q 当 p ,q 都是真命题时, p q 是真命题； 当 p ,q 两个命题中有一个命题是假命题时, pq是假命题 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q 当 p , q 两个命题中有一个命题是真命题时, p q 是真命题；当 p, q 两个命题都是假 命题时, p q 是假命题 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 p 如 p 是

4、真命题,就 p 必是假命题；如 p 是假命题,就 p 必是真命题 9,短语“对全部的” ,“对任意一个”在规律中通常称为全称量词,用“ ”表示 含有全称量词的命题称为全称命题 第 1 页,共 10 页全称命题“对 中任意一个 x ,有 p x 成立”,记作“ x , p x ” 短语“存在一个” ,“至少有一个”在规律中通常称为存在量词,用“ ”表示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在 中的一个 x ,使 p x 成立”,记作“ x , p x ” 10,全称命题 p ： x , p x ,它的否定 p： x , p x ；全称命题的否定 是特称命题； 特称命题 p ： x , p

5、 x ,它的否定 p ： x , p x ；特称命题的否定是全 称命题； 考点： 1,充要条件的判定 2,命题之间的关系 典型例题： 1下面四个条件中,使 a b 成立的充分而不必要的条件A a b 1 是 b1B a 2 2 3 3C a b D a b 2已知命题 P： n N, 2n 1000,就 P 为 A n N, 2 n 1000 B n N, 2n 1000 C n N, 2 n 1000 D n N, 2n 1000 x 1 是 | x | 1 的 A 充分不必要条件 必要不充分条件 C充分必要条件 其 D既不充分又不必要条件 次章：圆锥曲线 学问点： 11,求曲线的方程（点的

6、轨迹方程）的步骤：建,设,限,代,化 建立 适当的 直角坐标系；设动点 M x, y 及其他的点；找出中意限制条件的等式； 将点的坐标代入等式；化简方程,并验证（查漏除杂） ； 12,平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离之 和 等于常数 （大于 F 1 F 2 ）的点的轨迹称为椭圆； 这两个定点称为椭圆的焦点, 两焦点的距离称为椭圆的焦距； MF1 MF2 2a 2a 2c 13,椭圆的几何性质： 第 2 页,共 10 页焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 2 x 2 y 1 a b02 y 2 x 1ab0a2b2a2b2范畴 ax aby bbx b 且

7、 ay a且 1a,0 , 2a,0 10, a, 20,a 顶点 1 0, b, 2 0,b 1 b,0 , 2 b,0 轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点 F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c 2 2 2焦距 F1 F2 2c c a b, a 最大 对称性 关于 x 轴, y 轴对称,关于原点中心对称 2离心率 e c a 1 ba 2 0e12 2准线方程 x a y ac c 14,设 是椭圆上任一点,点 到 F1 对应 准线的距离为 d1 ,点 到 F2 对应 准线的距离 为 d2 ,就 F1 F2 e； d1 d2 15,平面内与两个定点 F

8、1 , F 2 的距离之 差的确定值 等于常数（小于 F 1 F 2 ）的点的轨迹 称为双曲线；这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距； MF1 MF2 2a 2a 2c 焦点在 y 轴上 16,双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 第 3 页,共 10 页图形 标准方程 2 x 2 y 1a0, b 02 y 2 x 1a0, b 0a22 ba2b2范畴 x a 或 x a , y Ry a 或 y a , x R顶点 1a,0 , 2a,0 10, a, 20,a 轴长 F1 虚轴的长 2b 实轴的长 2a c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2

9、 0,c 焦点 焦距 F1 F2 2 2c c a2b2, c 最大 对称性 关于 x 轴, y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ec 1b2e1aa2准线方程 x a 2 c y a 2 c 渐近线方程 y b x ay a x b 17,实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线； 18,设 是双曲线上任一点,点 到 F1 对应 准线的距离为 d1 ,点 到 F2 对应 准线的距 离为 d 2 ,就 F1 F2 e； d1 d2 18,平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点 F 称为 抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线 19,过抛物线的焦点作垂直于

10、对称轴且交抛物线于 , 两点的线段 ,称为抛物线的 “通径”,即 2 p 20,焦半径公式： 如点 x0 , y0 在抛物线 2 y 2 px p 0上,焦点为 F ,就 F x p； 2第 4 页,共 10 页如点 x0 , y0 在抛物线 2 y 2 px p 0上,焦点为 F ,就 F y x 0pp2； 如点 x0 , y0 在抛物线 2 x F y 0； 2 py p 0上,焦点为 F ,就 2F p如点 x0 , y0 在抛物线 x 2 2 py p0上,焦点为 F ,就 2 21,抛物线的几何性质： 2 y 2 px 2 y 2 px 2 x 2 py 2 x 2 py 标准方程

11、 p0p0p0p0图形 顶点 0,0 对称轴 x 轴 , 0 F pp, 0 y 轴 pF 0, p焦点 F p 2F 0, 222准线方程 x px y 0py p2222离心率 e1x 0y y 0 x 0范畴 考点： 1,圆锥曲线方程的求解 2,直线与圆锥曲线综合性问题 3,圆锥曲线的离心率问题 典型例题： 第 5 页,共 10 页 1设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内, 就该双曲线的离心率的取值范畴为 A 0, 2 B 1, 2 C 2 ,1 D 2 , 22 2 2 设椭圆 x 2 y 2 1a b 0 的左,右焦点分别为 F1, F2

12、；点 Pa, b 中意 a b| PF2 | | F1 F2 |. （）求椭圆的离心率 e ； 2 2（）设直线 PF2 与椭圆相交于 A ,B 两点,如直线 PF2 与圆 x 1 y 3 16 相 交于 M , N 两点,且 | MN | 5 | AB |,求椭圆的方程； 8第三章：空间向量 学问点： 1,空间向量的概念： 1 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量 2 向量可用一条有向线段来表示 有向线段的长度表示向量的大小, 箭头所指的方向表示 向量的方向 3向量 uuur 的大小称为向量的模（或长度） ,记作 uuur a r4模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1 的向量称为

13、单位向5与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 r量 a 的相反向量,记作 r6方向相同且模相等的向量称为相等向量 2,空间向量的加法和减法： 1 求两个向量和的运算称为向量的加法, 它遵循平行 四边形法就即：在空间以同一点 为起点的两个已 知向量 a ,b 为邻边作平行四边形 r rC,就以 起 uuur r点的对角线 C 就是 r a 与 b 的和,这种求向量和的方 法,称为向量加法的平行四边形法就 2求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角 形法就 即：在空间任取一点 uuur ,作 r a , uuur r b , 第 6 页,共 10 页就 uuur ra b r3,实数 与空

14、间向量 a r 的乘积 a是一个向量,称为向量的数乘运算当 r 0时, a与 ra r 方向相同；当 0 时, a与 a 方向相反；当 r r 0 时, a r 为零向量,记为 0 ra r 的 长度是 a 的长度的 r 倍 r4,设 , 为实数, a r , b 是空间任意两个向量,就数乘运算中意支配律及结合律 支配律： ra b r ra b ；结合律： ra ra r5,假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量称为共线向量或平行 向量,并规定零向量与任何向量都共线 6,向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a , b b r r r 0, r a / b r的充要条

15、件是存在 实数 ,使 a rr b 7,平行于同一个平面的向量称为共面对量 8,向量共面定理：空间一点 位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur x y C ；或对空间任确定点 ,有 x y C ；或如四点 , , uuur uuur uuur uuur , C 共面,就 x y z C x y z 1 9,已知两个非零向量 a和 r b r,在空间任取一点 ,作 uuur ra, uuur b ,就 r称为 向量 a , b r r的夹角,记作 a, b r r两个向量夹角的取值范畴是： a, b r

16、r0, 10,对于两个非零向量 a r 和 b ,如 ra b r r,就向量 a , b r r相互垂直,记作 a r b r211,已知两个非零向量 a r 和 b r,就 a b cos a, b 称为 a , r r r r r b r的数量积,记作 a b 即 r ra b r r ra b rcos a,b r r零向量与任何向量的数量积为 0 12, ra b 等于 ra 的长 r a r 与 b r在 a 的方向上的投影 r b rcos a, b 的乘积 r r度 13 如 a r, b r为非零向量, r e 为单位向量,就有 1 e a r r ae rr a cos a

17、, e r r r ； 2 ra b ra b r r0 ； 3 a b r r ra ra b rb r a 与 b 同向 ra 与 b 反 r rr, a a rr a, r 2a r a a rr； 向 第 7 页,共 10 页4 cos a, b r r a b r a b rr r； 5a b r ra r b r 14 量数乘积的运算律： 1 a b r rb ra ； r2 ra b ra b r r ra b r； 3 ra b r rc a c r r b rc r15,空间向量基本定理：如三个向量 a r, b r, c 不共面,就对空间任一向量 r p ,存在实数 r组

18、x, y, z ,使得 p r xa r yb rzc r16,三个向量 a r, b r, c 不共面,就全部空间向量组成的集合是 rr r p p xa ryb rzc, x, y, z rR这个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的, r r ra,b, c r r r 称为空间的一个基底, a , b , c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以 r r r构成空间的一个基底 ur uur ur17,设 e1, e2 , e3 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底） , ur uur ur ur uur ur 以 e1, e2 , e3 的公共起点

19、为原点,分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正 方向建立空间直角坐标系 xyz 就对于空间任意一个向量 p ,确定可以把它平移,使它的 r起 点 与 原 点 重 合 , 得 到 向 量 uuurp 存 在 有 序 实 数 组 r x, y, z , 使 得 p rxe1 ur ye2 uur ze3 ur把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 r ure1, uure2 , e3 ur 下的坐标,记 作 p r x, y, z 此时,向量 p 的坐标是点 r 在空间直角坐标系 xyz 中的坐标 x, y, z 18,设 a r x1, y1,

20、z1 , b rx2 , y2 , z2 ,就 1 a r b rx1 x2 , y1 y2, z1 z2 2a r b rx1 x2 , y1 y2 , z1 z2 3 ra x1 , y1 , z1 4 a b r rx1x2 y1 y2 z1 z2 5如 a r , b r为非零向量,就 a r b ra b r r0 x1x2 y1 y2 z1 z2 0 6 如 b r 0 ,就 r ra / b ra r b rx1 x2 , y1 y2 , z1 z2 7 ra a a r r x1 2y1 2z1 2第 8 页,共 10 页8 cos a, b r r ra ra br b rx

21、 1 2 x1 x2 y 1 2 z 1 y1 y2 2 x 2 2 z1z2 y 2 2 z 2 2 uuur 2 2 29 x1, y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,就 d x2 x1 y2 y1 z2 z1 uuur19,在空间中,取确定点 作为基点,那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表 uuur示向量 称为点 的位置向量 20,空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 以及一个定方向确定点 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 r l 的方向向量,就对于直线 l 上的任意一点 ,有 uuurta ,这样 r点 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,

22、仍可以具体表示出直线 r l 上的任意一点 21,空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 r,它们的方向向量分别为 a r , b 为平面 上任意一点,存在有序实数对 x, y ,使 得 uuurxa r yb r,这样点 22,直线 l 垂直 ,取直线 23,如空间不重合两条直线 与向量 a , b r r就确定了平面 的位置 l 的方向向量 a r,就向量 a 称为平面 r 的法向量 a , b 的方向向量分别为 a r, b r,就 a / b a / b r ra r b rR, a b a r b ra r b r0 24,如直线 a 的方向向量为 a,平面 r 的法向量为 n ,且 a r,就 a / a / ra r n r a n 0 r r , a a r a / n r r a r n r25,如空间不重合的两个平面 , 的法向量分别为 a r, b r,就 / a / b r rra b , ra r b ra r b r0 26,设异面直线 a , b 的夹角为 ,方向向量为 a, r b r,其夹角为 ,就有 ra b rcos cos ra rb 27,设直线 l 的方向向量为 l r,平面 的法向量为 n, l r 与 所成的角为 , l r与 n 的夹角 rl r rn 为 ,就有 sin cos rl r