数学实验方程求解市公开课获奖课件

1、数学实验第三讲方程求解第1页第1页 1) 掌握方程求解三种解法：解析 法、数值解法以及图形表示解办法; 2) 学会使用MATLAB软件求解析解、数值解 和图形解； 3） 通过范例学习如何建立方程模型和 分析问题思想；实验目第2页第2页一，建立方程例子【问题背景】一段时间, 美国原子能委员会是按下列方式处理浓缩放射性废物. 他们将废物装入密封性能较好圆桶中, 然后扔到水深300英尺海里. 这种做法是否会造成放射性污染, 很自然地引起了生态学家及社会各界关注. 原子能委员会一再保证, 圆桶非常坚固, 决不会破漏, 这种做法是绝对安全. 然而一些工程师们却对此表示怀疑, 他们认为圆桶在海底相撞时有也

2、许发生破裂. 由此双方展开了一场笔墨官司. 终归谁意见正确呢? 只能让事实说话了!第3页第3页数学建模普通环节模型准备模型假设模型构成模型检查模型分析模型求解模型应用第4页第4页二，方程求解1，解析办法2，图形放大法3，迭代办法4，区间办法第5页第5页方程求解之解析办法主要针对一些比较简朴方程以及方程组，比如多项式方程等。同窗们以前对方程求解也是针对这样一些方程进行。该办法长处是能够利用纸笔得到简朴有效并且准确解；缺点是能够求解方程数量太少。Matlab和Maple提供了求方程解析解函数，能够说对数学演算提供了不少以便。第6页第6页方程求解之图形放大法图形最大有点就是直观，试想假如我们有了函数

3、准确图形，那么曲线和x轴交点就是我们要求方程解。因此我们能够利用图形工具得到方程解。当然，计算机上图形不也许等同于函数真实图形，由于计算机上图形是曲线上部分点轨迹而不是所有，因此通过图形不也许得到方程准确解，甚至它只是一个比较粗略解，当然，通过对图形放大能够得到更准确一些解。同时，这种办法也不适应大量数据处理。第7页第7页 方程 f(x)=0 1）建立坐标系，画曲线f(x)； 2）观测曲线f(x)与x轴相交交点； 3）将其中一个交点进行局部放大； 4）该交点横坐标值就是方程根。 2图形放大法第8页第8页例: 求方程 x5 +2x2 + 4 = 0 一个根.画方程曲线图（tuxfd.m）x=-6

4、:0.01:6;y=x.5+2.*x.2+4;y1=x;plot(x,y,x,y1)或ezplot(f(x),a,b)由此判断：方程一个根在区间-2，2内，因此将区间-6，6缩小至-2，2，再观测！ 该方程有几种根？欲寻找其中一个实根，并且达到一定精度。2图形放大法第9页第9页 逐次缩小区间，观测一个根在-1.55-1.5之间。2图形放大法第10页第10页方程求解之迭代法迭代法理论以及办法出现，对方程求解有着里程碑式意义。其基本思想下列: 需要求解方程： f (x) = 0 （1） 通过某种变形得：x = j (x) （2） 从而求解方程（1）转化成为求解（2）得不动点。（满足条件x*=j(x

5、*)点x*称为不动点） 为得到方程不动点，能够结构迭代过程下列： xn+1 =j (xn)，n =0，1， x0 定义为迭代初值。第11页第11页解： 第一步 结构迭代函数： x=j (x)例：用迭代办法求解方程 x3 -x2 -x-1 = 0。第12页第12页第二步 迭代设定初值 x0=1， xn+1 =j (xn)，n =0，1， 用 MATLAB 编程（died2.m文献)x=1;y=1;z=1;(初始点）for k=1:20 x=x3-x2-1; % j1 (x) y=(y2+y+1)(1/3); % j2 (y) z=1+1/z+1/z2; % j3 (z)endX，y，z第13页第

6、13页序号j3(x)序号j2(x)j3(x)1j2(x)1.44223.000081.81751.813621.65371.444491.83851.855431.75322.1716101.83891.829441.79951.6725111.83911.845451.82091.9554121.83921.835561.83081.7730131.83921.841671.83541.8822j1(x)迭代是失败（迭代不收敛 ）。准确解：x=1.8393计算结果第14页第14页 迭代函数j2(x)和j3(x)选取是成功。准确解为 x=1.8393。 并且选取函数j2(x)、j3(x)其收敛

7、速度不一致，前者速度快些！结论1、当碰到迭代不收敛时有什么处理办法？2、如何提升收敛速度？ 对于给定方程 f(x) = 0, 有各种方式将它改写成等价形式 x = j(x)。但主要是如何改写使得序列收敛？返 回第15页第15页方程求解之迭代法当今最流行迭代法是牛顿法以及由此改进一些办法，比如拟牛顿法等。其基本思想就是结构迭代格式是利用函数导数，这类办法有收敛速度快，稳定性好等特点。对低维和高维情况都适合，也是当今一些软件均采用办法。当然，由于需要函数导数信息，因此自然对不可微问题受到制约。该办法迭代格式为： xk+1=xk-f(xk)/f(xk)第16页第16页例:利用牛顿法求方程x3 -x2

8、 -x-1 = 0根.办法:第一步,给出函数导函数3x2-2x-1; 第二步,给出函数迭代格式: xk+1=xk-f(xk)/f(xk); 设置一定精度要求,达到即终止.定义函数m文献: function ff=myniudun(x) ff=(x3 -x2 -x-1 )/(3x2-2x-1);定义命令m文献: x0=1; x1=x0-myniudun(x0); while abs(x1-x0)0.0001 x0=x1; x1=x0-myniudun(x0); end第17页第17页三，解方程函数格式及例子Matlab对方程求解提供了下列一些函数：（1）多项式求根；（2） 线性方程组求解；（3）

9、普通非线性方程（组）求解：第18页第18页输出: -1.2131 -0.9017 + 0.5753i -0.9017 - 0.5753i -0.2694 + 0.9406i -0.2694 - 0.9406i 0.4168 + 0.8419i 0.4168 - 0.8419i 0.8608 + 0.3344i 0.8608 - 0.3344i例：求解多项式方程 x9+x8+1=0输入: p=1,1,0,0,0,0,0,0,0,1; roots(p)roots()语句使用办法第19页第19页4、线性方程组：AX = b 其中A是mn阶矩阵，b是m维向量。 x=A b or x=inv(A)*b特

10、点：只能求出一个特解。第20页第20页solution to the following linear system of equations:You can formulate and solve the problem asA = 3 11 -2; 1 1 -2; 1 -1 1;b = 7; 4; 19;x = Abx = 13.2188 -2.3438 3.4375第21页第21页例: AX = b, 解: 输入:A=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; b=6; 14; -3; x1=Ab, x2=inv(A)*b输出:警告: 系统秩不足. 解不唯一.1、题中rank(A)=ran

11、k(A|b)=23, 该方程组有无穷解。2、输出结果是否一致？3、如何求方程组所有解？思考Ab 和inv()语句使用办法返 回第22页第22页函数fzero格式： fzero(函数名,初值或区间)Example 1. Calculate by finding the zero of the sine function near 3. x = fzero(sin,3)x = 3.1416Example 2. To find the zero of cosine between 1 and 2 x = fzero(cos,1 2)x = 1.5708第23页第23页1、方程(组)， f1(x) =

12、 0,fn(x) = 0, x = (x1,xn)2、方程(组)， f1(x) = 0,fn(x) = 0, x = (x1,xn)fun.m function f = fun(x) f(1)= f1(x) ; f(n)= fn(x) 初值1）能够省略。2）options=1,表示输出中间结果。solve(f1(x),f2(x),fn(x) ) X = fsolve (fun, X0, options) MATLAB软件直接求解法第24页第24页输出: 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)单变量方程solve()语句使用办法例1

13、： 求解方程 ax2+bx+c = 0输入: x= solve(a*x2+b*x+c)或 solve(a*x2+b*x+c=0)1）符号解第25页第25页例2： 解方程： x3-2x2=x-1解： s=solve(x3-2*x2=x-1) double(s)2）数字解该方程是否有实根？vpa(s,10)solve()语句使用办法第26页第26页 例3 求解方程： tan(x)-sin(x)=0 3）无穷解输入: solve(tan(x)-sin(x)=0)输出：0 (不能给出所有解） (tx1.m)solve()语句使用办法第27页第27页输入： x,y=solve(x2*y2,x-(y/2)

14、-b)输出：x = 0 ， y = -2*b 0， -2*b （符号解） b， 0 b， 0 v=x,y 多变量方程组例4或 b=2solve()语句使用办法第28页第28页 假如有10个方程系统，输入x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10=solve()不但费时，并且非常拙笨。solve能够给出结构输出形式。S = solve(x2*y2 - 2*x - 1 = 0,x2 - y2 - 1 = 0)S = x: 8x1 sym y： 8x1 sym （给出结构解）输出详细解：S.x, S.y, s1=S.x(2), S.y(2)； （取出解空间第二组解）M=S.x,S.

15、y； （创建解矩阵）例5solve()语句使用办法第29页第29页例6：求解方程组解 输入：x,y,z=solve(sin(x)+y2+log(z)-7=0, 3*x+2y-z3+1=0,x+y+z-5=0,x,y,z)x =0.59905375664056731520568183824539y =2.3959314023778168490940003756591z =2.0050148409816158357003177860955输出：fsolve()语句使用办法第30页第30页解：1）建立方程组M-函数文献(nxxf.m) function eq=nxxf(x) eq(1)=sin(x(

16、1)+x(2)2+log(x(3)-7; eq(2)=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1; eq(3)=x(1)+x(2)+x(3)-5;运营程序(test4.m) y=fsolve(nxxf,1,1,1,1)3）运营结果：Optimization Terminated Successfully y= 0.5990 2.3959 2.0050fsolve()语句使用办法第31页第31页fsolve()函数第三个输入是options,它是一个结构型数据,能够通过函数optimset ()进行设定.当不进行设定期采用缺省设置. fsolve函数还能够有后面参数设定,这一功效在有时候非常有用.

17、fsolve()语句使用办法比如,求解函数sin(ax)-x=0最小正解.分析:有已知知识我们知道,该方程没有解析形式解,也就是说很难得到这个解和a之间详细关系.数值办法能够对a先取拟定值,这样变成一个一元方程,容易进行求解,当我们改变a时,就得到诸多这样解,通过这样办法,我们能够得到解和a之间一些大体关系.第32页第32页详细办法下列:建立函数m文献:function ff=funpara(x,a)ff=sin(a*x)-x;fsolve()语句使用办法建立相应命令m文献:B=zeros(100,1); for a=1:100 x0=pi/(2*a)+0.01;B(a)=fsolve(fun

18、para,x0,a);endplot(B)第33页第33页区间办法对于一个闭区间上连续函数，我们有一个0点存在定理，利用这个定理，能够对不可微函数求得函数0点。 基本思想是通过判断函数在端点处函数值异号能够拟定函数在开区间上至少有一个0点，然后通过缩小区间得到解近似。 长处是不需要函数导数信息，并且只要有0点就一定能够得到；缺点是相对牛顿法等速度较慢。第34页第34页 问题关键在于圆桶到底能承受多大速度碰撞? 圆桶和海底碰撞时速度有多大? 工程师们进行了大量破坏性试验, 发觉圆桶在直线速度为40 ft/s 冲撞下会发生破裂, 剩余问题就是计算圆桶沉入300 ft 深海底时, 其末速度终归有多大

19、? 问题分析引例分析和求解第35页第35页 1. 使用55加仑圆桶; ( 1加仑 = 3.7854升 ) 2. 装满放射性废物时圆桶重量为 W = 527.436磅 (1 磅 = 0.4526公斤 ) 3. 在海水中圆桶受到浮力 B = 470.327磅 4. 圆桶下沉时受到海水阻力 D = C v C 为常数, 经测算得: C = 0.08. 5. 建立坐标系, 取垂直向下为坐标方向 y , 海平面为坐标原点.y0 问题假设引例第36页第36页依据牛顿第二定律, 圆桶下沉时应满足微分方程: 建立模型引例第37页第37页 为了求出圆桶与海底碰撞速度v(t), 需要求出圆桶下沉到海底300英尺时时间 t, 再计算v(t)，要做到这一点是十分困难. 若将速度v 当作是海水深度y 函数, 即由复合函数求导法知 建立模型引例第38页第3