2021年全国高考数学理科卷及解析

1、 8/82021年全国高考数学理科卷及解析 绝密启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正

2、带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 112i 12i +=- A 43i 55- B 43i 55-+ C 34i 55- D 34i 55 -+ 2已知集合22(,)|3,A x y x y x y =+Z Z，则A 中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 3函数2 e e ()x x f x x -=的图象大致为 4已知向量a ，b 满足|1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A 4 B 3 C 2 D 0 5双曲线 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -= A y =

3、 B y = C y = D y = 6在ABC 中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A B C D 7为计算111 11 123499100 S =-+-+ +- ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A 1i i =+ B 2i i =+ C 3i i =+ D 4i i =+ 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A 112 B 114 C 115 D 118 9在长方体1111 ABCD A B C D

4、 -中，1AB BC =，1AA =1AD 与1 DB 所成角 的余弦值为 A 1 5 B C D 10若()cos sin f x x x =-在,a a -是减函数，则a 的最大值是 A 4 B 2 C 34 D 11已知()f x 是定义域为(,)-+的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+若(1)2f =， 则(1)(2)(3)(50)f f f f += A 50- B 0 C 2 D 50 12已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b += ：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 12PF F 为等腰三角形，12120F F P =?

5、，则C 的离心率为 A 23 B 12 C 13 D 14 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为_ 14若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-? -+?-? 则z x y =+的最大值为_ 15已知sin cos 1+=，cos sin 0+=，则sin()+=_ 16已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为 7 8 ，SA 与圆锥底面所成角为45， 若SAB 的面积为_ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题， 每个试题考生都必

6、须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17（12分） 记n S 为等差数列n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =- （1）求n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值 18（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2, ,17）建立模型： ?30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1

7、,2,7）建立模 型：?9917.5y t =+ （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，|8AB = （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程 20（12分） 如图，在三棱锥P ABC - 中，AB BC = 4PA PB PC AC =，O 为AC 的中点 （1）证明：PO 平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C -为30?

8、，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值 21（12分） 已知函数2 ()e x f x ax =- （1）若1a =，证明：当0 x 时，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+只有一个零点，求a （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos , 4sin ,x y =?=?（为参数），直线l 的参数方 程为1cos , 2sin ,x t y t =+?=+? （t 为参数） （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）若曲线C 截直线l

9、 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率 23选修45：不等式选讲（10分） 设函数()5|2|f x x a x =-+- （1）当1a =时，求不等式()0f x 的解集； （2）若()1f x ，求a 的取值范围 绝密启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1D 2A 3B 4B 5A 6A 7B 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空题 132y x = 149 1512 - 16 三、解答题 17解： （1）设n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=- 由17a =-得d =2 所以n a 的通项公式为29n a n

10、=- （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=- 所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为?16 18解： （1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ?30.413.519226.1y =-+?=(亿元) 利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ?9917.59256.5y =+?=(亿元) （2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： （）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下 这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额

11、的变化趋势2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基 础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 ?9917.5y t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠 （）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值2261亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分

12、19解： （1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =- 设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x =-?=?得2222(24)0k x k x k -+= 2 16160k ?=+，故1222 24 k x k x += 所以122244 |(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+= 由题设知22 44 8k k +=，解得1k =-（舍去），1k = 因此l 的方程为1y x =- （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=-，即5y x =-+ 设所

13、求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 00220005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+?-+= +?解得003,2x y =?=?或0011,6.x y =?=-? 因此所求圆的方程为2 2 (3)(2)16x y -+-=或2 2 (11)(6)144x y -+= 20解： （1）因为4AP CP AC =，O 为AC 的中点，所以OP AC ，且OP = 连结OB 因为AB BC AC =，所以ABC 为等腰直角三角形， 且OB AC ，1 22 OB AC = = 由222OP OB PB +=知PO OB 由,OP OB OP AC 知PO 平面ABC （2）如

14、图，以O 为坐标原点，OB uu u r 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz - 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r 设(,2,0)(02)M a a a -，()h x 没有零点； （ii ）当0a 时，()(2)e x hx ax x -=- 当(0,2)x 时，()0hx 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+单调递增 故24(2)1e a h =- 是()h x 在0,)+的最小值 若(2)0h ，即2 e 4a ，由

15、于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当0 x 时，2e x x ，所以 3334224 1616161 (4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a =-=-=- 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+有两个零点 综上，()f x 在(0,)+只有一个零点时，2 e 4 a = 22解： （1）曲线C 的直角坐标方程为22 1416 x y += 当cos 0时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x =?+-， 当cos 0=时，l 的直角坐标方程为1x = （2）将l 的参数方程代入C 的直角

16、坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t +-= 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以有两个解，设为1t ，2t ，则 120t t += 又由得1224(2cos sin ) 13cos t t +=- +，故2cos sin 0+=，于是直线l 的斜率 tan 2k =- 23解： （1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-? =-? 可得()0f x 的解集为|23x x - （2）()1f x 等价于|2|4x a x +- 而|2|2|x a x a +-+，且当2x

17、=时等号成立故()1f x 等价于|2|4a + 由|2|4a +可得6a -或2a ，所以a 的取值范围是(,62,)-+ 21（12分） 已知函数2()e x f x ax =- （1）若1a =，证明：当0 x 时，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+只有一个零点，求a 解： （1）()e 2x f x x =-，()e 2x f x =- 当ln 2x 时，()0f x ，所以()f x 在(,ln 2)-单调递减，在(ln 2,)+单调递增，故()(ln 2)22ln 20f x f =-，()f x 在(,)-+单调递增 因为0 x ，所以()(0)1f x f = （2）当0 x 时，设2e ()x g x a x =-，则2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+只有一个零点 等价于()g x 在(0,)+只有一个零点 3 e (2) ()