北京航空航天大学线性代数第二章2-2-矩阵的运算课件

1、朱立永北京航空航天大学 数学与系统科学学院线性代数答疑时间：星期二晚上18:0020:30 星期四晚上18:0020:30答疑地点：J4-1022.1 矩阵的概念2.2 矩阵的运算2.3 逆矩阵2.4 分块矩阵2.5 初等变换与初等矩阵 本章的主要内容2.6 矩阵的秩 2.2.1 矩阵的加法与数乘 2.2 矩阵的运算 定义2.2.1 两个矩阵 A = (aij) mn , B=(bij)st ,如果m=s, n=t,称A与B是同型矩阵;若数域P上的同型矩阵 A= (aij) mn 与B=(bij) mn的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,2,m;j=1,2,n), 则称A与B相等

2、,记作A=B.， ， 定义2.2.2 设A=(aij)mn, B=(bij) mn为数域 P 上的两个同型矩阵，称矩阵 (aij+bij) mn为矩阵A与B的和,记作. 由矩阵加法的定义可以看出,只有同型矩阵才能进行加法运算,两个矩阵相加等于矩阵中对应元素相加. 定义2.2.3 设A=(aij)mn为数域P上的矩阵,kP.数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵(kaij)mn称为数k与矩阵A的数量乘积,简称为数乘,记作.矩阵的加法与数量乘积称为矩阵的线性运算. 设A,B,C均为数域P上的mn矩阵, k,lP,不难验证,矩阵的加法和数乘满足如下运算规律:(1) 加法交换律 A+B=B+A;(2)

3、 加法结合律 (A+B)+C=A+(B+C); (3) A+O=O+A=A,这里O是与A同型的零矩阵; (4) A+(-A)=(-A)+A=O； (5) k(A+B)=kA+kB； (6) (k+l)A=kA+lA； (7) (kl)A=k(lA)=l(kA)； (8) 1A=A,0A=O.， ， 解 在矩阵方程两端同加上-2A,得， ， 在这个方程两端同乘以,得2.2.2 矩阵的乘法 在给出矩阵乘法的定义之前,我们先看一个解析几何中关于坐标旋转的例子. 设按逆时针方向将平面直角坐标系xoy转一个角度后,得到坐标系xoy,这时得新旧坐标之间的变换公式 于是,连续施行两次变换,坐标系xoy与xo

4、y之间的关系为 此变换对应的系数矩阵为 容易看到,矩阵C中第i行j列(i,j=1,2)的元素,恰好等于矩阵A中第i(i=1,2)行元素与矩阵B中第j(j=1,2)列对应元素乘积之和,由此我们给出下列矩阵乘法的定义.只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数,AB的列数等于右乘矩阵B的列数.， ， 例2.2.2 设计算AB. ， ， 解 由于左乘矩阵A的列数与右乘矩阵B的行数都是3,所以AB有意义,且 因为B为32矩阵,A为33矩阵,B的列数不等于A的行数,所以B与A不能相乘,即BA无意义. 例2.2.3 设求AB,BA.， ， 解 在

5、这个例子中,AB是n阶矩阵,而BA则是1阶矩阵. ， ， 解 矩阵乘法与数的乘法的不同之处：（1）矩阵乘法不满足交换律： （a)AB有意义,而BA可能无意义; (b)尽管AB与BA都有意义,但可能不是同型矩阵; (c)AB与BA都有意义, 并且同型,但 ABBA ；（2）矩阵乘法不满足消去律,尽管BA=CA且AO,一般得不到B=C;（3）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即AO, BO, 而AB=O.因此，在矩阵乘法运算中, 若AB=O, 则不能推出A=O 或 B=O 的结论.解 由题设AX=XA及矩阵乘积的定义,知X为二阶方阵.设则由AX=XA得由矩阵相等的定义得于是所有与A相乘可换的矩阵为即

6、其中a,b为任意常数. 例 2.2.6 利用矩阵乘法与矩阵相等的概念,可以把线性方程组写成矩阵乘积的形式.设线性方程组令则于是有， ， 对于mn矩阵A,显然有以下结论: 设A,B,C为数域P上的矩阵，kP，它们的乘法满足如下运算规律: (1) 结合律 (AB)C=A(BC)； (2) 分配律 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA； (3) k(AB)=(kA)B=A(kB),k为任意常数. ， ， 容易看出,(AB)C与A(BC)都是mn矩阵,因此只需证明(1)式两端的对应元素相等即可. 设这里仅对(1)进行证明， ， 由矩阵乘法的定义，矩阵(AB)C中第i行第j列的元素为 (

7、2.2.1)式右端正好是矩阵A(BC)中第i行第j列的元素,根据矩阵相等的定义,有(2.2.1) ， 因为矩阵的乘法满足结合律,所以可以给出方阵的正整数次幂的概念. 定义2.2.5 设A是n阶矩阵,k为正整数,定义k个A的连乘积为A的k次幂,记作Ak,即这里规定A0=E. 根据矩阵乘法的结合律,容易证明(m,l均为正整数). 由于矩阵乘法不满足交换律,在一般情况下,对于n阶方阵A与B， 对于方阵A,我们还可以定义矩阵多项式.设是x的m次多项式,A是一个n阶方阵,E为n阶单位阵,称为方阵A的多项式.显然,f (A)仍是一个n阶方阵.例2.2.7 设 计算f (A). 解， ， 例2.2.8 设矩

8、阵 A=PQ 其中 求A10. 解 由于， ， 所以 前面讨论了矩阵的乘法及其运算规律,下面给出关于方阵行列式的一些性质. 定理2.1.1 设A、B均为n阶方阵,k为常数,则(1) |kA|= |A|； (2) |AB|=|A|B|.， ， 证 应用矩阵的数乘定义及行列式的性质2,立即可得到(1).下面证明(2).根据拉普拉斯展开定理,有， ， 这时用b11,b21,bn1分别去乘上式右端2n阶行列式的第1,第2,第n列,都加到第n+1列上,其次用b12,b22,bn2分别去乘这 ， ， 个行列式的第1,第2,第n列,都加到第n+2列上,最后用b1n,b2n,bnn分别去乘这个行列式的第1,第

9、2,第n列,都加到第2n列上,得到， ， 由拉普拉斯定理,将这2n阶行列式按后n列展开,在后n列中,不为零的n阶子式只有一个,于是得到， ， 于是 |A|B|=|AB|. 证毕.， ， 注意 本定理及其推论中要求A,B均为n阶方阵,当A,B不是同阶方阵时,显然 ，推论 设 是m个n阶方阵,则 2.2.3 矩阵的转置 定义2.2.6 设 mn矩阵 将矩阵A的行列互换,而不改变其先后次序得到的nm矩阵 称为矩阵A的转置矩阵,记为AT(或A). 例如的转置矩阵为 设A,B为数域P上的矩阵,kP,矩阵的转置满足如下运算规律: (1) (AT)T=A； (2) (A+B)T=AT+BT； (3) (kA

10、)T=kAT (k为任意常数)； (4) |AT|=|A|（A为方阵）； (5) (AB)T=BTAT. 性质(1)-(4)显然成立,这里只证性质(5).事实上,设A=(aij)mk,B=(bij)kn,那么(AB)T与BTAT都是nm矩阵. 只需证明(AB)T与BTAT的对应元素相等.矩阵(AB)T的第i行第j列元素等于AB的第j行第i列元素,即A的第j行元素与B的第i列对应元素乘积之和矩阵BTAT的第i行第j列元素是BT的第i行元素与AT的第j列对应元素乘积之和,即B的第i列元素与A的第j行对应元素乘积之和,即因此(AB)T与BTAT的对应元素相等,故定义2.2.7 设A=(aij)是n阶方阵,如果 AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,n)，则称A为对称矩阵;如果 AT=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,n)，则称A为反对称矩阵.显然在反对称矩阵中,主对角线上的元素均为零. 例如 由定义可知，对称矩阵的和、数量乘积仍为对称矩阵, 反对称矩阵的和、数量乘