多元统计分析：第三章 多元正态总体参数的假设检验(补充)课件

1、 应用多元统计分析 第三章 多元正态总体 参数的假设检验(二)1第三章 多元正态总体参数的假设检验目 录(二)3.6 正态性检验 第三章所涉及的最大似然估计量小结 2第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6 正态性检验 在均值和协差阵的检验中,以及以后将介绍的一些统计方法中都是假定样本来自p元正态总体.所作统计推断的结论是否正确,在某种意义上取决于实际总体与正态总体接近的程度如何?因此建立一些方法来检验多元观测数据与多元正态数据的差异是否显著是十分必要的.设X()(X1 , , Xp) (1,n)是来自p元总体X的样本,试问总体X是否服从Np(,)分布? 若总体X(X1,Xp)Np(,),利用

2、多元正态分布的一些性质可知(记=(1,p),=(ij)pp )： 3第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6 正态性检验 每个分量XiN(i,ii) (i1，p). 任二个分量(Xi , Xj )二元正态分布. 设l=(l1,lp)为任给的p维常向量,令lX,则N1( l，ll ). 令=(X-)-1(X-),则2(p). 正态随机向量X的概率密度等高线为椭球. 若总体X为多元正态总体,必具有以上所列的几条性质.如果X具有以上这些性质,也不一定能得出X为p元正态分布.但如果经过检验,比如发现某个分量Xi与正态分布有显著差异,即可得出p元总体X与p元正态分布也有显著差异.利用以上性质,要来构造出

3、好的满意的多元正态的整体性检验十分困难.4第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-一维边缘分布的正态性检验 在实际应用中如果经过从多方面得到的检验结果与正态分布均无显著性差异，也就认为该总体X与p元正态无显著差异. 设p维随机向量X(X1,Xp),检验分量XiN(i,2) (i1，p) ，把p维正态性检验化为p个一维数据的正态性检验.常用的检验方法有以下几种. 1. 2检验法 这是适用于连续型或离散型随机变量分布的拟合优度检验方法，也称为Pearson 2 检验法. 2. 柯氏(Kolmogorov,A.N.)检验法 这是适用于连续型分布的拟合优度检验方法.5第三章 多元正态总体参

4、数的假设检验3.6正态性检验-二维数据的正态性检验 设X(X1,Xp) 为p维随机向量,X的任二个分量的n次观测数据记为X(i)=(Xi1,Xi2)(i=1,n).下面介绍检验二维观测数据是否来自二元正态分布的方法. 1. 等概椭圆检验法 若二维随机向量X=(X1,X2)N2(,),则X的概率密度函数等高线 f(x1,x2)a (X-)-1(X-)b2右边是中心在(1,2)由(X-)-1(X-)b2决定的椭圆.由本章3.1的介绍的知识可知 D2(X-)-1(X-)2 (2).对给定p0(0，1)，则存在d0使 P D2 d0p07第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-二维数据的正

5、态性检验 2. 二维数据的2图检验法 因二维数据的2图检验法与p维数据的2图检验法原理完全相同.故关于二维数据的2 图检验方法请参阅下面p维数据的2图检验方法.8第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-p维数据的正态性检验 D2(1) D2(2) D2(n) .统计量 D2 的经验分布函数取为 其中H(D2(t) |p)表示2 (p)的分布函数在D2(t)的值. 设2 分布的pt分位数为t2 ,显然t2满足: H(t 2 |p)= pt.即2 分布的pt 分位数t2 H-1(pt |p). 由经验分布得到样本的pt 分位数D2(t)=Fn-1(pt ).若H(x|p)Fn(x)，应

6、有D2(t) t2 ,绘制点(D2(t) , t2 )的散布图,当X为正态总体时,这些点应散布在一条直线上. 10第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-p维数据的正态性检验 这种检验法其实就是卡方分布的Q-Q图检验法. 类似地也可以绘制点(pt , H(D2(t) |p)的散布图，当X为正态总体时，这些点也应散布在一条直线上.这种检验法其实就是卡方分布的P-P图检验法. 具体检验步骤如下： (1) 由n个p维样本点X() (1,n)计算样本均值X，样本协差阵S：11第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-p维数据的正态性检验 (2) 计算样品点X(t)到X的广义平方距

7、离(即马氏距离) (3) 对广义平方距离D2t 按从小到大的次序排序 (4) 计算pt(t-0.5)/n (t=1, 2，n) ,t2 ,其中t2满足： H(t2 |p)= pt (或计算H(D2(t)|p)的值).12第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-p维数据的正态性检验 2. 主分量检验法 设X(i)=(Xi1, Xi2, Xip)(i=1,n)为来自p维总体X=(X1,Xp)的观测数据(样本).检验H0: XNp(,)，H1：X不服从Np(,). 设样本协差阵S的特征值为12p0，相应的特征向量为l1,l2,lp.记lt=(l1t , l2t , , lpt).令 Zt

8、= l1t X1+ l2t X2+ lptXp (t=1,2,p)即新变量Z1,Zp 是X1,Xp的线性组合.且可以证明: Z1,Zp 是相互独立的.14第三章 多元正态总体参数的假设检验3.6正态性检验-p维数据的正态性检验 p维观测数据提供的信息大部分可由前几个新变量所提供.这时p维数据的正态性检验可化为几个相互独立的新变量的一元数据的正态性检验.这些新变量在第七章主成分分析中被称为主成分.故此检验法称为主成分检验法. 如果正态性假设不能成立，一般应考虑对数据进行变换，使非正态数据更接近正态，然后对变换后的数据进行统计分析.有关变换的方法请见参考文献5、6或7.15第三章 多元正态总体参数的假设检验所涉及的最大似然估计量单个总体17第三章 多元正态总体参数的假设检验所涉及的最大似然估计量单个总体18第三章 多元正态总体参数的假设检验所涉及的最大似然估计量单个总体19第三章 多元正态总体参数的假设检验所涉及的最大似然估计量两个总体 两个p维正态总体Np(1),)和Np