初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)

1、.初一数奥匹克竞题含答案初一奥题一甲多开支100 ，三年后负债 元求每人每年收入多少？S 的末四位数字的和是多少？4一个人以 3 米/时的速度上坡以 千米/时的速度下坡行程 千米 共用了 3 时 20 钟，试求上坡与下坡的路程5求和：6证明：数 p 以 所得的余数一定不是合数8若两个数 x，y 使 x+xy+y 能被 整除，证明：x 和 y 能被 3 整除9如 195 所示在四边 中，对角线 AC，BD 中点为 ，MN 延长线与 边交于 P 点求证：PCD 的面积等于四边形 ABCD 的面积的一半 解答：所以x=5000() / .所以 S 的末四位数字的和为 195=243因为a-b0即 a

2、b即当 ba0 ba 时，等式成立4设上坡程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则有由有 2x+y=20，由有 y=12-x将之代入得2x+12-x=20所以千米)于是 千米)5第 n 项为所以 / .6 rr30因为 p 质数， r0即 0假设 r为合数，由于 r30，所以 r 最小质约数只可能为 ，3，5再由 r知，当 r 的最小质约数为 ，3，5 时，p 是质数，矛盾所以，r 一不是合 数7设由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知 4由，m0，且为整数，所以 ，2，3下面分别研究 ，q (1)若 时，有解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去 (

3、2)若 时，有 / .因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解 (3)若 时，有解之得故pq=88因为 x+xy+y=(x-y)由题设， (x)所以 3(xxyy)从而 (x-y)因为 质数，故 3(x-y)进而 (x-y)由上式又可知3xy故 3xy所以 3 或 3y若 3x结 3(x-y)便得 3 y；若 3，同理可得，3x9连结 ，CN如图 1103 所示因为 是 的中点，所以上述两式相加另一方面，S S S 因此只需证明 / .S S S 由于 ，N 分别为 AC，BD 的中点，所以S -S -S 又 S ，所以 S S =S / .初一奥题二1已 3

4、x，求 6x-5x 的值2某商店售的一种商品，每天卖出 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1 元，每天就少卖出 10 试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是 多少元？3 1 所示知 CBAB 分 平分1 证：DAAB4已知方组的解应为一个学生解题时把 c 抄错了，因此得到的解为求 abc的值5求方程xy-2x+y=4 的整数解6王平买了年利率 7.11的三年期和年利率为 7.86的五年期国库券共 元若三年期国库券到期后把本息再连续存两个一年期的定期储蓄五年后与五年期国库券的本息总和为 元王平买三年期与五年期国库券各多

5、少？ (年期定期储蓄年利率为 )7对 k，m 的哪些值，方程组8求不定程 3x4y 整数解 / 至少有一组解？.9小王 5 钱买 个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为 20 分8 3 小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且 各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1原2x(3x-x)+3(3x-x)-2x+2000 =2x1 2原来每可获利 4100 ，若每件提价 x 元，则每件商品获利(x)元，但 每天卖出为(100-10 x)件如果设每天获利为 y 元，则y (4x)(100-10 x)=400100 x-40 x-10 x=-10(x-6x9

6、)90400=-10(x-3)490所以当 时，y 最大=490 ，即每件提价 元，每天获利最大，为 元3因 CE 平分，DE 平 1104)，所以ADCBCD=180，所以ADBC又因为ABBC，由，ABAD4依题意所以 a+c=345xy-2+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2 所以(+1)(y-2)=2因为x10，且 x，y 都是整数，所以 / .所以有6设王平三年期和五年期国库券分别为 元和 y 元，则 因为 y=35000-x，所以所以x(10.0522)+(35000-x)(1+0.07865)=47761， 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.04

7、97x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元) 7因为 (k1)xm-4， 为一切实数时，方程组有唯一解当 ，m=4 时的解为一切实数，所 以方程组有无穷多组解当 ，m4 时，无解所以，k1 为任何实数，或 ，m=4 时，方程组至少有一组解8由题设程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m原方程的通解为其中 ，m 取任意整数值 / .9设苹果梨子、杏子分别买了 x，y，z 个，则消去 y，得 12x-5z=180的解是 x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得 y=-23017t故 x=90-5t，y=-230+17t，

8、z=180-12tx=20z=12因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要 13+4 56=2120 个初一奥题三1解关于 的方程2解方程其中 ac03求(-6x+4x-7)(2x-3) 的展开式中各项系数之和4液态农一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 升，再用水灌满， 这时农药的浓度为 ，求桶的容量5满足-1.77x=-2x 的自然数 x 共有几个？这里x表示不超过 的最大整数， 例如-5.6=-6，3=36设 是 一点求P 到ABC 三顶点的距离和与三角形周之比的取值 围 / .7甲乙两同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多 24 米，甲经过 9 小时到东站，乙经过

9、 小时到西站，求两站距离8黑板上着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减 ，这样继续下去，最后得到 ，1997，1999，问原来的三个数能否是 2，2，2？ 9设 n 实数 x ，x ，x ，其中每一个不是+1 就是-，且 求证：n 4 倍数解答：1化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a1 ，2将原方变形为由此可解得 b+c3当 x=1 时，(8-6+4-7)(2-1)即所求展开式中各项系数之和为 1依题意得去分母、化简得 7x-300 x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0， / .5 n 为 n x=n x ， -1.77x=-2x 0.23x=-2x+0.

10、23x由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0又因为 x 为自然数，所以 01，经试验，可知 x 可取 1，2，4，共 4 个6如 1105 所示在 中有 PBPC，延长 交 AC 于 易证 PCABAC由，PBAB+AC，同理ACPAPCACBC，ABPAPBACAB得 CA2(PAPBPC)2(ABBCCA)所以7设甲步速度为 米/时，乙步行速度为 y 千米/时，则所求距离 为(千米依题意得由得 16y，由得 16y=249x，将之代入得 / .即 (249x)=(12x)解之得于是所以两站距离为 千米)8答案是定的对于 2，2，首先变为 2，3，其

11、中两个偶数，一个奇数以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇 (值可以改变，但奇偶 性不变)所以，不可能变为 ，1997，1999 三个奇数。又因为所以，k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数 / .初一奥题四1已 a，c 都是正数，并且 aa，cdb求证：acbdab2已知甲商品的原价是乙种商品原价的 1.5 倍因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的 2 倍调价后甲乙两种商品单价之和比原 单价之和提高了 2，求乙种商品提价的百分数3在锐角角形 中，三个角都是质数求三角形的三个角4某工厂年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产 ，那么每年比上一年增长的百分数就相同且第

12、三年的产量恰为原计划三年总产 量的一半，求原计划每年各生产多少台？z=x+y+y+1+，求 z 的最大值与最小值8从 1 到 的自然数中，有多少个数出现 1 或 5？9从 19，21，98 这 个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶 数的选法有多少种？解答：1由对称，不妨设 ba，则 acbdad=a(cd)ab2设乙种商品原单价为 x 元则甲种商品的原单价为 1.5x 元设甲商品降价 y，则乙商品提价 2y依题意有 1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5x 2)， / .化简得 1.5-1.5y+1+2y=2.51.02所以 y=0.1=10，所以甲种商品降价 ，乙种商品提价 3因为C

13、=180，所以，B， 中必有偶数唯一的偶质数为 2所以所以B=178由于需 为奇质数，这样的解 不唯一，如4设每年产 d 千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为 a-d，a，a 依题意有解之得所以三年产量分别是 4 千、6 台、8 台不等式组： / .所以x2；无解6设原式 ，则所以又0.112-0.001=0.111因为所以=0.1057由x1，y1 得 -1x1，-11 所以 y10，x-2y+40所以 z=x+yx+yx-y5 / .(1)当 0 时，z=-(x+y)x-y+5=5-2y由-y1 推得 35-2y7，所以这时，z 的最小值为 、最大值为 (2)当 x+y0 时，z=(x

14、y)+(x-y+5)=2x+5由-x1 可推得 37所以这时 z 的最小值为 、最大值为 由(1)，(2)知，z 的最小值为 3，最大值为 78百位上字只是 1 的数有 ，101，199 共 100 个数；十位上数字是 1 5 (百位上不为 1)有 个)上出现 1 5 (百位和十位上都不是 1 或 5)有 238=48(个)再加上 500 这个数，所以，满足题意的 数共有100+60+48+1=209(个)9从 19 到 98 共计 80 不同的整数，其中有 个奇数， 个偶数第一个数可以任选，有 80 种选法第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他 39个偶数中选取，有 39 种选法同理，第一个

15、数如果是奇数，第二个数也有 39种选法但第一个数为 a第二个为 b 第一个为 b第二个为 a 同一种选法， 所以总的选法应该折半，即共有种选法 / .初一奥题五1一项任，若每天超额 2 件，可提前计划 天完工，若每天超额 件， 可提前 5 完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间2已知两数2，5，8，11，14，17，(200-1)3，5，9，13，17，21，25，5(200-1)4，它们都有 200 ，问这两列数中相同的项数有多少项？3求 x-3px2q 能被 x2axa整除的条件4证明不式5若两个角形有一个角对应相等求证：这两个三角形的面积之比等于 夹此角的两边乘积之比6已知(x-1)

16、 多项式 xax-3xbx3 所得的余式是 ，试求 ，b 的值7今有长分别为 1，2，3，9 的线段各一条，可用多少种不同方法， 从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？8平面上 10 条直线，其中 4 条是互相平行的问：这 10 条直线最多能 把平面分成多少部分？9边长为数，周长为 的三角形有多少个？解答：1设每天划完 x 件，计划完工用的时间为 y 天，则总件数 xy 件依 题意得 / .解之得总件数 件)即计划用 15 完工，工作的件数为 件2列数中第 n 表示为 2(n-1)3列数中第 项表示为 5(m-1) 要使 (n-1)35+(m-1)4所以因为 1n200，所以所以3，4，7，

17、10，148 共 项x-3px+2q 被 x2axa除的余式为 -p)x2(q)所以所求的条件应为4令因为所以 / .5如图 1-106(a)，(b)所示 与 中，现将 移至ABC 中，使与重合，连 结 FB此时，F的面积等于三角形 DEF 的面积得6不妨设式为 xx由已知有xax-3xbx=(x-1)(xx)+(x1)=(x-2x1)(x x)1=x+(-2)x+(1-2)x(1-2)x+1比较等号两端同次项的系数，应该有 / .只须解出所以 a=1，b=0 即为所求 7因为所以正方形的边长下面按正方形边的长度分类枚举：(1)边长为 2=8+3=74=6+5， 可得 1 选法(2)边长为 1=82=73=6+4， 可得 1 选法(3)边长为 9：9=8+1=7+2=6+3=5+4， 可得 5 选法(4)边长为 8：8=7+1=6+2=5+3，可得 1 选法(5)边长为 7：7=6+1=52=43，可得 1 选法(6)边长6 时，无法选择综上所述，共有 1+1+5+1+1=9 / .种选法组成正方形8先看 6 条不平行的直线，它们最多将平面分成2+23+4+56=22 个部分现在加入平行线加入