经典电磁理论及其数学基础wang市公开课获奖课件

1、第一章 典型电磁理论及其数学基础主 要 内 容电磁场基本物理量、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理1.电荷及其分布2. 电场强度3.电流与电流密度4. 安培力定律与磁感应强度5. 标量和矢量6. 标量场方向导数与梯度 7. 矢量场通量与散度8. 矢量场环量与旋度9. 无散场和无旋场10.唯一性定理 11.亥姆霍兹定理12.坐标系第1页第1页1. 电荷及其分布电荷分布在一定体积内时，其体密度表示为： 电荷分布在一定表面上时，其面密度表示为： 电荷分布在线上时，其线密度表示为： 第2页第2页电荷与电荷密度关系为： 体电荷 面电荷线电荷第3页第3页点电荷概念 若两个带电体之间距离远远不小于它们本身尺寸，

2、那么能够不考虑带电体上电荷分布，认为所有带电量都集中在其几何中心处。即认为带电体为一个“点”，称为点电荷。点电荷是一个相正确概念，与带电体大小无关。两个点电荷之间作用力可用库仑定律表示下列：第4页第4页2. 电场强度电场对某点单位正电荷作用力称为该点电场强度，以E 表示。 式中q 为试验电荷电量，F 为电荷q 受到作用力。 电场强度通过任一曲面通量称为电通，以 表示,即 依据库仑定律 若为分布电荷，则 第5页第5页电场线方程用电场线围成电场管带电平行板 负电荷 正电荷 几种典型电场线分布由此可见，电场线疏密程度能够显示电场强度大小。 第6页第6页xzyr21r0例 求长度为L，线密度为 均匀线

3、分布电荷电场强度。 令圆柱坐标系 z 轴与线电荷长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角 无关。由于电场强度方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。 因场量与 无关，为了以便起见，可令观测点P 位于yz平面，即 ，那么 第7页第7页考虑到求得当长度 L 时，1 0，2 ，则第8页第8页例 在空气中，半径为a圆平面上均布面电荷密度为s电荷（s为常数）。求在圆平面中心垂直轴线上任意点处电场强度。它z分量为式中：第9页第9页讨论圆盘为无限大时，即a,从以上结果得第10页第10页3 电流与电流密度 分类：传导电流与运流电流。 传导电流

4、是导体中自由电子（或空穴）或者是电解液中离子运动形成电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成电流。第11页第11页 电流强度：单位时间内穿过某一截面电量，又简称为电流，以 I 表示。电流单位为A（安培）。 因此，电流 I 与电荷 q 关系为 电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度方向为正电荷运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积电荷量。 式中 即为正电荷运动方向。第12页第12页体电流：电荷在某一体积内定向运动所形成电流。 体电流穿过任一有向面元 dS 电流 dI 与电流密度 J 关系为 在电磁理论研究中，惯用到体电流模型、面电流模型和线电流模型。J 体电流

5、密度矢量 , 单位 是A/m2那么，穿过任一截面 S 电流 I 为此式表明，穿过某一截面电流等于穿过该截面电流密度通量。 第13页第13页面电流：电荷在一个厚度能够忽略薄层内定向运动所形成电流。穿过任一有向线元 dl 电流 dI 与电流密度 Js 关系为 面电流密度矢量 , 单位 是A/m那么，通过薄导体层上任意有向曲线 电流 为 面电流第14页第14页 在外源作用下，大多数导电媒质中某点传导电流密度 J 与该点电场强度 E 成正比，即式中 称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱电场作用下，也可形成很强电流。上式又称为欧姆定律 微分形式。线电流：电荷在一个横截面积

6、能够忽略细线中定向运动所形成电流。对线电流，认为电流是集中在细导线轴线上。第15页第15页 电导率为无限大导体称为抱负导电体。显然，在抱负导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在抱负导电体中是不也许存在恒定电场，不然，将会产生无限大电流，从而产生无限大能量。但是，任何能量总是有限。电导率为零媒质，不含有导电能力，这种媒质称为抱负介质。 媒 质电导率(S/m)媒 质电导率(S/m)银海 水4紫 铜淡 水金干 土铝变压器油黄 铜玻 璃铁橡 胶第16页第16页 运流电流电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度方向与电场强度方向也可能不同。能够证实运流电流电流密度J 与运动速度 v 关系为

7、 式中 为电荷密度。 与介质极化特性同样，媒质导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性含义与前相同。上述公式仅适合用于各向同性线性媒质。 第17页第17页式中，v=l/t为电荷运动速度，则电流密度大小为写成矢量形成式中，是该处运动电荷体电荷密度。例1.4一个半径为a球内均匀分布总电荷量为Q电荷，球体均匀角速度绕一个直径旋转，求球内电流密度。解：首先推导电流密度与电荷运动速度和体电荷密度之间关系第18页第18页设球内任意一点，其到球心距离为r，球直径与r 夹角为 ，则该点电荷运动速度为则写成矢量形成第19页第19页4. 安培力定律与磁感应强度 已知磁场表现

8、为对于运动电荷有力作用，因此，能够依据运动电荷或电流元受到作用力描述磁场强弱。 两个电流回路之间作用力可表示为上式称为安培力定律。第20页第20页矢量 B 称为磁感应强度，单位为T（特斯拉）。 值得注意是，运动电荷受到磁场力始终与电荷运动方向垂直，因此，磁场力无法改变运动电荷速度大小，只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量互换。 此图反应了B 、Idl 、dF三者之间关系。依据安培力定律，磁感应强度可表示为第21页第21页 磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点切线方向为磁感应强度矢量方向，这些曲线称为磁场线。磁场线矢量方程为 当然，磁场线也不可相交。与电场线同样，若以磁场线

9、构成磁场管，且要求相邻磁场管中磁通相等，则磁场线疏密程度也可表示磁场强弱，磁场线密表示磁感应强度强。 磁感应强度 B 通过某一表面 S 通量称为磁通，以 表示，即 磁通单位为Wb（韦伯）。 第22页第22页B 线性质： B 线是闭合曲线; B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 闭合 B 线与交链电流成 右手螺旋关系； B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。 图 1 一载流导线 I 位于无限大铁板上方磁场分布（B 线） 图 2 长直螺线管磁场分布（B 线） 图 3 一载流导线I位于无限大铁板内磁场分布（H 线）第23页第23页图 1 两根异向长直流导线磁场分布图 2 两根相同方向长直流导线磁

10、场分布图 3 两对上下放置传播线磁场分布图 4 两对平行放置传播线磁场分布第24页第24页 这样，若已知电流分布，可直接建立电流与磁感应强度关系为 此式称为毕奥沙伐定律。已知电流分布以后，依据此式即可直接计算空间任一点磁感应强度。 恒定电流场中简介电流能够分布在体积中，也可分布在表面上或细导线中。面分布电流称为表面电流，细导线中电流称为线电流，线电流无密度可言。对电流元而言,体电流、面电流及线电流可分别表示为 第25页第25页 那么，能够导出面电流和线电流产生磁感应强度分别为 对于一些恒定磁场，依据其基本方程计算磁感应强度将十分简便。面电流线电流第26页第26页例 计算在空气中长度为2l直线电

11、流空间一点P磁感应强度。 解:选择圆柱坐标系，z轴与通电导线重叠，坐标原点选择在线段中点，在通电导线上取一个电流元Idz,则电流元Idz产生磁感应强度为由对称性，dB只有 分量，其大小为第27页第27页由图可知空间点P磁感应强度方向为 方向，大小为对无限长直导线，第28页第28页例1.6在真空中半径为a、电流为I圆形线圈，计算轴线上一点磁感应强度。解:选择圆柱坐标系，设坐标原点在圆形线圈圆心，z轴与线圈轴线重叠。在通电导线上取一个电流元Idl,则电流元Idl产生磁感应强度为dB大小为dB方向如图所表示，其含有 和 分量第29页第29页写成矢量形式为由对称性，dB只有 分量。当 ，圆环中心磁感应

12、强度为第30页第30页5. 标量和矢量人们把只有大小而无方向物理量称为标量，如长度、质量、时间、电荷体电荷密度、电荷面电荷密度等都是标量； 人们把既有大小又有方向物理量称为矢量，如力、速度、加速度、电场强度、磁场强度等都是矢量。 矢量表示办法图1.11 P（x,y,z）点处矢量任意一个矢量A均可借助代表大小模A和代表方向单位矢量 表示为A=A 第31页第31页矢量在直角坐标系表示法式中第32页第32页位置矢量r和距离矢量R 矢量代数运算（1） 矢量相等A=BAx=Bx Ay=By Az=Bz第33页第33页则（3） 矢量加法与减法（2）矢量与标量乘积第34页第34页（4） 矢量标量积与矢量积矢

13、量A与矢量B标量积CC=AB=ABcos矢量A与矢量B矢量积CC=ABC=ABsin(0)第35页第35页在直角坐标系中，不难得出三个坐标单位矢量满足下面关系，即 第36页第36页矢性函数及其微分和积分假如一个矢量模和方向都不发生改变，则这种矢量称为常矢量； 假如某矢量是一个或者几种变量函数，则称这个矢量为变量矢性函数。假如矢量A随x、y、z和t而改变，则记为A（x,y,z,t）（1） 矢性函数导数在直角坐标系中，A（t）可表示为则第37页第37页（2） 矢性函数微分在直角坐标系中（3） 矢性函数积分对于矢性函数A（t）,在t某个区间上不定积分记作 A(t)dt=B(t)+C(C为任意常矢量)

14、在直角坐标系中，第38页第38页例1.7对于给定矢量：解：第39页第39页第40页第40页6. 标量场方向导数与梯度标量场及其等值面场中物理量在各点不随时间发生改变，则这个场称为静态场； 假如物理量在各点随时间发生改变，则称这个场为时变场。设在空间某区域存在一个静态标量场u=u(x,y,z)，为了更清楚地描述标量场分布规律，人们把标量场中数值相同点连接起来形成一个面，这个面称为等值面，如图1.17所表示。图1.17等值面示意图第41页第41页矢量场-矢量线等值线（面）方程为其方程为三维场在直角坐标下:二维场 矢量线等值线形象描绘场分布工具-场线标量场-等值线(面).第42页第42页方向导数:标

15、量场在某点方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上改变率。 比如标量场 在 P 点沿 l 方向上方向导数 定义为Pl第43页第43页梯度:标量场在某点梯度大小等于该点最大方向导数，梯度方 向为该点含有最大方向导数方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场 梯度可表示为式中grad 是英文字母 gradient 缩写。若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为第44页第44页例1 三维高度场梯度例2 电位场梯度高度场梯度 与过该点等高线垂直； 数值等于该点位移最大改变率； 指向地势升高方向。电位场梯度 与过该点等位线垂直； 指向电位增长方向。 数值等于该点最大方向导数； 梯度物理意

16、义 标量场梯度是一个矢量,是空间坐标点函数; 梯度方向为该点最大方向导数方向,即与等值线（面）相垂直方向，它指向函数增长方向. 梯度大小为该点标量函数 最大改变率，即该点最大方向导数; 三维高度场梯度 电位场梯度第45页第45页通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 面积分称为矢量 A 通过该有向曲 面 S 通量，以标量 表示，即 7. 矢量场通量与散度 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场洞（或汇）。闭合有向曲面方向通常要求为闭合面外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面通量一定

17、为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面通量一定为负。因此，前述源称为正源，而洞称为负源。 第46页第46页 矢量 E 沿有向曲面S 面积分 0 (有正源) 0；若处处相反，则 0 。可见，环量能够用来描述矢量场旋涡特性。第52页第52页 由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 环量等于该闭合曲线包围传导电流强度 I 与真空磁导率 0 乘积。即 式中电流 I 正方向与 dl 方向构成 右旋 关系。由此可见，环量能够表示产生含有旋涡特性源强度，但是环量代表是闭合曲线包围总源强度，它不能显示源分布特性。为此，需要研究矢量场旋度。 第53页第53页旋度：旋度是一个矢量。若以

18、符号 rot A 表示矢量 A 旋度，则其 方向是使矢量 A 含有最大环量强度方向，其大小等于对 该矢量方向最大环量强度，即式中 rot 是英文字母 rotation 缩写，en 为最大环量强度方向上单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围面积。上式表明，矢量场旋度大小能够认为是包围单位面积闭合曲线上最大环量。 第54页第54页直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符 表示为 应该注意，不论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近改变特性，场中各点梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述是场点特性或称为微分特性。函数连续性是可微必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定

19、义梯度、散度或旋度。 第55页第55页斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度能够认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分关系。从物理角度能够理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中场和包围区域 S 闭合曲线 l 上场之间关系。因此，假如已知区域 S 中场，依据斯托克斯定理即可求出边界 l 上场，反之亦然。或者写为第56页第56页 散度处处为零矢量场称为无散场，旋度处处为零矢量场称为无旋场。 9. 无散场和无旋场两个主要公式： 左式表明，任一矢量场 A 旋度散度一定等于零 。因此，任一无散场能够表示为另一矢量场旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。 右式表明，任一标量场 梯度旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定能够表示为一个标量场梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。 第57页第57页10. 矢量场惟一性定理 位于某一区域中矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量切向分量或法向分量给定后，则该区域中矢量场被惟一地拟定。 已知散度和旋度代表产生矢量场源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。第58页第58页 若矢量场 F(r) 在无限区域中