高阶微分方程市公开课获奖课件

1、名家之言“有诸多人很聪明，却被聪明所误。”“样样好，样样也干不好。”学会欣赏第1页第1页名言警句 车尔尼雪夫斯基人活动假如没有抱负鼓舞，就会变得空虚而渺小!在今天和明天之间，有一段很长时间；趁你尚有精神时候，学习快速办事!歌德读书之法,在循序而渐进,熟读而精思!朱熹第2页第2页第四章 高阶微分方程第3页第3页主要内容 微分方程一些基本概念及其应用； 一阶微分方程初等求解办法; 一阶微分方程解存在定理及其分析性质。 一、复习结论 求解微分方程一些基本办法； 微分方程解性质。第4页第4页二、引言 在前面讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论一阶微分方程外，还将碰到一些其它类型非一阶微分方程，即高阶

2、微分方程，也就是二阶及二阶以上微分方程。对于高阶微分方程度基本理论（包括存在唯一性定理）和求解办法，分两步来处理：对于线性微分方程（组）在本章和下一章讨论；而非线性微分方程（组）在第六章讨论。第5页第5页 在微分方程理论中，线性微分方程是非常值得注重一部分内容，这不但由于线性微分方程普通理论已被研究得十分清楚，并且线性微分方程是研究非线性微分方程基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛应用。因此，本章着重讨论线性微分方程基本理论和常系数微分方程解法，对于高阶微分方程降阶问题和二阶线性方程幂级数解法也作适当地简介。二、引言第6页第6页主要内容 线性微分方程普通理论; 常系数线性微分方程解法;

3、高阶微分方程降阶和幂级数解法.本章重点 线性微分方程基本理论; 常系数微分方程解法.主要手段 转化法，即简化问题.三、主要内容和办法第7页第7页普通n阶线性微分方程为 这里 是 已知函数。主 题：讨论下列形式微分方程解及其结构.第8页第8页4.1 线性微分方程普通理论1、n阶线性微分方程称（4.2）为n阶齐次线性微分方程，简称齐线性微分方程。4.1.1 基本概念和主要定理2、n阶齐次线性微分方程第9页第9页定义：（n阶齐次线性微分方程，或齐线性方程） 称（4.2）为n阶齐线性微分方程，简称齐线性方程。3、基本概念定义：（n阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而普通方程（4.1）称为n阶非齐线

4、性微分方程，或简称非齐线性方程，并且通常把方程（4.2）叫做相应于方程（4.1）齐线性方程。第10页第10页4、高阶微分方程解存在唯一定理则对于任一 及任意 ，方程（4.1）存在唯一解 ，定义在区间 上，且满足初始条件：假如 及 都是区间 上连续函数，定理1 证实：利用线性微分方程组相关理论证实（在此略）。 以后将给出该定理证实。第11页第11页4.1.2 齐线性方程解性质与结构当k=n时，有 在什么条件下，表示式（4.4）能构成为n阶齐次线性方程（4.2）通解？它将含有什么特性？为此，先研究函数组相关性。1、叠加原理(定理2)2、问题 假如 是方程（4.2）k个解，则它们线性组合 也是齐次线

5、性微分方程（4.2）解，这里 是任意常数。注：齐次线性微分方程任意k个解线性组合仍然是这个方程解。第12页第12页3、函数相关性考虑定义在区间 上函数 ，假如存在不全为零常数 ，使得恒等式对于所有 都成立，则称这些函数是线性相关，不然就称这些函数在所给区间上线性无关。线性无关 ；线性相关 .第13页第13页4、函数组伏朗斯基（Wronsky）行列式由定义在区间 上k个可微k-1次函数 组所作成行列式第14页第14页定理3 若函数 在区间 上n-1次可微且线性相关，则在a,b上它们伏朗斯基（Wronsky）行列式为零，即有 .证实（理论基础）：线性方程组解理论。(除教材上p123证实办法外，还能

6、够用反证法。)办法：结构法证实，即结构一个以伏郎斯基行列式为 系数行列式线性方程组。第15页第15页注：该定理逆命题不一定成立。下列函数：要求：同窗们验证。结论：定理3条件必要而不充足，即W(t)=0是函数组线性相关必要条件，而不是充足条件。但是，假如 是齐线性微分方程（4.2）解，则有下列定理：第16页第16页定理4 假如方程（4.2）解 在区间 上线性无关，则 在a,b内任何点上都不等于零，即有： 证实基本思想： 反证法，并用结构法进行证实，以及解唯一性定理。第17页第17页证实：采用反正法。设有某个 使得 。考虑关于 齐次线性代数方程组(4.9)依据假定，线性方程组(4.9)有非零解 。

7、现以这组常数结构函数第18页第18页依据叠加原理， 是方程(4.2)解，注意到(4.9)，知道这个解 满足初始条件(4.10)但是 显然也是方程(4.2)满足初始条件(4.10)解，由解唯一性定理，即知 ，即由于 不全为0，这就与 线性无关假定矛盾。命题得证。第19页第19页注释：依据定理3和定理4知道，由n 阶齐线性方程（4.2）n个解构成伏朗斯基行列式，或等于零，或在方程系数函数为连续区间内处处不等于零。并依据定理1，结构一组初始条件：满足这组初始条件解 一定存在，且又由于于是由定理3知道，这n个解一定是线性无关。于是有：第20页第20页定理5 n阶齐线性方程（4.2）一定存在n个线性无关

8、解。于是由定理3知道，这n个解一定是线性无关。于是有：第21页第21页定理6（通解结构定理） 假如 是方程（4.2）n个线性无关解，则方程（4.2）通解可表为： （4.11）其中 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）所有解。证实基本环节： 1、（4.11）是（4.2）通解(含有n个独立常数)； 2、（4.11）包括了（4.2）所有解，即任给一初始条件能 拟定（4.11）中常数, 使（4.11）满足该初始条件。5、通解结构定理第22页第22页第一步： （4.11）是（4.2）通解(含有n个独立常数)只须证实 互相独马上可。事实上，有第23页第23页第二步（4.11）包括了（4.2）

9、所有解，即任给一初始条件能拟定（4.11）中常数, 使（4.11）满足该初始条件。分析： 要证实（4.11）包括了（4.2）所有解，由定理1，方程解唯一地决定于初始条件，因此，只须证实，任给一初始条件(4.12)能够拟定(4.11)中常数 值，使(4.11)满足(4.12).若(4.11)满足(4.12),得到下列关于 线性代数方程组(4.13)该方程组系数矩阵是由这n个线性无关解构成Wronsky行列式，于是不等于0，因此，该方程组有唯一解。命题得证。第24页第24页推论：方程（4.2）线性无关解最大个数等于n。因此有：n阶齐线性方程所有解构成一个n维线性空间。注意：把方程（4.2）一组n个

10、线性无关解称为方程一个基本解组。显然,基本解组不唯一。上述通解定理：给出了求解高阶奇次线性方程办法和环节：求出n个线性无关解；写出相应n阶奇次线性方程通解。尤其地，当 时称其为原则基本解组。第25页第25页例1 已知方程 ，求它基本解组？并写出它通解。分析：试探办法求其基本解组。则原方程通解为第26页第26页性质2 方程（4.1）任意两个解之差必为方程(4.2)解。其中 为任意常数，并且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）所有解。4.1.3 非齐线性方程与常数变易法性质1 假如 是方程（4.1）解，而 是方程（4.2）解， 则 也是方程（4.1）解。定理7 设 为方程（4.2）基本解组，而

11、 是方程（4.1）某一个解，则方程（4.1）通解可表为1、基本性质和定理第27页第27页（4.14）是（4.1）解：检查式证实办法;（4.14）是（4.1）通解：只需证实（4.14）中n个常数是独立即可;（4.14）包括了（4.1）所有解：证实（4.1）任意解都能够由（4.14）表示。利用性质2.本质：定理6和定理7反应了齐线性方程与非齐线性方程解结构之间紧密联系。于是得到求解非奇次线性方程基本环节：2、定理7证实思绪第28页第28页 由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它一个解和相应齐线性方程基本解组。只要知道相应齐线性方程基本解组就能够利用常数变易法求得非齐线性方程解。一阶非齐线性微

12、分方程求解中常数变易法精神实质是什么？提问：为了寻找 ，只要再找n-1个限制条件即可，而这些条件在理论上是任意取，当然以运算上“以便”为前提。适当选取办法，就可得到一关于 线性方程组，进而利用求解线性方程组办法可求得 。注意：方程 。第29页第29页3、非齐线性方程求解环节求相应齐线性方程一个基本解组；用常数变易法求非齐线性方程通解。办法一求非齐线性方程一个特解；求相应齐线性方程一个基本解组；写出非齐线性方程通解。办法二常数变易办法：把相应齐线性方程通解中任意常数当作待定函数，给出n个限制条件即可求解。第30页第30页例1 求方程 通解，已知它相应齐线性方程基本解组为： .解：（常数变易办法）。第二步，用常数变易法求非齐线性方程通解,令环节：第一步，求相应齐线性方程一个基本解组 ；将它代入原方程，则可得相关 方程组：第31页第31页然后求解得原方程解解得由此其中 是任意常数。第32页第32页例2 求方程 于域 上所有解.求解办法选择： 第二种（先