直线与圆锥曲线练习题

1、 X2 - Xi =7Xi + X224x1X2=24二型|1 : k2| 一 1二 k2.v01, y1）, B（X2, y2）,由抛物线X2=4y得焦点F的坐标为（0,1）,准线方程为y = 1,之.3.31, | AF | = 2 丫1+1 = 2,斛付 y1 = 2，：X1 = 42,由抛物线的对称性取X1= 42,：A，2, 2，:直线 AF的方程为 y= Wx + 1,y=_2X+1X=V2，由 4 解得 1X2=4y.y=2R-2小，2) , ： | FB |=2+1 = 3,y=2,4 = X-FB , . | 而 | = X | FB | , . 3= 3 入，解得 入=1.

2、答案：212. （2019 武汉调研）已知直线 MN椭圆+ y2=1的左焦点F,与椭圆交于 M N两点.直线PQ过原点O且与直线MNff行，直线一、r J PQ/PQ与椭圆交于P, Q两点，则%N =I IV11 N解析：法一：由题意知，直线 MN勺斜率不为0,设直线MN勺方程为X = my+1,则x= m什 1,直线 PQ的方程为x=my设Mx1,y。，N（X2,y2）,Rx3,y3）,Q（X4,y4）.x222+y =12_、2_，? (m + 2) y + 2my- 1 = 0? ydy2=一2m2,2m+1. .|MN = yi + m | yi-y2| =2/2 . m2.x = m

3、y, X22 d2+y =12 , c、22? (m + 2)y2 = 0? y3+ y4= 0, y3y4= - m：. | PQ| = y 1 十 m| y3 y4| = 2y2m+i n2 + 2.2故 rw=2 22b法二：取特殊位置，当直线 MN直于x轴时，易得|MN =5，| PQ|=2b=2, a, ,2则 LP-L=2 2| MN答案：2 -213. (2019 石家庄重中高中摸底)已知抛物线C: y2=2px(p 0),直线l : y=J3(x16-1) , l与C父于A, B两点，若| AB =t-，则P=.3y =2px,解析：由y = 43 x-1 ,消去 y,得 3x

4、2(2p+6)x+3 = 0,设 A(xi, yi),B(x2,y2),由根与系数的关系，得 x1 +x2 = %3 x1x2= 1,所以 | AB = 2X1Tx22 4x1X23=2一 一2一2p 6216q-4= ,所以 p=2.93答案：214. (2018 深圳二模)设过抛物线y2 = 2px(p0)上任意一点R异于原点O的直线 与抛物线y2= 8px( p0)交于A, B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p0)的另一个交点Sz为Q,则ABQ=ABO解析：设直线 OP的方程为y=kx(kw0),y= kx,联立彳导2y = 2px,解得联立得y= kx,2=8px,解得8P 8PQ

5、T .y= kx,联立彳导2y = 2px,解得联立得y= kx,2=8px,解得8P 8PQT . . |OP =k236p 6P : 1 + k2S八 ABQ|PQ|OPSyA ABO=3.答案：315.已知抛物线E: y2=2px(p 0)的焦点F, E上一点(3 , m到焦点的距离为4.(1)求抛物线E的方程;(2)过F作直线1,交抛物线E于A, B两点，若直线AB中点的纵坐标为1,求直线1的方程.解：(1)抛物线E: y2=2px(p0)的准线方程为x=卷,p由抛物线的定义可知3- -2=4,解得p=2, ,.抛物线E的方程为y2= 4x.(2)法一：由(2)法一：由(1)得抛物线E

6、的方程为y2=4x,焦点F(1,0),设A, B设A, B两点的坐标分别为A1, y1) , Rx2, y ,2.y1= 4x则2,2,y2= 42,两式相减，整理得y2两式相减，整理得y2一 y 1X2Xi4 ，、=(XiWX2).y2+yi二.线段AB中点的纵坐标为一1,二.线段AB中点的纵坐标为一1,:直线的斜率kAB =:直线法二：由的方程为 :直线法二：由的方程为 y-0=-2(x-1),即 2x+y2=0.(1)得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F(1,0),设直线1设直线1的方程为x= m什1,y2=4x.一由消去x,得y - 4my-4=0.x= m什 1设A, B两点的坐标分

7、别为 A(xi, yi) , B(X2, y2), .线段AB中点的纵坐标为一1,yi yi + y224m12- = 1,解得 m= 2,;直线l的方程为x=- 1y + 1,即2x + y2=0.(2019 佛山模拟)已知直线l过点P(2,0)且与抛物线 E: y2=4x相交于A, B 两点，与y轴交于点C,其中点A在第四象限，O为坐标原点.(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；(2)以AB为直径的圆交直线 OBT点D,求| OB I OD的值.解：(1);A是PC的中点，P(2,0) , C在y轴上，.A点的横坐标为1,又A在第四象限，：A(1 , 2).;直线l的方程为y=2x 4.

8、(2)显然直线l的斜率不为0,x= my 2,设l的方程为x=m什2,A(xsy1),Rx2,y?),联立得方程组2消y = 4x,去 x 得 y2 4my- 8 = 0, 22y1 y2yy = 8, 故 xx2= 4 - 4= 4,D在以AB为直径的圆上，且在直线 OB上，：ND，OD,设OD =入OB =（入 X2,入 y2）,则 AD = OD OA=（入 X2 x1 ,入 y2 y。，AD , OD=（入 X2 x1）入 xz+（ X y2-y 1）入 y2 = 0, 即入2x24入+入2y2+8入=0,易知入W0, :入（x2+ y2） = 4.| OB , I OD = ,x2

9、y2 2x22y2二| 入 |( x2+y2) =4.(2019 广州调研)如图，在直角坐标系 xOy中，椭圆C:与+1( a b 0)的上焦点为 R,椭圆C的离心率为:，且过点 a b2(1)求椭圆C的方程;(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴上)，垂直于l的且| 且| MO=|MA,求直线l的方直线与l交于点M与x轴交于点H,右F1B RH = 0,程.1解：(1)因为椭圆C的离心率为2,c 1所以a=2,即a=2c.又 a2 = b2+c2,所以 b2=3c2,即 b2=4a2,2x2x彳1.4a所以椭圆C的方程为2+ aC的方程中，解得a2=4.所以椭圆C的方程为y+X=1.43(2)由(1)(2)由(1)知，A(0,2),设直线l的斜率为k(kw0)，则直线l的方程为y=kx+2,得(3 k2得(3 k2+4)x2+ 12kx=0.由 x2 y2V/1,-12k设 B(xB, yB),行 Xb= 2,3k十4Km 6k2+8所以yB= ik27r，-12k 6k2 + 8 所以 B3k3, 07 .设Mxm, yM),因为| MO=| MA,所以点M在线段OA勺垂直平分线上,1所以 yM= 1,因为 yM= kxMi+ 2,所以 xm= ,_1即M一口 1.设H(xh,0),又直线HM直于直线l,一, 1 11所以 kM4 一 1 即二一k 1