粘弹性功能梯度界面层裂纹问题的广义剪切松弛模量

1、第 粘弹性功能梯度界面层裂纹问题的广义剪切松弛模量0引言 功能梯度材料（FGM）作为一种新型的多相材料，在许多工程领域都有重要的应用，而断裂力学分析则是其中的一个热点问题。为了方便求解，人们往往将FGM的模量假定为某种函数，比如指数或幂函数形式，研究不同裂纹在不同载荷下的应力场。近年来，学者们发展了一类分层模型有效地实现了FGM模量任意变化时的近似解析求解，该模型是将FGM分成若干子层并采用均匀材料或特定函数表示各子层中模量的梯度变化。在FGM界面方面，Li等根据界面两侧材料力学性能函数及各阶导数是否连续对界面进行了分类，并研究了FGM界面间断性对裂纹应力强度因子的影响。 在高温的环境下FGM

2、会体现蠕变和应力松弛的特性，因此，研究FGM的粘弹性断裂问题具有重要的意义。由于粘弹性FGM的松弛模量随空间和时间变化，这给问题求解带来了一定的困难。Herrmann和Schovanec对粘弹性非均匀材料的型裂纹扩展问题进行了研究，其推导过程较为复杂。为了简化求解，Paulino等提出了FGM的粘弹性对应原理，并对粘弹性FGM反平面和平面裂纹问题进行了研究。应用该原理，李伟杰等和Pan等用有限元方法分别研究了粘弹性FGM单一和多重裂纹问题，Cheng等采用分层模型研究了热粘弹性FGM涂层裂纹问题。 FGM的粘弹性对应原理要求其松弛模量为时间-空间分离的形式。应用该对应原理推导裂纹问题的理论解时

3、，一般情况下FGM的松弛模量采用和空间坐标无关的时间因子，这对于粘弹性FGM板条比较适用。但对于介于两均质材料之间的FGM界面层模型，当两均质材料松弛模量时间因子不同时，为了保证模型中材料模量在任意时刻连续，FGM松弛模量的时间因子应在空间位置上呈现梯度变化，在可推导出控制方程解析解的前提下，这样的时间因子一般难以确定。这里仅Paulino等给出了一种FGM的与空间坐标相关的时间因子，并应用在文献19和20中。遗憾的是，该时间因子只能使两均质材料和FGM界面层的松弛模量在时间上以幂函数形式变化，这样很大程度上限制了FGM的粘弹性对应原理在实际中的应用。为此，本文根据材料的连续性要求，进一步分析

4、该对应原理的适用条件，给出FGM界面层一种广义剪切松弛模量函数。以模型的反平面裂纹问题为例，通过积分变换推导奇异积分方程，并进行数值求解。应用FGM的粘弹性对应原理得到应力强度因子和裂纹张开位移的粘弹性解，并讨论所建模型中多个参数对它们的影响规律。 1粘弹性FGM界面层模型的广义剪切松弛模量 模型如图1所示，（1）和（3）分别表示上下两均质材料，中间FGM界面层内设置平行于x轴，长度为2a的裂纹，裂纹面处承受纯剪切载荷，其中为时间的无量纲函数。 图1功能梯度界面层裂纹 Fig.1Acrackinthefunctionallygradedinterfacialzone 各层材料的剪切松弛模量可写

5、成初始模量和时间因子相乘的形式： （1） 式中上标v代表粘弹性材料，下标13分别表示各层序号，表示空间矢量。 假设各层松弛模量时间因子分别为、和，根据FGM的粘弹性对应原理适用条件，应为空间因子和无量纲函数分离的形式： （2） 根据各层材料松弛模量的连续性要求，FGM两侧界面处时间因子应连续变化，由式（2）得： （3） （4） 由式（3）和（4）得， （5） 式中l表示两均质材料松弛模量时间因子比。显然，为了应用FGM的粘弹性对应原理，两时间因子和的比值应为常数，即l和时间t无关，这也同时说明了该对应原理的局限性。 由式（3）（5）可知，可以根据l确定合适的，进而由式（1）和（2）确定，其中的

6、形式可以任意选择。值得注意的是，FGM界面层对应的弹性材料模量应使控制方程有解析解。 本文在计算时，假设为空间坐标y的指数函数形式，并由式（5）构造，则FGM界面层广义剪切松弛模量为。已有文献中与空间坐标无关的时间因子可看成时的情形，而时间因子可看成，时的特例。 将上述函数形式化简，并由式（1）、（3）和（4）可得，各层材料剪切松弛模量分别为： （6） （7） （8） 其中，。 由式（6）（8）可知，各层材料的剪切松弛模量可以同时在时间上任意变化，这比已有文献中的松弛模量函数有了很大的扩展。因此，本文给出的广义剪切松弛模量更具有一般性。 2反平面裂纹问题的求解 2.1弹性解 以反平面裂纹问题为

7、例，根据FGM的粘弹性对应原理，首先计算应力强度因子和裂纹张开位移的弹性解。这时，各层对应的弹性材料剪切模量分别为： （9） （10） （11） 其中上标e表示弹性材料。 该裂纹问题的边界条件为： （12） （13） （14） （15） （16） 其中式（14）的上标（1）和（2）分别表示FGM界面层内裂纹的上下侧材料。 在反平面剪切状态下，平衡方程为： （17） 弹性材料的本构方程为： ,（18） 将式（18）代入式（17）并作关于坐标x的Fourier变换得： （19） 式中，Fourier变换定义为。 将式（9）（11）代入方程（19）可得其解析解： （20） 其中,，、和均为关于的未知

8、函数。 对式（20）作Fourier反变换并应用本构方程（18）得： （21） （22） 为了得到奇异积分方程，引入位错密度函数： （23） 对有连续性条件： ，（24） 由式（12）（16）以及式（21）（24）可以得到Cauchy奇异积分方程和位移单值条件方程： （25） 其中，为裂纹处材料的初始剪切模量，的具体形式见附录。 弹性材料的型应力强度因子定义为（以裂纹右尖端为例）： （26） 函数在处具有平方奇异性，因此可以将其表示为： （27） 将被标准化处理，并由式（26）可得： （28） 由式（23）和（27）可得，裂纹张开位移为： （29） 根据Erdogan提出的配点法可以求得方程组

9、（25）的数值解，进而得到和。 2.2粘弹性解 由FGM的粘弹性对应原理，型应力强度因子和裂纹张开位移的粘弹性解分别为： （30） （31） 其中，和分别是和的Laplace变换，p是变换参量，表示Laplace反变换。 3结果与分析 计算时，设定、以及，下文图3图7中。函数和分别取为：和，其中和分别是材料（3）的初始和稳态模量，和均为时间常数。另外，将应力强度因子和裂纹张开位移分别无量纲化：，。 3.1应力强度因子 由图2可知，对于裂纹靠近FGM界面层中间位置时（）的情形，在不同条件下，随着l的增大，0时刻的应力强度因子先迅速减小后趋于稳定。当时，对应力强度因子的影响较明显，其中越大，应力强

10、度因子越小。 由图3可知，裂纹位置对应力强度因子的影响显著。其中l较小时，裂纹位置越靠近FGM上端，应力强度因子越小，而l较大时应力强度因子的变化趋势则相反。 图2不同均质材料初始模量比时应力强度因子随l的变化 Fig.2Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentinitialrelaxationmodulusratesofhomogeneousmaterials 图3不同裂纹位置时应力强度因子随l的变化 Fig.3Variationsofstressintensityfactorswithlfordifferentcrackloca

11、tions 图4应力强度因子随时间的变化 Fig.4Variationsofstressintensityfactorswith 由图4可以看出，随着时间的推移，不同l影响下应力强度因子始终保持一定的差距，并且按加载函数（指数）形式减小。当时，三种情况下的应力强度因子均减小到0.6以下。 由以上各图可知，在不同的以及裂纹位置影响下，l对应力强度因子的影响规律也不同。由式（7）可知，FGM等效非均匀性参数和成正比，即l是通过影响进而影响应力强度因子。注意到图3中三条曲线在处近似交于一点，因为这时，三种情况下裂纹都可看成置于均质无限长的板条之中，仅位置有所不同，此时应力强度因子差别很小。由以上分析

12、可知，在和裂纹位置一定的情况下，可以通过控制FGM两侧均质材料的松弛模量时间因子比值来减小裂纹的应力强度因子，从而提高材料的抗断裂能力。由图5所示，初始时刻裂纹张开位移沿x轴呈对称分布，其中在处位移最大，l越小，裂纹张开位移越大。考虑到l是通过影响进而影响裂纹张开位移，因此，在模型中选择合适的l值可以减小裂纹张开位移，延长材料的使用寿命。 图5裂纹张开位移随坐标x的变化 Fig.5Variationsofcrackopeningdisplacementswiththecoordinatex 图6最大裂纹张开位移随l的变化 Fig.6Variationsofthemaxcrackopeningd

13、isplacementwithl 图6显示的是在初始时刻，最大裂纹张开位移随l的变化。对于不同的裂纹位置，随着l的增大，裂纹张开位移迅速减小后趋于稳定，当时变化很明显。和图3中应力强度因子的变化曲线相似，裂纹张开位移的三条曲线在处也近似交于一点。但是，这三条曲线差别很小，说明裂纹位置对裂纹张开位移的影响不大。 图7最大裂纹张开位移随时间的变化 Fig.7Variationsofthemaxcrackopeningdisplacementwith 图7所示的是在不同的影响下最大裂纹张开位移随时间的变化。材料的稳态模量和初始模量比值越大，裂纹张开位移越小。由于材料本身具有粘弹性，裂纹张开位移首先是

14、增大趋势，随着时间的推移，裂纹张开位移因为载荷的减小而迅速减小。 4结论 （1）本文研究了介于两粘弹性均质材料之间的粘弹性FGM界面层反平面裂纹问题，通过引入两均质材料松弛模量时间因子比l，给出了FGM界面层一种广义剪切松弛模量，这比已有文献中的松弛模量更具有一般性。 （2）由Fourier变换推导了反平面裂纹问题的奇异积分方程，通过数值计算首先得到应力强度因子和裂纹张开位移的弹性解，再根据FGM的粘弹性对应原理和Laplace变换得到粘弹性解。 （3）分析了两均质材料松弛模量时间因子比l、裂纹位置等参数对应力强度因子和裂纹张开位移的影响。发现l通过影响FGM等效非均匀性参数而影响应力强度因子

15、和裂纹张开位移。裂纹位置对应力强度因子有显著影响，而对裂纹张开位移影响不大。 （4）本文给出的广义剪切松弛模量可应用于不同类型的裂纹在平面或轴对称等问题中的求解，这对于FGM的粘弹性对应原理在实际中的应用具有一定的价值。 参考文献1仲政,吴林志,陈伟球.功能梯度材料与结构的若干力学问题研究进展J.力学进展,2022,40(5):528-541.(ZhongZ,WuLZ,ChenWQ.ProgressinthestudyonmechanicsproblemsoffunctionallygradedmaterialsandstructuresJ.AdvancesinMechanics,2022,4

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