数学物理方程学习者的福利课件

1、主讲教师： 田德生 场论与数学物理方程 参考书目同济大学. 高等数学（第六版）. 高等教育出版社谢树艺. 矢量分析与场论. 高等教育出版社王元明. 数学物理方程与特殊函数. 高等教育出版社杨华军. 数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社0 预备知识 I场如果在全部空间或部分空间（某区域）中的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，就称在这个区域确定了该物理量的一个场。数量场矢量场稳定场不稳定场*0 预备知识1场的概念（高数2 P107） 2.场的记法数量场：*0 预备知识矢量场：例1 设点电荷q位于坐标原点，则在其周围一点M(x,y,z)处产生的电场强度为：Th1 如果u=u(x,y,z)在

2、M0点处可微,则u在M0沿任意方向的方向导数都存在, 且有答案:*0 预备知识例2 求 在点M(1,0,1)处沿方向的方向导数.解:先求在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向余弦.*0 预备知识例3 求u=3x2y-y2在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向导数.曲线y=x2-1的向量形式：*0 预备知识例4 求u=xy2+yz3在点M(2,-1,1)处的梯度和沿梯度方向的方向导数.答案:例5 求a,b,c, 使函数u=axy2+byz+cy2z3在点M(1,2,-1)处平行于z轴方向的方向导数取得最大值32.答案:a=3,b=12,c=-4,或a=-3,b=-

3、12,c=4 III矢量场的散度与旋度1散度*0 预备知识矢量场A=(P,Q,R)在点M(x,y,z)的散度定义为例6 在例1中，电位移矢量, 求divD.答案：02 旋度*0 预备知识矢量场A=(P,Q,R)在点M(x,y,z)的旋度定义为复习向量乘积（数量积，向量积）Th2 对于单连通域中的矢量场A为无旋场的充要条件为：A为有势场.定义 若 ，就称A为无旋场. IV 其他1 Green公式，Gauss公式*0 预备知识3 Fourier级数（高数2）2 一阶二阶线性微分方程求解（高数1）三角函数系的正交性，Fourier级数的系数如何确定，Fourier级数的存在定理数学物理方程与特殊函数

4、 课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。第一章 概论1.1 基本概念微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程*1.1.1 微分方程简介例如都是偏微分方程,1 基本概念偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最高阶数是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程.例:1 基本概念线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都

5、仅依赖于自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程例是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程1 基本概念例1.1.1 求函数u=u(x,y), 满足ux=y.解 对方程两边求x的积分，得u=xy+f(y)这里f为任意可微函数.这个函数就是方程的通解.1 基本概念例1.1.2 求方程uxy=2的通解.解 对方程两边依次求y,x的积分，得u=2xy+h(x)+g(y)这就是方程的通解, 其中f,g为任意可微函数.1.1.2定解条件与定解问题特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的约束条件-定解条件 用以说明初始状态的条件称为“初始条件”；用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件”

6、。偏微分方程特定条件描述物理现象：初始条件弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分别表示弦的初位移和初速度，则初始条件可以表达为初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时间无关，所以不提初始条件。边界条件边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一般把边界条件分为三类。设 u 是未知函数，S 为边界，则分类如下：第一类边界条件

7、：直接给出 u 在边界 S 上的值第二类边界条件：给出 u 沿 S 的外法线方向的方向导数 第三类边界条件：给出 u 以及 的线性组合在边界的值，即1.1.3 定解问题的适定性 一个定解问题的解如果满足解的存在性、唯一性和稳定性，则称这个定解问题是适定的。 定解问题的适定性(Well-posedness)包含以下几个方面：1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的解； 1.1.4线性方程的叠加原理两

8、个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）称形如的符号为微分算子。二阶偏微分方程可简写为定解条件可简写为例 非齐次波动方程的Cauchy问题的解等于问题(I)和问题(II)的解之和叠加原理2 若iu满足线性方程 iifuL=，, 2,1=i （或定解条件iiguB=, 若函数级数=1iiiuc在W内收收，并且L,B可逐项作用, 则和函数 满足方程 =1iiifcuL（或定解条件=1iiigcuB）。 1.2数学模型的建立根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题导出数学物理方程的一般方法：

9、确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 例1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) x1x2T(x1) T(x2)ux （2）微小振动1.2.1波动问题（3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数；建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。

10、牛顿运动定律横向：纵向：其中：由横向受力其中：其中：一维波动方程令：-非齐次方程自由项-齐次方程忽略重力作用：注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则弦的强迫振动方程为例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t)R 每一回路单位的串联电阻,L 每一回路单位的串联电感，C 每单位长度的分路电容，G 每单位长度的分路电导，Kirchhoff 第一,二定律微分形式两端对x微分两端对t微分*C相减 传输线方程高频传输，G=0, R=0高频传输线方程与一维波动方 程 类 似

11、 例3. 声学方程 Lapalce算子三维波动方程 注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为1.2 基本方程的建立 如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。 考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。热场 例 4. 热传导方程1.2.2 输运问题热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过

12、一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.从时刻 到时刻 经过曲面S 流入区域V 的热量为高斯公式流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为比热密度由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守恒定律可得第一章 典型方程和定解条件的推导由于时间 , 和区域 V 都是任意选取的,并且被积函数连续, 于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体， k为常数，记则得齐次热传导方程:三维热传导方程*若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为其中二维热传导方程 维热传导方程 三维热传导方程 在

13、上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的侧面绝热, 可以得到二维热传导方程 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.1.1 基本方程的建立 例5 静电场的势方程 在区域 内, 静电场强度为 , 介电常数 , 电荷密度为 ,求静电场的势满足的方程即1.2.3稳定场问题奥氏公

14、式故故即 Laplace方程 Poisson方程当内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有波动方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布, 静电场的电位, 流体的势.总 结：1.2 基本方程的建立一维齐次波方程：一维齐次热方程：二维Laplace方程：1.1 基本方程的建立1.2.4 三类问题的定解条件初始位移、初始速度分别为 ,称波动方程的初值条件.1 波动问题(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其

15、为：或：当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时，有*(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。或波动方程的混合问题2 热传导方程的定解问题热传导方程的初值条件热传导方程的边界条件如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S 上有 ，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为*第三类边界条件 狄氏问题诺伊曼问题罗宾问题3 稳定场问题的定解条件1.3 方程的分类及特征的概念一般线性二阶偏微分方程（n个

16、自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类 一般形式其中u(x,y)是未知函数，都是x,y的已知函数，且 不同时为零。称 为方程的判别式。定义:(1)若在(x0,y0) 处 称方程（1）在点 (x0,y0)处为 双曲型方程； (2)若在(x0,y0)处 称方程（1）在点(x0,y0)处为 抛物型方程； (3)若在(x0,y0)处 称方程（1）在点(x0,y0) 处为 椭圆型方程。例：波动方程 双曲型 热传导方程 抛物型 位势方程 椭圆型二、方程的标准形式定义：方程 分别称为 双曲型方程的第一标准形和第二标准形。 方程 称为抛物型方程的标准形。 方程 称

17、为椭圆型方程的标准形。三、方程的化简第一步：写出判别式 ，根据判别式判断方程的类型；第二步：根据方程（1）写如下方程 称为方程（1）的特征方程。方程（2）可分解为两个一次方程 称为特征方程，其解为特征线。设这两个特征线方程的特征线为令 第三步(1)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。 (2)当 时，特征线 令 其中 是与 线性无关的任意函数，这样以 为新变量方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(3)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。例1.3 确定方程3uxx+10uxy+3uyy=0的类型，并化为标准形式解 方程的判别式160, 故方程为双曲型. 特征方程为: 解得特征曲