初中数学《圆周角定理及点圆关系》讲义及练习

1、第十讲圆周角理及点与圆 关系中考要求内容 圆的有关概念基本要求理解圆及其有关概念略高要求会过不在同一直线上的三点作圆 利用圆的有关概念解决简单问题较高要求圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心 能用弧弦圆心角的关系解决简单 角的关系 问题能运用圆的性质解 决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系解直 径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数用周角的知 识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题知识点睛一、圆周角定理圆角圆角 圆角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为 等，每一份的弧对应1角，我们 也称这样的弧为1圆心角的度数和它所对的弧的度数等 圆周：顶点圆上，并且两边

2、都和圆相交的角叫做圆周角 圆周定理：条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 ：同弧或等弧所对的圆周相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论 ：半圆或直)对的圆周角是直角， 90周所对的弦是直径推论 ：如果三角形一边上的中等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 圆角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的 弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 么它们所对应的其余各组量分别相等圆是平面几何中的一个重要内容由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经 出现在数

3、学竞赛中圆的基本性质有： 直所对的圆周角是直角 同所对的圆周角相等 经圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组都相等。三、点与圆的位置关系点圆位关点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距与半径的 大小关系决定设 的径为 r ， 到心 O 的离为 ，则有：点在圆外 ；在圆上 ；点在圆内 .如下表所示：位置关系点在圆外r图形O定义点在圆的外部性质及判定 r 点 在 的.点在圆上rO点在圆周上d 点 在O 的外.点在圆内rO点在圆的内部 点 在 O

4、外确圆条. 圆确确定一个圆有两个基本条件心(定点，确定圆的位置半定，确定圆的大小只有当圆心和 半径都确定时，圆才能确定. 过知作经过点 A 的：以点 A 外的任意一点 O 为圆心，以 的长为半径，即可作出过点 A 圆，这样的圆 有无数个经过两点 、B 的以线段 AB 中垂线上任意一 O 为圆心以 OA 的为半径可作出过点 的圆，这样的圆也有无数个过三点的圆这点 、 共时三点的圆不存在 、C 三不共线时心线 AB 与 的垂线的交点，而这个交点 O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个过 ：只可以作 0 个 1 个当只可作一个时，其圆心是其中不线三点确定的圆的圆 心. 定：在同一直线上的三点确定一个圆

5、注意：不同一直线上这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；确定”一词的含义”有且”即唯一存”. 三形外圆经过三角形三个顶点的圆叫做角形的外接圆接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点做 三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的离相等； 三角形的外接圆有且只有一个即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三形却有无 数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它内部三形外接圆的圆心在斜边中点(即直角三角形外接圆半径 等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它外.

6、四、相交弦定理（选讲）相弦理圆的两条相交弦被交点成的两条线段长的乘积相等如图，弦 AB 和 CD 交 内点 ， PA COD相弦理推：果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项重、难点教重：周角的概念和圆周角定理教难：周角定理的证明中由一般到特的数学思想方法和完全归纳法的数学思想例题精讲一、圆周角定理【】 (08 山西原)如，AB是O 的直径是O 的，接AC， ，的数 CAODB【解析】直所对圆周角是 90同弧所对圆周角相等 所以得 【固 (08 龙岩 ) 如，角外上 B 两点，们度分是 的度为 _ 如， 的三个点在 O 上 30 2cm ， 的半为_ cm 11【解析

7、】 702 连 OA ， B C O C 60又 OA OB ， 为等边三角形， ， 的径为 【固 已 O 的 AB 长等圆半，该所的周 ( 06 年徽改)如图示在 中， ，则O 的径( )A.2 B.4 C.2 3 D.5A OCB【解析】 连 OA 、 ，弦 AB 对的圆周角为 ACB OA OB 是边三角形 60当点 在 上(弧上)， 1ACB ) (360 1当点 C 在 时(优弧上)， ACB AOB 302故该弦所对的圆周角为 如图所示连接 A 、 OB ，因为 45AOB 所以半径为 2 2 【】 ( 年威中题)如图 AB 是 O 的径点 ， D ， 都 上若 D E ，求 A

8、B ABODED【解析】连 、 BC 是 直径 ACB 90 CAB 又 D CBA ， 又 DCE ， 45 EBA ECA DCE 即 135【固 (08 年济改 ) 如图四形 ABCD 中， AC AD ， CAD 则 CBD ， BAC _D【解析】以 A 为心， AB 为径作辅助圆则 D 均 上1 2【】 如，AB 为 的直， 是 的，CD 的延线于点 E 若 AB DE 求 的度AO BEAO EDDCC【解析】连 是径， AB DE ，1 DE AB 2 36 OC OD ， OCD ODC OCD 【固如所 CD 是 O 的直， EOD 交O 于 ，且 AB OC ， 的度ED

9、BO C AD C A【解析】连 AB ， OB ， OB 设 ， BOA OBE x OE OB ， OEA OBE x EOD 87 x 29 【固如，知 AB 为O 的直， E DBC 50则 CBE DB A 【解析】连 ACxx，所x因为 AB 为径，所 90，则CBACAB90又 ， x(x20)90 xCBE60所以答案是 60【】 ( 庆已知如： 为 的直， ， 交 O 于点 D ， AC 交 O 点 E ， 45出以五结： BD ； EC ；弧 是 劣 DE 的 2 ； 中确论序是 O D 【解析】由意可知 EBC BAC 22.5确，连接 可 90等三角形三线合一的性质可知

10、 DC ，正确；ABE ，由弧度数和它所对的圆心角是相等的，可知 AE DE ，正确， 确结论的序号是【】 如 是半 的直点 、D 在 AB 上 平 CAB 已知 AC 求 的CDCDAO【解析】延 交 的延长线于 E ，B 是半圆的直径， AD 平 则可得 AE AB ， ED ， CE AE AC ACB BC ，在 中 BE CE ， 5 ， AD AB 5 【】 ( 乌木如图所的圆， 是直径且 AD AC ，则 B 的值_CB 【解析】53【】 河)如下左，个长 的正形成个正形 BO 小方顶， O 的半为1 ， 是O 上点且于上的正形， 等_PDAOCB B( 四川都 ) 上图 ABC

11、 接于 ， BC ABC ， AD 为 O 的直， AD ，么 _( 山东安 的径 1 ， 是 O 的条弦且 AB 3 ，则 AB 所对周的数 为【解析】 3 3 ； 1【 1 (07 年枣中题如 内接 O BAC AB AC ，BD 为 O 的直径AD ， 则 BC DDOBA【解析】连 CD .证明 ABD .【】 如，过 的直 AB 上两 M N ，别弦 EF 若 CD EF 证 BEC ADF ； AM EAMBDF【解析】 BF ， BF AB 是径 ADB ， ADB BF ， BEC ADF 由可知 FBN ， CD EF ， DMB ，又 AC ， BFN ， AM 【】 如，

12、点 B、 是 O 上的三， 求： AC 平分 ； 过 作 于 ， AC 点 P 若 AB AOE 求 PE 长【解析】 AB ， ， OA OC ， OAC ， 平 OAB 1 OE ， AE ，2在 AOE 中， 90 30 AO AE 2 OE 3 以下可以用两种不同方法解答：BP AAE PE 解法一 OC OP 21 3 PE OE 3 3解法二：由得 AC 平分 OAB ，OA ，AE 1 3 PE OE 3 3【10】如， 是 O 的直， CD ， COD 则PCAB 2 _ AD ADOFBAD BE 如 是O 的直弦 交 OA 点 D PE 交 OB 于 F 且 OC OF ，

13、则 CPE _ 已：图，MN 是 的直， 是圆一三分， B 是 的点 是 上动， 的半为1 ，则 的小是_AABBO NMOPNB【解析】 1 40 B 点于 的称点 B AB 交点 ，易证得，此时 PA 取最小值根据圆的对称性， B 上且 B ，1 是半圆的三分点 MAN ， 6031 AN 的点， BON AON 302 半为1 ， OA 2OA 2 ， 最小值为 2 【固(09 浙江州)如图 是 O 的直 如 1，直 的条 B C C 把周 等分则 的数B 的 度是_； 如 2，垂于 的条 C 把周 6 分分求B 的度； 如 3，垂直 的 条弦 B C C 把圆 分请你含 的代数 表 B

14、 的度(只直写答)2 2 B1AC1B1AC1B2B1AC1C2O 2OC2B3Bn-2OCC3n-2B2DC2B3DC3Bn-1BnDCnC图1【解析】 22.5 周被 6 分，图2图3 B 360 直径 B C ， 1 AC B C 1 21 2 360 B 2 2n (或360 45 8n )【11】知图 的外角平线 CB 交其外圆 ，接 BA 、 BD ，求： BA D【解析】 BCN ，又 ACB ； BCN BAD ， BAD ， BA 【固已如， 的外平线 交外圆 ，接 、 BD ， 作 BM AC 于 M BN N ，下结中定确的 CM ； MBN ABD AM DN ； BN

15、 为 O 的线OM【解析】可得 BCN CN ，确；D四边形 BMCN 的角和为 360 MCN 180 又 MCN MBN ， ABD ， ABD ，正确；利用外角平分线易证 BD ， BM ， AMB DNB ， ABM DBN ， ，故正确；若 BN 为 的线，则 NBC BAC ， 90 BCN ， 为O 直径而 不定为 O 直径，不正确【固( 辽宁)已 中， AB ， D 是 外圆弧 AC 上点不点 A C 重合，延 BD 至 求： 的长平 ； 若 30 BC 边上高 2 3 ， 外圆面D DF 【解析】 如，设 F 为 延线一点H D 在 ABC 外接圆( BC 四共圆) 又 AB

16、 ABC ，且 ADB ， ADB 对顶角 EDF ADB ，故 CDF 即 AD 延长线平分 CDE 设 为接圆圆心，连接 交 于 ， AH BC 连接 OC ，由题意 OCA 60设圆半径为 r ， r 32r 3 ，得 r ，接圆的面积为 4二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【12】图示 O 中， CD ，那 ) CD B. CDD. AB 与 2CD 的小系能定CD【解析】如所示，作 DE CD ， CD ， 中 CE ， 2CD ， AB CD ， CE AB CE ， AB 故选 A D【13】知 AC 是 O 的， 平 BAC 交 于 D ，弦 DE 交 AC 于 P ，求：

17、平 分 ABFDEPD C【解析】过 O 点别作 OF AC OG DE ，足分别为 AB ， ， 平分 BAC ， BAD CAD ， CAD CD ， AE EC EC ， AC DE ， AC DE ， OF ， O 在 的平分线上，即 OP 平 【固已，图 N 为 中弧 AB 三分， F 为 的三分，接 ME 并延， 交线 MF 于点 P ，连 O 于 C D 两，证 APB PDOAE FBFM NQM N【解析】连 AN ， ，连接 MN 并长，交 PA 的长线于 Q N 等分 ， AM ，故 ，由 EF ，证得 QM MN ，由 MN 得 AM ， MA MQ ， QAN 为直角

18、， CAN 为 直径，故 O 在 上 AON ACN MON ACN ， OM AP ，同理可证： ON AB于是可证得： MON ， ， AOB 【14】(2008 年广市学考题如图，线 交一于 C ，射线 交该圆点 D 、 ， 且 BC 求： AE 分作段 CE 垂平线 的分，线于 证 EF 分 DQMF【解析】 作 OP ， AN 由 ， OP ，证 APO AQO ，得 ，由 BC CD ， AC AE AC AE ， ， MCE ， 在段 中垂线上， FE ， FCE ，1 FCE MEC ，2 NEC ， EF 平 CEN 三点圆位关【15】个知到周的的大离 最距为1 ，则圆半为_

19、 【解析】 当在圆外时， r 2cm ， 当在圆内时， r 5 2 【16】知四形 ABCD 中， ， AD ， 135 ， CD 40 ，以 A 为 心 长半作证在 上在 A ， A 外都线 DC 上的. B【解析】如所示，作 AE 于 E ABCD 是腰梯， ， 135 AB 20 ， CD AD 2 20 ， AC D 点 A 内 C 点 A 外圆内一点与圆外一点的连线，必与圆有一交点，所以 上 A 内， 外有线段 上点【17】 平直坐系，原 O 为心 5 为径作 ，知 ， B ， 三的坐分为 A ， B C 三点 O 位置关.【解析】 OA ( 2 OC 4 26 A 在 上点 在 内

20、点 C 在 O 外【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关.【18】 ABC 中， 90 AC ， 以 为圆，以 r 半作，回下列题 并明由 当 r 取值， C 上，点 在C 内？ 当 r 在么围取时点 A C 外部，点 B 在 的内部 是存这样实 r ，使点 B 在 C 上且 A 在C 内？BCA【解析】如图所示在 中， AC ， AB ，根据勾股定理得：BC AB 5 当 r 时，点 A 在 上，且点 B 在 内.因为 AC r ，所以点 A C 上 ，所以 在 内 当 r 时 A 在 的部点 在 C 的内由于 BC 使 B 在 内部， 必须 C 的径 r ；

21、由于 ，要使点 A C 的外部，必须 C 的径 r . 综合上述两方面可知， 3 不在这样的实数 r ，使得点 在 上且点 在 内部因为 ，使 B 在 C 上必须 r ，时由于 AC ，所以点 A 在 的 部，点 A 不在 的部，所以这样的实数 r 不.【19】知 ， C BC ， 的点 M ， 以 为圆心， 2 半作 ，则 ， M 与 的位关如？ 若 C 为心 使 ， ， 三点少一在C 内且少一在C 外 半 r 的值围 M B【解析】如图所示 AC 且 C 的径也为 2 ， AC r 点 A 在 C 又 ， ， BC r点 B 在 外在 中 BC 2 M 为 AB 中点 MC 1 2 2点

22、在 C 内 AC ， ， MC 132 BC MC要使 A ， B ， M 三点中至少有一点在 C 内，且至少有一点在 外则 C 的径 r 的 13取值范围是 r .2【点评 要定点 A ， B ， M C 的置关系，只要比较 ， ， MC 的度与 的径的大 小关系即可； 由求得 ， 的长度即可确定C 的径 r 的取值范围.【20】 ABC 中， AC ， BC ，其接圆半OD【解析】作 ，设点 O 是 ABC 的心，则点 O 在 AD 上连结 AB ， AD BC ， BD 12BC 在 ， AD AB 设 O 的径为 ， OB AO R ， OD .在 Rt OBD 中 OB R(8 )2

23、5 ，解得 R 4外接圆的半径为 【点评】运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角底边的中 垂线上四相弦理选）相弦理圆的两条相交弦被交点成的两条线段长的乘积相等如图，弦 AB 和 CD 交 内点 ， PA COD相弦理推：果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 【21】 如下图在 O 中， 与 交点 P ，已 4cm 2cm ，那么PD 如中，在 O 中，弦 与径 相交点 M ， OM MC ，若 BM ， 则 的为( )A 2 6 6 C D 2 如右，在 O 中 为 上一， PC ， PC 交 于 C ，么 )A PA B PA

24、 C PB D CDOMACC 【解析】 6 ；B【22】图圆半是 ， C 点圆点 B 在圆， AB ，BC ， 点 到心距AAOOEBCFBC【解析】连 ，线 OB 的就是所求点 到圆心的距离D连结 ，延长 AB 交 于 D ， 点 AD ，延长 交 O 于 F 设 BD ，相交弦定理可得 AB BC ，AB 则 ，BC1 OE AD ， AE x ，2 2 2 1OE CF BC 3 2，在 Rt 中 AEO 90 OEOA，1 即 x 50 ，得 4 1 13 BE ， 2 2 【23】图正方 ABCD 内于 O 点 在劣 上连结 交 AC 于点 若 QP 则 的为_D CD COQAB

25、 【解析】连 DO ， O 半径为 r ， QO ， r 在 O 中根相交弦定理得 QP ，即 QD 由勾股定理得 DO QO ，r ，即 rm，解得 33r r m 3 3 r 3 家庭作业【题1 (2007 浙温 如图，已 ACB 是 的圆角 ACB ，圆角 A40B50C80100【解析】考同弧所对圆心角圆周角关系答案选D 【题2如，圆 折后圆恰经圆心则 AmB 等 A 90C D 【解析】答选 C【题3 ( 四 川 ) 是 接 知 ABO ， 则 的 _AOB【解析】 C【题4 (09 四川南充)如， AB O 的直， C、D 在 上 BOC AD ，则 DAB【解析】 【题5如两弦等那 )A这条弦对弧等B两弦对圆角等C这条弦弦距等 D上案不【解析】考圆心角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中所以选 D【题6如，AB 为O 的径 交 于 E 点，BC 交O 于 D 点，=，C 现出下个论A；AB； AE ； CE BD其正结的号 ACDCD【解析】考利用圆中角可推出等弧，等弦，相似答案选 【题7如，角外边有，三，们表的数别 ， ，则的小 )AC30D2040【解析】考同弧所对圆心角是圆周角的 答选 【题8 (首大中 2008- 初三考)定：点 A 与O 上任一之的