模糊数学建模方法市公开课获奖课件

1、模糊数学建模办法重庆邮电大学数理学院沈世云shens1页第1页第 1 章模糊集基本概念第2页第2页第一节 模糊数学概述1.模糊数学产生至今，数学发展已经历三代：（1）第一代数学：典型数学，研究和处理准确必定现象；（2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；（3）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物模糊性。它们都是不拟定数学，是准确（拟定）数学延伸和发展。 Fuzzy Maths ，专门用来处理和研究模糊性事物一个新数学办法。1965年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)专家发表Fuzzy Sets一文，标志其诞生。第3页第3页2.模糊数学概念处理现实

2、对象数学模型拟定性数学模型:拟定性或固定性,对象间有必定联系.随机性数学模型:对象含有或然性或随机性模糊性数学模型:对象及其关系均含有模糊性.随机性与模糊性区别随机性:指事件出现某种结果机会.模糊性:指存在于现实中不分明现象.模糊数学:研究模糊现象定量处理办法.第4页第4页用数学眼光看世界，可把我们身边现象划分为：1）.拟定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象规律性靠典型数学去刻画； 2）.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象规律性靠概率统计去刻画;3）.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大水分？靠模糊数学去刻画。 第5页第5页3.模糊数学任

3、务（1）给数学“禁区”各门学科，如社会、人文学科等提供新语言和工具；（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行辨认和判断，提升自动化水平，使电脑更“聪明”。第6页第6页4.事物模糊性？ 指客观事物在中介过渡时所呈现“亦此亦彼性”。(1)清楚事物每个概念内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念全体）都必须是清楚、不变，每个概念非真即假，有一条截然分明界线，如男、女。(2)模糊性事物由于人未结识，或有所结识但信息不够丰富，使其模糊性不可忽略。它是一个没有绝对明确外延事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等结识就是模糊。第7页第7页“事物复杂性与准确性矛盾是当代科学一个基本

4、矛盾”，由此促使着模糊数学产生和发展。“模糊”并非坏事，在有些情况下它比准确更故意义，会带来更加好效果，如模糊描述人特性，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，事实上包括了难得模糊哲理。第8页第8页 模糊数学是研究和处理模糊性现象数学办法. 众所周知，典型数学是以准确性为特性. 然而，与准确形相悖模糊性并不完全是消极、没有价值. 甚至能够这样说，有时模糊性比准确性还要好. 比如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜中年男人”. 尽管这里只提供了一个准确信息男人，而其它信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念通过头脑综合分

5、析判断，就能够接到这个人. 模糊数学在实际中应用几乎涉及到国民经济各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学广泛而又成功应用.第9页第9页数学建模与模糊数学相关问题模糊数学研究和处理模糊性现象数学 （概念与其对立面之间没有一条明确分界线）与模糊数学相关问题（一）模糊分类问题已知若干个互相之间不分明模糊概念，需要判断某个拟定事物用哪一个模糊概念来反应更合理准确模糊相同选择 按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见问题，但是用来比较性质含有边界不分明模糊性第10页第10页数学建模与模糊数学相关问题模糊聚类分析依据研究对象本身属性结构模糊矩阵，在此基础上依据一

6、定从属度来确定其分类关系 模糊层次分析法两两比较指标确实定模糊综合评判综合评判就是对受到多个原因制约事物或对象作出一个总评价，如产品质量评定、科技结果鉴定、某种作物种植适应性评价等，都属于综合评判问题。因为从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采取模糊数学方法进行综合评判将使结果尽也许客观从而取得更加好实际效果 第11页第11页参考书目1. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社2. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社第12页第12页第二节 模糊子集及其运算典型集合 典型集合含有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于

7、集合(记作xA)，两者必居其一. 集合表示法： (1)枚举法，A=x1 , x2 , xn； (2)描述法，A=x | P(x). AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B AB且 AB.第13页第13页 集合A所有子集所构成集合称为A幂集，记为(A).并集AB = x | xA或xB ；交集AB = x | xA且xB ；余集Ac = x | xA .集合运算规律 幂等律： AA = A， AA = A； 互换律： AB = BA， AB = BA； 结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸取律： A( AB ) = A，A( AB

8、 ) = A；第14页第14页分派律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；0-1律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；还原律： (Ac)c = A ；对偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律： AAc = U， AAc = ；U 为全集， 为空集.集合直积： X Y = (x , y )| xX , y Y .第15页第15页 模糊子集及其运算模糊子集与从属函数 设U是论域，称映射A(x)：U0,1拟定了一个U上模糊子集A，映射A(x)称为A从属函数，它表示x对A从属程度. 使A

9、(x) = 0.5点x称为A过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是典型子集，而A(x)就是它特性函数. 可见典型子集就是模糊子集特殊情形.第16页第16页 例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人身高，那么U上一个模糊集“高个子”(A)从属函数A(x)可定义为也可用Zadeh表示法：第17页第17页还可用向量表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，还能够在U上建立一个“矮个子”、“中档个子”、“年轻人”、“中年人”

10、等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域能够有无限个模糊子集,而典型子集是有限； (2) 一个模糊子集从属函数确实定办法是主观. 从属函数是模糊数学中最主要概念之一，模糊数学办法是在客观基础上，尤其强调主观办法.第18页第18页 如：考虑年龄集U=0,100，A=“年老”，A也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？查德给出了 “年老” 集函数刻画:10U50100第19页第19页再如，B= “年轻”也是U一个子集，只是不同年纪段从属于这一集合程度不同，查德给出它从属函数： 102550UB（u）第20页第20页模糊集运算相等：A = B A(x) = B(x)；包括：AB A(x

11、)B(x)；并：AB从属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交：AB从属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac从属函数为Ac (x) = 1- A(x).第21页第21页模糊集并、交、余运算性质 幂等律：AA = A， AA = A；互换律：AB = BA，AB = BA；结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸取律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分派律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；还原律： (Ac)c = A ；第22页第22页

12、对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 对偶律证实：对于任意 xU (论域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x) 模糊集运算性质基本上与典型集合一致，除了排中律以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再含有“非此即彼”特点，这正是模糊性带来本质特性.第23页第23页 例 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设A = (0.8, 0.55,

13、0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见Ac B, Bc A. 又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .第24页第24页第25页第25页一、 模糊截集与强截集1. 定义第三节 模糊集基本定理第26页第26页 模糊集-截集A是一个典型集合，由从属度不小于组员构成. 例：论域U=u1, u2, u3,

14、u4 , u5 , u6(学生集)，他们成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好学生”从属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则A0.9 (90分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.第27页第27页2.性质性质1第28页第28页性质1第29页第29页性质2第30页第30页性质3 性质4 第31页第31页性质 5第32页第32页例1解性质6第33页第33页定义2性质7当 时, 称 为正规模糊集. 第34页第34页第35页第35页 下面将要简介分解定理就是反应这一事实. 先来学习数积概

15、念与性质.从前面简介性质能够看出当 从1逐步下降趋于0，而不达到0时， 是从 核Ker 逐步扩展为 支集Supp . 因此，我们能够将模糊集 看作是其边界在Ker 和Supp 之间游移,即将模糊集 看作是普通集合族 总体. 第36页第36页1. 数积概念与性质其从属函数为二、分解定理定义第37页第37页第38页第38页定理1 （分解定理I）证实2. 分解定理第39页第39页第40页第40页定理2 （分解定理II）第41页第41页定理3（分解定理III）第42页第42页第43页第43页第四节、 从属函数拟定 模糊数学基本思想是从属度思想。 应用模糊数学办法建立数学模型关键是建立符合实际从属函数。

16、如何拟定一个模糊集从属函数至今还是尚未处理问题。这里仅仅简介几种惯用确实定从属函数办法。1. 模糊统计办法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计随机事件A是固定不变，样本空间中样本点数十变动，而模糊统计试验中，x是固定不变，而模糊集A*是可变。2. 指派办法 一个主观办法依据实践经验来拟定，普通给出从属函数解析表示式。3. 借用已有“客观”尺度依据问题实际意义来拟定，在经济管理，社会管理中惯用。如U表示产品，定义A模糊集“质量稳定”，可用产品“正品率”作为A从属度。第44页第44页惯用从属函数有Z函数（偏小型）、函数（中间型）、S函数（偏大型）.偏小型普通适合于描述像“小，少，浅，淡，青年”

17、等偏小程度模糊现象。偏大型普通适合于描述像“大，多，深，浓，老年”等偏大程度模糊现象。中间型普通适合于描述像“中，适中，不太多，不太浓，暖和，中年”等处于中间状态模糊现象。第45页第45页惯用从属函数有偏小型、中间型、偏大型. 偏小型： 偏大型： 中间型： 梯形分布：第46页第46页偏小型： 偏大型： 中间型： 分布 第47页第47页偏小型： 偏大型： 中间型： 正态分布 第48页第48页 以人年龄作为论域X,模糊集 表示“年老”, 表示“年轻” ，不妨设 X = 0,150. Zadeh 给出它们从属函数分别下列： 例1Oldyoung第49页第49页trig(x;20,60,80)trap

18、(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)第50页第50页cc-ac+a斜率=-b/2a从属函数参数化举例：以钟形函数为例，a,b,c,几何意义如图所表示。改变a,b,c,即可改变从属函数形状。第51页第51页第52页第52页第 二 章模糊模式辨认第53页第53页第一节 模糊模型辨认模型辨认 已知某类事物若干原则模型，既有这类事物中一个详细对象，问把它归到哪一模型，这就是模型辨认. 模型辨认在实际问题中是普遍存在.比如，学生到野外采集到一个植物标本，要辨认它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要辨认邮政编码等等，这些都是模型辨认.模糊模型辨认

19、所谓模糊模型辨认,是指在模型辨认中,模型是模糊.也就是说,原则模型库中提供模型是模糊.第54页第54页模型辨认原理 为了能辨认待判断对象x = (x1, x2, xn)T是属于已知类A1, A2, Am中哪一类？ 事先必须要有一个普通规则, 一旦知道了x值, 便能依据这个规则马上作出判断, 称这样一个规则为判别规则. 判别规则往往通过某个函数来表示, 我们把它称为判别函数, 记作W(i; x). 一旦知道了判别函数并拟定了判别规则，最好将已知类别对象代入检查，这一过程称为回代检查，以便检查你判别函数和判别规则是否正确.第55页第55页第二节 最大从属原则模糊向量内积与外积 定义 称向量a =

20、(a1, a2, , an)是模糊向量, 其中0ai1. 若ai 只取0或1, 则称a = (a1, a2, , an)是Boole向量. 设 a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn)都是模糊向量，则定义 内积： a b = (akbk) | 1kn； 外积：ab = (akbk) | 1kn.内积与外积性质(a b )c = a cb c ; (ab ) c = a c b c.第56页第56页模糊向量集合族 设A1, A2, , An是论域X上n个模糊子集,称以模糊集A1, A2, , An为分量模糊向量为模糊向量集合族，记为A = (A1, A2, ,

21、 An). 若X 上n个模糊子集A1, A2, , An从属函数分别为A1(x), A2(x) , , An(x),则定义模糊向量集合族 A = (A1, A2, , An)从属函数为A(x) = A1 (x1), A2 (x2) , , An(xn) 或者A(x) = A1 (x1) + A2 (x2) + + An(xn)/n.其中x = (x1, x2, , xn)为普通向量.第57页第57页最大从属原则 最大从属原则 设论域X =x1, x2, , xn 上有m个模糊子集A1, A2, , Am(即m个模型),构成了一个原则模型库,若对任一x0X,有k1, 2, , m ,使得Ak(x

22、0)=A1(x0), A2(x0), , Am(x0)，则认为x0相对从属于Ak . 最大从属原则 设论域X上有一个原则模型A,待辨认对象有n个：x1, x2, , xnX, 假如有某个xk满足A(xk)=A(x1), A(x2), , A(xn), 则应优先录用xk .第58页第58页 例1 在论域X=0,100分数上建立三个表示学习成绩模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.当一位同窗成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？A(88) =0.8第59页第59页B(88) =0.7第60页第60页A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 依据最大从属原则,88分

23、这个成绩应从属于A,即为“优”. 例2 论域 X = x1(71), x2(74), x3(78)表示三个学生成绩,那一位学生成绩最差？C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,依据最大从属原则， x1(71)最差.第61页第61页例3 细胞染色体形状模糊辨认 细胞染色体形状模糊辨认就是几何图形模糊辨认,而几何图形经常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 原则模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形). 某人在试验中观测到一染色体几何形状，测得其

24、三个内角分别为94,50,36,即待辨认对象为x0=(94,50,36).问x0应从属于哪一个三角形？第62页第62页先建立原则模型库中各种三角形从属函数. 直角三角形从属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1. 因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955. 或者其中 p = | A 90| 则R(x0)=0.54.第63页第63页 正三角形从属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件：(1) 当A = B = C

25、 = 60时, E(A,B,C )=1;(2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0;(3) 0E(A,B,C)1. 因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.则E(x0) =0.677. 或者其中 p = A C 则E(x0)=0.02.第64页第64页 等腰三角形从属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1;(2) 当A = 180, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0;(3) 0I(A,B,C )1. 因此，不妨定义I(A,B,C ) = 1 (A B

26、)(B C)/60.则I(x0) =0.766. 或者 p = (A B)(B C)则I(x0)=0.10.第65页第65页等腰直角三角形从属函数(IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.任意三角形从属函数T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,因此x0应从属于直角三角形. 或者(IR)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍然是R(x0)

27、 = 0.54最大,因此x0应从属于直角三角形.第66页第66页阈值原则 设论域X =x1, x2, , xn 上有m个模糊子集A1, A2, , Am(即m个模型),构成了一个原则模型库,若对任一x0X,取定水平0,1. 若存在 i1, i2, , ik,使Aij(x0) ( j =1, 2, , k),则判决为： x0相对从属于 若Ak(x0)| k =1, 2, , m,则判决为：不能辨认,应当找原因另作分析. 该办法也适合用于判别x0是否从属于原则模型Ak.若Ak(x0),则判决为：x0相对从属于Ak; 若Ak(x0),则判决为： x0相对不从属于Ak.第67页第67页第三节 择近原则

28、 设在论域X =x1, x2, , xn上有m个模糊子集A1, A2, , Am(即m个模型),构成了一个原则模型库. 被辨认对象B也是X上一个模糊集,它与原则模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊辨认问题. 先将模糊向量内积与外积概念扩充. 设A(x), B(x)是论域X上两个模糊子集从属函数,定义 内积： A B = A(x) B(x) | xX ； 外积：AB = A(x)B(x) | xX . 第68页第68页内积与外积性质(1) (A B )c = AcBc; (2) (AB )c = Ac Bc;(3) A Ac 1/2; (4) AAc 1/2.证实(1) (A B)c = 1

29、-A(x) B(x) | xX = 1- A(x)1- B(x) | xX = Ac(x)Bc(x) | xX = AcBc.证实(3) A Ac =A(x) 1- A(x) | xX 1/2 | xX 1/2.第69页第69页 下面我们用 (A, B)表示两个模糊集A, B之间贴近程度(简称贴近度),贴近度 (A, B)有一些不同定义.0(A, B) = A B + (1 -AB)/2 (格贴近度)1(A, B) = (A B )(1- AB)择近原则 设在论域X = x1, x2, , xn上有m个模糊子集A1, A2, , Am构成了一个原则模型库,B是待辨认模型.若有k1,2, m,

30、使得 (Ak , B) = (Ai , B) | 1im,则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是择近原则.第70页第70页C =C =故B比A更贴近于.第71页第71页茶叶等级辨认茶叶分为I，II，III，IV，V种，辨认A为哪一个。指标数下列：I=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4）II=（0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2）III=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2）IV=（ 0， 0.1，0.2，0.1，0.1，0.1）V=（ 0， 0.1，0.1，0.1，0.1，0.1） 待辨认茶叶指标数：第72页第72页利用贴近度得 由此可得 A 为

31、 I 型茶叶。， 第73页第73页算法演示算法演示：第74页第74页计算MATLAB程序下列：a=0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1; b=0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6; for i=1:5 x=a(i,:);b; t(i)=min(max(min(x) 1-min(max(x); end t 第75页第75页多个特性择近原则 设在论域X =x1, x2, , xn上有n个模糊子集A

32、1, A2, , An构成了一个原则模型库,每个模型又由个特性来刻划：Ai =(Ai1, Ai2, , Aim), i = 1,2, n, 待辨认模型B=(B1, B2, , Bm). 先求两个模糊向量集合族贴近度：si = (Aij , Bj) | 1jm, i = 1,2, n, 若有k1,2, n,使得 (Ak , B) =si | 1in,则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类. 这就是多个特性择近原则.第76页第76页贴近度改进格贴近度不足之处是普通0(A, A)1.定义 (公理化定义)若 (A, B)满足 (A, A)=1; (A, B)= (B, A); 若ABC, 则 (A,

33、 C) (A, B) (B, C).则称 (A, B)为A与B贴近度. 显然,公理化定义显得自然、合理、直观,避免了格贴近度不足之处,它具有理论价值.但是公理化定义并未提供一个计算贴近度办法,不便于操作. 于是,人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷,但还是乐意采用易于计算格贴近度来解决一些实际问题；另一方面,在实际工作中又给出了许多具体定义.第77页第77页离散型连续型第78页第78页离散型连续型第79页第79页离散型连续型第80页第80页 事实上,择近原则关键就是最大从属原则.如在小麦品种模糊辨认(仅对百粒重考虑)中,可重新定义“早熟”、“矮秆”、“大粒”、“高肥丰产”、“中肥丰产”从属函数.重

34、新定义“早熟”从属函数为重新定义“矮秆”从属函数为第81页第81页例4 大学生体质水平模糊辨认. 陈蓓菲等人在福建农学院对240名男生体质水平按中国学生体质健康调查研究手册上要求,从18项体测指标中选出了反应体质水平4个主要指标(身高、体重、胸围、肺活量),依据聚类分析法,将240名男生分成5类：A1(体质差),A2(体质中下),A3(体质中),A4(体质良),A5 (体质优),作为论域U(大学生)上一个原则模型库,然后用最大从属原则,去辨认一个详细学生体质. 5类原则体质4个主要指标观测数据下列表所表示.第82页第82页身高(cm)体重(kg)胸围(cm)肺活量(cm3)A1158.43.0

35、47.98.484.22.43380184A2163.44.850.08.689.06.23866800A3166.93.655.39.488.37.04128526A4172.64.657.78.289.26.44349402A5178.44.261.98.690.98.04536756 既有一名待辨认大学生x = x1, x2, x3, x4 = 175, 55.1, 86, 3900，他应属于哪种类型？第83页第83页第 3 章模糊聚类分析第84页第84页第一节 、模糊矩阵定义：设 称R为模糊矩阵。当 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵 对角线上元素 都为1时，称R为

36、模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间关系及运算定义：设 都是模糊矩阵，定义相等：包括：第85页第85页并：交：余：例：取大运算 取小运算 第86页第86页（2）模糊矩阵合成定义：设 称模糊矩阵为A与B合成，其中 。例：第87页第87页合成( )运算性质：性质1：(A B) C = A (B C)；性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质4：O A = A O = O，I A=A I =A；性质5：AB，CD AC B D.注：合成( )运算关于()分派律不成立，

37、即( AB ) C ( A C )( B C )第88页第88页( AB ) C ( A C )( B C )( AB ) C ( A C )( B C )第89页第89页（3）模糊矩阵转置定义：设 称 为A转置矩阵，其中 。（4）模糊矩阵 截矩阵定义：设 对任意 称为模糊矩阵A 截矩阵，其中第90页第90页例：第91页第91页第二节 模糊关系 与模糊子集是典型集合推广同样，模糊关系是普通关系推广. 设有论域X，Y，X Y 一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 模糊关系. 模糊子集 R 从属函数为映射R : X Y 0,1.并称从属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R

38、相关程度. 尤其地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间模糊关系.第92页第92页模糊关系运算 由于模糊关系 R就是X Y 一个模糊子集，因此模糊关系同样含有模糊子集运算及性质.设R，R1，R2均为从 X 到 Y 模糊关系.相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包括： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)；并： R1R2 从属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交： R1R2 从属函数为(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余：Rc 从属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).第9

39、3页第93页 (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”相关程度， (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对模糊关系“非R”相关程度.模糊关系矩阵表示 对于有限论域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn，则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即R = (rij)mn，其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )关于模糊关系R 相关程度. 又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么相关系(rij = 1),要

40、么没相关系( rij = 0 ).第94页第94页 例 设身高论域X =140, 150, 160, 170, 180 (单位：cm), 体重论域Y =40, 50, 60, 70, 80(单位：kg),下表给出了身高与体重模糊关系.405060708014001500.81600.20.810.80.217010.818001第95页第95页模糊关系合成 设 R1 是 X 到 Y 关系, R2 是 Y 到 Z 关系, 则R1与 R2合成 R1 R2是 X 到 Z 上一个关系.(R1 R2) (x, z) = R1 (

41、x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系合成化为模糊矩阵合成. 设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y 模糊关系R1 = (aik)ms，Y 到Z 模糊关系R2 = (bkj)sn，则X 到Z 模糊关系可表示为模糊矩阵合成：R1 R2 = (cij)mn，其中cij = (aikbkj) | 1ks.第96页第96页模糊关系合成运算性质性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )

42、；性质3：( A B )T = BT AT；性质4：A B，C D A C B D.注：(1) 合成( )运算关于()分派律不成立,即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算性质.第97页第97页第三节 模糊等价矩阵模糊等价关系 若模糊关系R是X上各元素之间模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上一个模糊等价关系. 当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：I

43、R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2 R.R2 R ( (rikrkj) | 1kn rij) .第98页第98页模糊等价矩阵基本定理 定理1 若R含有自反性(IR)和传递性(R2R), 则 R2 = R. 定理2 若R是模糊等价矩阵,则对任意0, 1，R是等价Boole矩阵.0,1，ABAB；(AB)=AB；( AT ) = ( A)T 证实下列： (1)自反性：IR0,1，IR 0,1，I R，即R含有自反性； (2)对称性：RT = R (RT) = R (R)T = R，即R含有对称性； (3)传递性：R2R(R)2R，即R含有传递性.第99页第99页 定理3 若

44、R是模糊等价矩阵,则对任意01, R 所决定分类中每一个类是R决定分类中某个类子类. 证实：对于论域 X = x1, x2, , xn，若 xi , xj 按R分在一类，则有rij() = 1 rij rij rij() =1，即若 xi , xj 按R也分在一类. 因此，R 所决定分类中每一个类是R 决定分类中某个类子类.第100页第100页模糊相同关系 若模糊关系 R 是 X 上各元素之间模糊关系，且满足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称模糊关系 R 是 X 上一个模糊相同关系. 当论域X = x1,

45、 x2, , xn为有限时，X 上一个模糊相同关系 R 就是模糊相同矩阵，即R满足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).第101页第101页模糊相同矩阵性质 定理1 若R 是模糊相同矩阵，则对任意自然数 k，Rk 也是模糊相同矩阵. 定理2 若R 是n阶模糊相同矩阵，则存在一个最小自然数 k (kn )，对于一切不小于k 自然数 l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R传递闭包，记作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相同矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.平办法

46、求传递闭包 t (R)：RR2R4R8R16第102页第102页例：设有模糊相同矩阵第103页第103页第四节 模糊聚类分析数据原则化 设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是,得到原始数据矩阵为第104页第104页模糊聚类分析普通环节、建立数据矩阵第105页第105页（1）原则差原则化第106页第106页（2）极差正规化（3）极差原则化（4）最大值规格化其中：第107页第107页、建立模糊相同矩阵（1）相同系数法夹角余弦法相关系数法第108页第108页（2）距离法Hammin

47、g距离Euclid距离Chebyshev距离第109页第109页（3）贴近度法最大最小法算术平均最小法几何平均最小法第110页第110页3、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法环节：第111页第111页例：设对于模糊等价矩阵第112页第112页故R是模糊等价矩阵当得到分类为当得到分类为第113页第113页于是,得到动态聚类图如右图所表示 0.4r54321第114页第114页第115页第115页解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为第116页第116页用最大最小法结构模糊相同矩阵得到用平办法合成传递闭包第117页第117页取 ，得第118页第118页

48、取 ，得取 ，得第119页第119页取 ，得取 ，得第120页第120页画出动态聚类图下列：0.70.630.620.531第121页第121页蠓分类 左图给出了9只Af和6只Apf蠓触角长和翼长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.依据触角长和翼长来辨认一个标本是Af还是Apf是主要. 给定一只Af族或Apf族蠓,如何正确地域分它属于哪一族？ 将你办法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本.第122页第122页第123页第123页模糊判别办法 先将已知蠓重新进行分类.第124页第124页 当 = 0.919时,分为3类1,

49、 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).用平移极差变换将它们分别变为A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),再将三只待辨认蠓用上述变换分别变为B1= (0.015, 0.672),B2 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ).第125页第125页采用贴近度3 (A, B) =计

50、算得：3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92.3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, B3) = 0.83. 依据择近原则及上述计算结果,第一只待辨认蠓(1.24, 1.80)属于第三类,即Apf 蠓；第二只待辨认蠓(1.28, 1.84)属于第三类,即Apf 蠓；第三只待辨认蠓(1.40, 2.04)属于第二类,即Af 蠓.第126页第126页 设Af是传粉益虫, Apf是某

51、种疾病载体, 是否应修改你分类办法？若需修改, 为何？第127页第127页2000网易杯全国大学生数学建模竞赛 DNA序列分类 6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完毕，预计年能够完毕准确全序列图，此后人类将拥有一本统计着本身生老病死及遗传进化所有信息“天书”。这本大自然写成“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成长约30亿序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包括“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息“天书”是21世纪最主要任务之一。在这个目的中，研究DNA全序列含有什么结构，由这4个字符排成看似随机序列中隐藏着什么规律，又是解

52、读这部天书基础，是生物信息学（Bioinformatics）最主要课题之一。 第128页第128页即使人类对这部“天书”知之甚少，但也发觉了DNA序列中一些规律性和结构。比如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质序列片段，即由这4个字符组成64种不同3字符串，其中大多数用于编码组成蛋白质20种氨基酸。又比如，在不用于编码蛋白质序列片段中，A和T含量尤其多些，于是以一些碱基尤其丰富作为特性去研究DNA序列结构也取得了一些结果。另外，利用统计方法还发觉序列一些片段之间含有相关性，等等。这些发觉让人们相信，DNA序列中存在着局部和全局性结构，充分发掘序列结构对了解DNA全序列是十分故意义。当前在这项研究

53、中最普通思想是省略序列一些细节，突出特性，然后将其表示成适当数学对象。第129页第129页这种被称为粗粒化和模型化办法往往有助于研究规律性和结构。作为研究DNA序列结构尝试，提出下列对序列集合进行分类问题： 1）下面有20个已知类别人工制造序列（见下页），其中序列标号110 为A类，11-20为B类。请从中提取特性，结构分类办法，并用这些已知类别序列，衡量你办法是否足够好。然后用你认为满意办法，对另外20个未标明类别人工序列（标号2140）进行分类，把结果用序号（按从小到大顺序）标明它们类别（无法分类不写入）：A类 ； B类 。 请详细描述你办法，给出计算程序。假如你部分地使用了现成分类办法，

54、也要将办法名称准确注明。这40个序列也放在下列地址网页上，用数据文献Art-model-data 标识，供下载：网易网址： 教育频道 在线试题；教育网： News mcm教育网： /mcm第130页第130页2）在同样网址数据文献Nat-model-data 中给出了182个自然DNA序列，它们都较长。用你分类办法对它们进行分类，像1）同样地给出分类结果。提醒：衡量分类办法优劣原则是分类正确率，结构分类办法有许多路径，比如提取序列一些特性，给出它们数学表示：几何空间或向量空间元素等，然后再选择或结构适合这种数学表示分类办法；又比如结构概率统计模型，然后用统计办法分类等。第131页第131页1.

55、aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacg

56、gaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggc

57、aaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatga

58、gg9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggtaagt

59、aatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc14.gttagtcttttttagattaaattattagat

60、tatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacatt