最小二乘法市公开课获奖课件

1、第5章线性参数最小二乘处理第1页第1页 例 已知铜棒长度和温度之间含有线性关系为 取得时铜棒长度和铜线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒长度，以下表，求，最可信赖值。.60.48.07.8.72.36454030252010第2页第2页 最小二乘法原理是一个在多学科领域中取得广泛应用数据处理办法。本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非线性参数预计中应用。从而使学生掌握最小二乘法基本思绪和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数最小二乘预计办法，并科学给出预计精度。教学目的第3页第3页 最小二乘法原理； 等精度测量线性参数最小二乘处理； 不等精度测量线性参数最小二乘处理； 最小二乘

2、预计量精度预计； 组合测量最小二乘法处理；重点与难点第4页第4页第一节最小二乘原理 一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何依据 和测量方程解得待测 量预计值 ？第5页第5页直接求得 。有助于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求 。讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。第6页第6页二、最小二乘原理 设直接测量量 预计值为 ，则有由此得测量数据 残余误差：残差方程式第7页第7页 由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域概率为： 若 不存在系统误差，互相独立并服从正态分布，原则差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内概率为：第8页第8页测量值 已经出现，

3、有理由认为这n个测量值出现于相应区间概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是靠近真值预计值，因此上述条件应表示为最小第9页第9页等精度测量最小二乘原理：最小 不等精度测量最小二乘原理：最小最小二乘原理（其它分布也合用） 测量结果最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第10页第10页三、等精度测量线性参数最小二乘原理线性参数测量方程和相应预计量为：残差方程为：第11页第11页令则残差方程矩阵表示式为等精度测量最小二乘原理矩阵形式：第12页第12页不等精度测量最小二乘原理矩阵形式：思绪一：权矩阵四、不等精度测量线性参数最小二乘原理第13页第13页则有：思绪二：不等精度等精

4、度第14页第14页第二节正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到有拟定解代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理正规方程第15页第15页正规方程：特点：主对角线分布着平方项系数，正数；相对于主对角线对称分布各系数两两相等。第16页第16页看正规方程组中第r个方程：则正规方程可写成即正规方程矩阵形式第17页第17页将代入到中，得：（待测量无偏预计）第18页第18页.60.48.07.8.72.36454030252010解：1）列出误差方程令 为两个待估参量，则误差方程为例5.1 已知铜棒长度和温度之间含有线性关系为 取得时铜棒长度和铜线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒长度，以下

5、表，求，最可信赖值。第19页第19页按照最小二乘矩阵形式计算则有：第20页第20页那么：第21页第21页二、不等精度测量线性参数最小二乘处理正规 方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理正规方程：第22页第22页整理得：第23页第23页即不等精度正规方程将代入上式，得（待测量无偏预计）第24页第24页例5.2 某测量过程有误差方程式及相应原则差： 试求 最可信赖值。解：首先拟定各式权第25页第25页令第26页第26页三、非线性参数最小二乘处理正规方程针对非线性函数其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有第27页第27页将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得

6、 ，进而可得 。近似值第28页第28页为取得函数展开式，必须首先拟定 1）直接测量；2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简朴t个方程式，如令 ，由此可解得 。四、最小二乘原理与算术平均值原理关系 为拟定一个被测量X预计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据 ，相应权分别为，则测量误差方程为第29页第29页按照最小二乘原理可求得结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致， 算术平均值原理是最小二乘原理特例。第30页第30页目的：给出预计量 精度。一、测量数据精度预计A）等精度测量数据精度预计对 进行n次等精度测量，得 预计量。能够证实 是自由度（nt） 变量。依据 变量性质，有第三节精

7、度预计 第31页第31页则可取作为 无偏预计量。因此测量数据原则差预计量为第32页第32页B）不等精度测量数据精度预计测量数据单位权原则差无偏预计第33页第33页二、最小二乘预计量精度预计A）等精度测量最小二乘预计量精度预计设有正规方程第34页第34页设利用上述不定乘数，可求得其中：第35页第35页由于 为等精度 互相独立正态随机变量，则同理可得则相应最小二乘预计值原则差为第36页第36页B）不等精度测量最小二乘预计量精度预计同理经推导可得：各不定乘数 由 求得：第37页第37页第四节组合测量最小二乘处理 组合测量：通过直接测量待测参数组合量（普通是 等精度），然后对这些测量数据进行处理， 从而求得待测参数预计量，求其精度预计。以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间距离 。ABCDABCD第38页第38页直接测量各组合量，