中央电大高等数学基础形成性考核册解析

1、 高数基作 第 函数第 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，C ）的两个函数相等f ( ) ( )，g ( x x ( ) x，g ( x xC.f ( x) x3，g ( x) 3ln xf ( x) x ，g ) 分：判断函数相等的两个条件1对应法则相同）义域相同Af ( x) 2 ，定义域 x ；g ( x x，定义域为 R定义域不同，所以函数不相等；Bf ( x) x x ， g ( ) x对应法则不同，所以函数不相等；C、f ( x) 3 ，定义域为 g ( x x，定义域为 所以两个函数相等D、f ( ) x ，定义域为 ；g 2 ，定义域为 x R 定义域不同，所以两函数不

2、等。 故选 C设函数f ( x的定义域为( ，则函数f ( ) ( )的图形关于C）对称 坐标原点 x 轴C. 轴y 分：函数，f ( ( x)，关于原点对称偶函数，f ( f ( ，关于 轴称 f 与它的反函数 f 对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设 g 所以g 为偶函数，即图形关于 y 轴称故选 下列函数中为奇函数是By ln(1 2y x xa C. y )2分析：A、 y ，为偶函数B ，为奇函数或者 x 为奇函数， 为函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、D、a 2y ，非奇非偶函数故选 1 1 下列函数中为基本初等函数是C）1 1 y y C. x y , x 分析：六种基

3、本初等函数（1y （常值）常值函数（2y x为常数幂函数（3 x 指数函数（4（5 log x 数函数y x, , y x, cot x 三角函数 arc sin x , （6 arc cos x arc tan x, 反三角函数分段函数不是基本初等函数，故 D 选不对 对照比较选 下列极限存计算不正确的是D） 22 ln(1 0 0C.sin x x1 x 0 x x分析：A、已知lim x xlim 2 2 1 lim x x 2 2 2 x Blimln(1 ) ln(1 x初等函数在期定义域内是连续的C、sin lim x x 时，1x是无穷小量， x 是界函数，无穷小量有界函数仍是无

4、穷小量D、lim x sin 1lim 11，令1 sin t t ，原式 lim x t 0 t故选 D当x 0 x时，变量（C）是无穷小量1C.x 1xln( x 2) 1 分析； 1 lim f f a 时无穷小量 aA、x sin x，重要极限Bx 1x，无穷大量1 lim ，穷小量 界函数 sin 仍为无穷小量C、x x limln( x 2)=ln D、 0故选 若函数 ( x 在 满足（A），则 f ( x 在 连。0 0 lim f ( f ( x ) B. f 在 x 的个邻域内有定义 xC. lim f ( ( x ) lim f x) f x) x 分析：连续的定义：极限

5、存在且等于此点的函数值，则在此点连续即 lim f x 连续的充分必要条件 lim f f f 0 x x 故选 A（二）填空题x0函数f ( x) x x )的定义域是 x 分析：求定义域一般遵循的原则（1 偶次根号下的量（2 分母的值不等于 0（3 对数符号下量（真值）为正（4 反三角中反正弦、反余弦符号内的量绝对值小于等于 （5 正切符号内的量不能取k20,1,2然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域x f ( x )x 要求 或x 得 求交集31 x 定义域为 x 已知函数f ( x 2x ， ( ) x2-x分析：法一，令t 得x 则f t ) 则f 法二，f ( x ( 1x)

6、lim(1 2 x 分析：重要极限lim 1，等价式 x 0) f ( x x ) f ( x x 推广lim f a f f lim f 则 f f1 ax a1 ) x lim(1 x x x2 1212若函数 1 ) x , 0，在 处续，则 ex x 0分析：分段函数在分段点 x 处续 lim f f x x x lim f x0lim f x0 的间断点是函数 所以 k 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件） lim f x 0 x0lim f sin 不等，所以 x 为间断点x 0 若 l

7、im f x) A ，则当 x x 时 f ( x ) 称为0 x分析： f ( x) A) f x) lim A A A x 0时的无穷小量 所以 f ( x （三）计算题为 x x0 时的无穷小量设函数 x 0 f ( x) 求：f ( , f (0) f 解：f ，f ，f 求函数 2 x 的定义域解： 2 x 1有意义，要求 解 或x 2x 则定义域为 或x 12在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试梯形的面积表示成其高的函数2 R R x3 x3 x xe lim( ) )解：2 R R x3 x3 x xe lim( ) )DA

8、RO BC设梯形 ABCD 即题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R 直角三角形 AOE 中利用勾股定理得 2 则上底h故 22 AE 2 2 2 2 2 求x 0sin xsin 2 x解：sin3 lim 2 x x sin3 sin3 x3 3 3 2 x 0 2 x 2 1 2 x x求解：x limxx 2 sin( x x 2 ( x lim x sin( limxx x x 求x 3x解：tan3 sin3 sin3 x 1 1 lim x x x0 x 0 3x cos3 求x 0 x 解：lim 0 ( 1 2 sin x x ( 1 2 0 ( x1)si

9、n limx ( 2xsin xx 求lim(x x x )x解：x lim( ) x 1 ) (1 ) x x 1 e3(1 ) 3x 求 2 x 2 x 解：lim x x 3设函数 2) f ( x) 讨论f ( x的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点x x 处讨论连续性（1）lim fx lim x x lim f x 所以x lim f f 在x 处不连续 （2lim f 1 x lim f 1f 所以lim f f 在x 处连续 1 由（）（）得 f 外均连续故f 的连续区间为高数基作 第 导数与微分（一）单项选择题设f 且极限x f ( x)x存在，则f ( x) x x（

10、C ）f (0)f C.f 0cvx设f ( x 在x0可导，则limh f ( x h f ( ) 0 2（D ） 0C. 2 f 0 设 f ( e，则lim f ) 0f (1)A ） 2eC.12e14e设f ( x) x( ( x 99) ， （D ）C.下列结论中正确的是（ C ） 若 若C. 若 若f ( x 在 x 有极限，则在点 x 可0 0f ( x 在 连续，则在点 x 可0 f ( x 在 x 可导，则在点 有限0 0f ( x 在 x 有极限，则在点 x 连0 0（二）填空题设函数 ( x) 1 2 sin x ，则f 0 设f 2 5e，则d x) d x 5 曲线

11、f x 在 (1, 2)处的切线斜率是k 12曲线f ( x) 在( , 1)4处的切线方程是 2 (1 ) 2 设 y x 2 ，y x (1 x)设y x ln x ， y1x（三）计算题求下列函数的导数y：y ( 32 x x12xy x y2 x x x y x ln x 32 x x xln 2 x ( ln ) 4 x x2ysin x( ) x 2 ) xy 4 sin x ln xy 3 sin x x x 2 x x x ) (sin 2 )3 ln 3 3 32 1 2 1 2 y x tan e 2 求下列函数的导数y：y yx 2y ln cos 3 x 3 x 22t

12、an x3 7y 8 x 78 1 x ) x )3 y 2 e x x cosey 2y nx nxyn x nx sinnx y 2 2 x 2 x2 2 xe2 x ( x x2y xe ee xee x( e x ln x ) e x在下列方程中，y y ( )是由方程确定的函数，求 y cos 2 yy x y x yy sin x e2 y ln xy y. yln y.1x ln x) x sin y x y x cos y. y y y x yxy cos y ) 2sin y 2 2 xy y y 2 xy 2 cos y y ln y y y 21 y 1 (2 y y )

13、y x sin y2 yy yye sin x y y y2yee y2y y 5 2 y 2 5 ln 5 1 ln 2求下列函数的微分 d ：y csc x cos x ) dx cos xy ln sin xsin x cos x 2 1 1 dy 1 11 1 )2 ) ) ) dx 1 1 x (1 )2dx y 两边对数得：1ln y ln(1 x ) 3 1 ( ) 3 1 1 y 3 ( ) 1 xy 2 e eee e)e tan x 2 e 3 2 dx x 2xdx求下列函数的二阶导数：y ln xy x1y xyy x sin xy y 11 2 x x 2 ) x2

14、y2 ln3y ln 2 2（四）证明题设f ( x是可导的奇函数，试证f是偶函数证：因为 是奇函数 所以f ( x)两边导数得：f f ( x)所以f是偶函数。高数基作 第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数f ( x 满足条件（），则存在 b)，使得f) f (b f ( a) b 在C. 在( , b) ( b)内连续 内连续且可导 在 在( b) a 内可导 内连续，在( b)内可导函数f ( x) x 4 的单调增加区间是（ ）C.( , ( 1) ( 函数y x2 x 在间 ( 6)内满足A ） 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单下降 D. 单上升函数f

15、 ( x 满 f 0的点，一定是f ( x的（C ） 间断点C. 驻点 极值点 拐设 C. f设f ( x) 在 a , b) 内连续的二阶导数， x a , ) ， 满（ ）则 f ( x) 在 x 取到极小值0 f 0 B. f f 00 0 0 0 f 0 f 00 f ( x 在 ( a b 内连续的二阶导数，且 f f 此区间内是（ A ） 单调减少且是凸的 C. 单调增加且是凸（二）填空题 单调减少且是凹的 单调增加且是凹设f ( x 在 ( a b内可导，x b) 0且x 时 f0 当 x x 时 0 0 则 x 是 f ( 0的 极值 点若函数f ( x 在点x0可导，且x0是

16、f ( x 的极值点，则f 0函数y 2的单调减少区间是( 函数f ( x ) 的单调增加区间是(0,若函数f ( x 在a , b内恒有f ，则f ( x)在a , b上的最大值是f ( )函数f ( x) 2 x 3的拐点是（三）计算题求函数y x 5)2的单调区间和极值令y 1)2( x 5) 2 2( x 5)( x 驻 2, x 列表：X( yy+上升极大-下降极小+上升极大值：极小值：f (2) 27f 求函数y 2 在间 , 3内的极值点，并求最大值和最小值令： 0 x 驻点f 最大值 最值f (3) f (3) f f 试确定函数y cx 中的a , c 函图形过点( , 44

17、)和点 10) 是驻点， x 是点解： x a d a b b c 求曲线y2 x上的点，使其到点(2, 0)的距离最短解：设 ( , y )是 2 x上的点，d 为 p 到 A 点距离，则： ( 2 ( x x令 x 2) x 2 ( x ( 2 x0 y2 x上点1,2)到 A(2,0)的距离最 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 设园柱体半径为 R高为 h，则体积 V h L2 2 ) L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？令 V L 2 h 2 h 33LR 当 , 时体积最大 一体积为 V 圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 设园柱体半径为 R高为 h，则体积

18、2h S表面积 2 2令 S 2 32h V答：当 R 4V 2 时表面积最大。欲做一个底为正方形，容积为 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底连长为 x，高为 h则：62.5 2 h h x 侧面积为： xh x250令S250 0 x x3125 x 答：当底连长为 5 米高为 米用料最省。 （四）证明题当 x 时，明不等式x )证：由中值定理得：ln(1 x ) ) (1 x ) ( x ln(1 ) 当x 时当x 时，证明不等式ex 设f ) x f x 当x 当 f 单调升 f (0) f ( x 即 ( 证毕高数基作 第 章第 章 （一）单项选择题若f ( x 的一

19、个原函数是1，则f （ ）b b x d x)d(3 x) ln x)1 b b x d x)d(3 x) ln x)1 ln 1x C.1x2x 下列等式成立的是D ）Afx ( x)f ( f ( x)C.df ( )dx f ( x)ddxf ( xx ( x)若f ( x cos ，则 （ ）sin x cos x dx 2 f ( x 3 x （ BdC. x cos x f ( x )x ( C.1 1f ( x) 3 3f ( x)若f ( xx F ( x ，则1f ( x x （B ）F ( ) 2 F ) C.F (2 x ) 1F ( x ) 由区间a, 上的两条光滑曲线y f ( x)和y ( )以及两条直线x a和x 所围成的平面区域的面积是C ） f ( ) g ( x)d ( f x)daaC.b ( x ) x f ( x) g ( )dxa（二）填空题函数f ( x)的不定积分是f ( x)若函数F ( )与G ( x)是同一函数的原函数，则F ( )与G ( x)之间有关系式F ( x) ( x ) 常数dx x2(tan x) 若f ( x)dx cos3 ，则f cos(3 x)31(sin 5 x 21若无穷积分 dx 敛，则1 p（三）计算题p 0cosx x 1 1 cos d ( ) x x exx ex x