专题提升平面向量

1、专：面量【考纲解读1 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义面向量的基本定理及其意义掌平面向量的正交分解及其坐标表示;用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识网络建】【重点知识合】1平面向量的基本概念 2共线向量定理1向量 b 非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，

2、 充要条件是 y y 或者 ，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它 们坐标的交叉之积相等其中一个向量的坐标都不是零时 个充要条件也可以写为，即对应坐标的比值相等3平面向量基本定理对于任意 ，若以不共线的向量 e ，e 作为基底，则存在唯 一的一组实数对 ，使 e 4向量的坐标运算 ， ， 则 ， ， y ， 5数量积1 已知 的夹角为0，则它们的数量积为 |，其 叫做向量 方向上的投影量积满足交换律律和分配律， 但不满足结合律，即 ；2 若 ，y ， ，y ，则 y y 23 两非零向量 ，b 的角公式为 ；4|5 两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零【高频考点破】考点一向量有关概

3、念和算1 零向量模的大小为 0方向是任意的，它与任意向量都共 线，记为 2 长度等于 单位长度的向量叫单位向量， 同向的单 位向量为3 方向相同或相反的向量叫共线向量平行向量例 1、已知关于的方程： 2 0R，其中 C为直线 上一点，O 直线 外一点，则下列结论正确的是 A点 线段 上B点 线段 的延长线上且点 线段 的中点C点 线段 的反向延长线上且点 线段 的中点 D以上情况均有可能3【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点 1 正确理解向量的基本概念；2 正确理解平面向量的基本运算律， ；3 相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中 一定要重视，如有遗漏，则会出现

4、错误考点二平面量的数量积1两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定2求非零向 夹角一般利用公式 先求出夹角的余弦值后求夹角量 向量 b 向上的投影 为4【方法技巧】1 准确利用两向量的夹角公式 ，及向量模的公 式2 在涉及数量积时，向量运算应注意：0，未必有 ，或 ；|； 一定相等考点三平面量与三角函的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型 ，sin，cos，1,01 求向量 长度的最大值；2 设 ，且 ，求 的值 1 一：由已知得 ，sin，则|1sin21cos

5、51cos1，0|4，即 0|2 当 cos 时，有| ，所以向量 c 长度的最大值为 2法二：|，|，|当 cos 时，有 ，即， 所以向量 c 长度的最大值为 2【难点探究】6难点一平面向量的念及线性运例 1、1，b 不共线的向量，若，0，则的最小值为A2 设向量 足2,1 a 方向相反， 则 a 坐标为【答案】 ，【解析】17与椭圆相交于不同的两点 ， 不是长轴的端点，垂 足为 得 412，由 得 4238【点评题是以考查解析几何基本问题为主的试题平面向量在其中起着关键作用题的难点是第三问把已知的垂直关系和向量等式转化为的方程，确定 关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证

6、明直线系过定点的目 的【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为 ，右焦 5,0双曲线的实轴 两点1 求双曲线的方程；2 求证 ，三点共线，y 0 ，即 理得 y a x,1), b (1, a c / c 5 10 2 92 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 a ba b a b a / a a / | | | | | b | | b | | D AB P CDPA PB4C a a,0), B , 0 ( , ) P ( ) 4 a b a b a b a b PC 2 ) 2 PB ) 2 ) 2 4 16 4 16 16 a b 9 bPA )

7、) 4 4 16 16a 9b2 9a a 2 2PA ) 16 16 16 16 16 162PA PB 10 a a cos a a cosBC 3 7 2BA BA CA ) b 4 n2 a 12.1C3 5 2 2 b a 2b a |cos nb a 2| | 1 | 1 a | 2 | | 4) a b 2 b 3 3 OQ ( ) ( 2) ( B ) 2 4( 2) ( ) ( 6, ( ) 6, 11 ABC AP AB AQ BQ 1 2 2 2 2a , 2a b _是 的中点，AM=3，BC=10，则 =_ 【答案】【解析】法一此题最适合的方法是特例法 假设 以 的等

8、腰三角形，如图，12 AB ADM CD AB ADM CD，10，cos法二：34 8 2 AC AB cos 161 2 1 AC ( AM ) BC AM 2 4 422 高考真题上海理 12形 中， ，3边 、 的长分别为 ，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 | CN | ， AM 的取值范围是。14【2022 考真题山东理 16】如图，在平面直角坐标 xOy 中， 一单位圆的圆心的初始位置 (0,1) 此时圆上一 P 的位置在 x 轴上沿正向滚动动到圆心位 时13的PA ， PA ， 坐标为【答案】(2 【解析】因为圆心移动的距离为 ，所以劣弧 ，即圆心角 ,则PCA ,以PB

9、sin(2 CB ，所以x ，y ，所以P (2 sin 2,1 cos 2)。 考真题北京理 13正方形 的边长为 ， 点 AB 边上的动点， 的值为_ DE 的最 大值为142 22 2ABCD BC ， 2 22 2ABCD BC ， E BCF 2。_16【2022 考真题安徽理 14】若平面向 a 满足： ab 最小值是9【答案】8 ，【解析】2 4 4 9 b a b 98则17【2022 高考江苏 9 ）如图，在矩形 中，点 为 的中点，点 在边 上，若 的值是 ，【答案】。151 b b 1 b b 60AB c 年考试题】12022 年高考四川卷理科 图，正六边形 中，BA

10、EF= BE AD D 答案：解析： DE CD EF CD 22022 年高考全国卷理科 设向 | |=| |=1, , = 0 2的最大值等于A2Bc2D1【答案】【解析】如图，构造 , , ,16D1 c , e若 1 c , e若 , BCD ，所以, B, C , D四点共圆，可知当线 为直径时 最大，最大值为 2 二、填空题12022 年高考浙江卷理科 若平面向 ，以向 邻边的平行四边形的面积为 2的夹角 的取值范围是。【答案】 , 6 【解析】2 1 , 又2 12，又 6 年高考安徽卷理 已知向 =6，且 a 则a b 夹角为32022 年高考重庆卷理科 已知单位向量 2 i

11、j解析：。 , cij的夹角 ，则 i jij ci j c 4 cos60 3 i j42022 年高考安徽卷江苏 已知 是夹角为23的两个单位向量， , a ，则的值为【答案】54172 ABC D ）B 1 2 ABC D ）B 1 【解析】 e )(k ) k k e 1 2 1 1 2 2 )cos3 0,解得k 54 年考试题】（2022 全国卷 数 中，点 在 上， 平 ACB a CA ， ， CD ）1 2 3 4 a b 3 3 3 3 5 5 5（2022 宁理数8 面上 O,A,B 三点不共线，设 则OAB 的面积等于A=a, ，A |2 b) |a 2 | |2 b)

12、2C12|a b |2a 2D12|a b |2a 2【答案】【解析】三角形的面积 |a|b|sin而21 1 a 2 b 2 ab) | a | b | ab) 2 2 , b 2 1 1 | b | 2 , | a | | 2 2（2022 重庆理数）2 知向量 满足a a b 2,，18 则 a 则 a 则2 2 2解析：2 (2a ) 4a 8 2 8（2022 四川理数点 M 是线段 的中点，点 直线 外， （）4（2022 西理数）13 已知向 足 a9， ， 与 的夹角为 ，则【答案】3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图 b OB OB BA，由余弦定理得： 广东理数 向 满足条件( ) )=-2, =解析：c (0,0,1 ) ( c ) ) ) 2(1 ) ，解得x 19所 所 11（2022 苏卷）分 分）在平面直角坐标系 中， 1,、B2,32,1。求以线段 AB 为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数 足AB tOC OC ，求 t 值。解析题设知 (3,5), AC 1,1)，则 AC (4, | AB AB |4 2.故所求的两条对角线的长分别为 2 。13（2022 苏卷）分 分）在平面直角坐标系 中， 1,、B2,3