微分方程复习资料市公开课获奖课件

1、1一阶微分方程 习题课 (一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题 解法及应用 第七章 第1页第1页2基本概念一阶方程 类 型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解结构特性方程根及其相应项f(x)形式及其特解形式高阶方程待定系数法特性方程法一、主要内容第2页第2页3微分方程解题思绪一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特性方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子第3页第3页4一、一阶微分方程求解 1. 一阶原

2、则类型方程求解 关键: 区别方程类型 , 掌握求解环节2. 一阶非原则类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量代换因变量代换某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个原则类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 第4页第4页5例1. 求下列方程通解提醒: (1)故为分离变量方程:通解第5页第5页6方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量地位 ,用线性方程通解公式求解 .化为第6页第6页7例2. 求下列方程通解:提醒: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为(贝努里方程) (分离变量方程

3、)原方程化为第7页第7页8令 y = u t(齐次方程)令 t = x 1 , 则可分离变量方程求解化方程为第8页第8页9例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足下列条件:(1) 求F(x) 所满足一阶微分方程 ;(考研) (2) 求出F(x) 表示式 .解: (1) 因此F(x) 满足一阶线性非齐次微分方程:第9页第9页10(2) 由一阶线性微分方程解公式得于是 第10页第10页11练习题: 1、 求以为通解微分方程.提醒:消去 C 得2、求下列微分方程通解:提醒: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :提醒: 这是一阶线性方程 , 其

4、中第11页第11页12提醒: 可化为关于 x 一阶线性方程提醒: 为贝努里方程 , 令提醒: 可化为贝努里方程令第12页第12页13原方程化为 , 即则故原方程通解提醒: 令第13页第13页14例4. 设河边点 O 正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 ,利用个性拟定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提醒: 如图所表示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)游速大小为b求鸭子游动轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速

5、b 为第14页第14页15定解条件由此得微分方程即鸭子实际运动速度为( 齐次方程 )第15页第15页16题6. 已知某车间容积为新鲜空气问每分钟应输入多少才干在 30 分钟后使车间空含量不超出 0.06 % ?提醒: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在内车间内两端除以 并令与原有空气不久混合均匀后, 以相同流量排出 )得微分方程( 假定输入新鲜空气 输入 , 改变量为 第16页第16页17t = 30 时解定解问题因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 .初始条件得 k = ? 第17页第17页18二阶微分方程 习题课 (二)二、微分方程应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程解法 第七章

6、 第18页第18页19一、两类二阶微分方程解法 1. 可降阶微分方程解法 降阶法令令逐次积分求解 第19页第19页20解答提醒1、求以为通解微分方程 .提醒: 由通解式可知特性方程根为故特性方程为因此微分方程为2、求下列微分方程通解提醒: (6) 令则方程变为第20页第20页21特性根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思 考若 (7) 中非齐次项改为提醒:原方程通解为特解设法有何改变 ?第21页第21页22求解提醒: 令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何拟定?第22页第22页23例2.且满足方程提醒: 则问题化为解初值问题:最后求

7、得第23页第23页24思考: 设提醒: 对积分换元 ,则有解初值问题: 答案:第24页第24页25解. 例3.设函数内含有连续二阶导(1) 试将 xx( y) 所满足微分方程 变换为 yy(x) 所满足微分方程 ;(2) 求变换后微分方程满足初始条件 数, 且解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数导数公式知(考研)第25页第25页26代入原微分方程得 (2) 方程相应齐次方程通解为 设特解为 代入得 A0,从而得通解: 第26页第26页27由初始条件 得故所求初值问题解为 第27页第27页28二、微分方程应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理

8、规律利用几何关系拟定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件也许还要衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包括实际意义 第28页第28页29例4. 解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其挣脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.设人造卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星质心到地心距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数)则有初值问题: 又设卫星初速度第29页第29页30代入原方程, 得两边积分得利用初始条件, 得因此注意到 第30页第30页31为使由于当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即代入即得这阐明第二宇宙速度为 第31页第3

9、1页32求质点运动规例5. 上力 F 所作功与通过时间 t 成正比 ( 百分比系数提醒:两边对 s 求导得:牛顿第二定律为 k), 开方如何定 + ?已知一质量为 m 质点作直线运动, 作用在质点第32页第32页33例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生摩擦 力, 求链条滑下来所需时间 .解: 建立坐标系如图.设在时刻 t , 链条较长一段下垂 x m ,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律, 得第33页第33页34由初始条件得故定解问题解为解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解: 思考: 若摩擦力为链

10、条 1 m 长重量 , 定解问题数学模型是什么 ?第34页第34页35摩擦力为链条 1 m 长重量 时数学模型为不考虑摩擦力时数学模型为此时链条滑下来所需时间为第35页第35页36练习题从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求, 需拟定仪器下沉深度 y 与下沉速度 v 之间函数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 百分比系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 )提醒: 建立坐标

11、系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律重力浮力阻力注意: 第36页第36页37初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B得第37页第37页38备用题 有特而相应齐次方程有解微分方程通解 . 解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程第38页第38页39故再积分得通解复习: 一阶线性微分方程通解公式 第39页第39页40 2. (1) 验证函数满足微分方程(2) 利用(1)结果求幂级数和.解: (1)(02考研)第40页第40页41因此(2) 由(1)结果可知所给级数和函数满足其特性方程:特性根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为第41页第41页42代入初始条件可得故所求级数和第42页第42页4