数学建模抢渡长江的数学模型

1、江河竞渡优化模型摘要： 2002年5月1日，首届“武汉国际抢渡长江挑战赛暨第32届横渡长江活动在汉举行，吸引了来自海内外共186人参加其中专业人士将近一半.据报载，当日平均水温16.8，江水平均流速1.89米/秒.竞渡区域两岸假设为平行直线，测得二者垂直距离为1160米，比赛的起点到终点的水平距离为1000米模型一：假设在理想情况下如无风无湍流等，竞渡区域江水流速处处恒定，同为1.89米/秒，为水平不同的选手选择适宜的游泳方向.结果显示:(1)2002年第一名是以1.54m/s的速率，沿垂直于江岸左偏27.46的方向行进的.(2) 速度保持在1.5m/s的选手应该选择垂直于岸边左偏31.85方

2、向行进时能获得最好成绩，最好成绩预计为.模型二：显然对于实际情况，我们知道不同位置的江水流速是有较大差异的，理应区别对待.常识告诉我们：中间水深，水流湍急；两边水浅，水流缓和当然还有其他因素可能会造成水流在速度上的差异.此处，我们假设江水在靠近岸边区域速度较小且为某定值，在中间段速度较大且不变，人为规定离岸边200米处为划分点，分为三段.最终我们得出：(1)如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们不能到达终点.(2) 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异是因为1934年在选择恰当的方向前提下只要速度到达0.44m/s，就可以到达终点，而2002年的要求那么为1.

3、43m/s.其次1934年不同水平的选手可以选择的角度区间140以上较2002年同水平的选手60以下大得多，这也是导致二者完成比赛的概率有很大差异的重要原因模型三：在模型二的根底上认为流速除中间段保持不变外，其余两端江水流速连续变化.我们认为在水流速变化区域，每隔100m改变一次方向最适宜，总用时为884.70秒模型四：和模型三的思路大体相同，只是水流流速的具体函数不一样，都是用离散的方法求解模型.根据运算结果，为选手提供了在垂直距离上每前行100米所应调整的角度，求得最优路径为一“反S型，得出了“两侧偏角大，中间偏角小的行进方向根本原理.对于其中方程的求解我们采用matlab软件，优化问题那

4、么借助lingo软件关键词：最优路径 非线性优化 matlab lingo 1.问题重述长江江面宽为1160米，而2002年5月1日比赛起点和终点的水平距离仅1000米，比赛当日水流平均速度达1.89米/秒.参赛总人数多达186人其中一半为专业人士，可见半数选手水平并不是太低，然而结果并不理想，仅34人成功到达终点，第一名的成绩为14分8秒.早在1934年，也曾有类似比赛在长江举行，当时比赛全程设为5000米，44人参加，就有40人到达终点.两者相比，成功率相差甚远.在2002年比赛中，除了气象条件外，大局部选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点.1160m116010

5、00长江水流方向终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门2.主要变量及符号 水流速率 选手的平均游泳速率 江面宽度 起点到终点的的水平距离 选手游完全程耗时 选手的游泳方向垂直于江岸右偏为负，左偏为正 将江面宽度分为m段，每段长度垂直于江岸方的向第段宽度选手在第段的游泳时间选手在第段的游泳速率选手在第段的游泳方向垂直于江岸右偏为负，左偏为正3.模型的建立与求解3.1 模型1水流恒速模型 模型假设竞渡过程中选手速率和方向均不变竞渡区域每点水流速率均为1.89米/江面相互平行问题1的求解求解2002年第一名游泳速率与方向，列写方程组： 用matlab求解方程组得：即2002年第一名是以的速率，沿垂直于

6、江岸左偏的方向行进的.假设选手的游泳速率为1.5m/s，试为其选择方向，求解方程组：用matlab求解方程组得：即对于速度保持在1.5m/s的选手应该选择垂直于岸边左偏方向行进，最好成绩. 问题2的求解假设选手以和岸边垂直的方向行进看能否到达终点，即对于方程组求解时的选手速度，容易求得此时；即要想在此种情况下到达终点，选手的速度应不低于2.19m/s，显然这样的要求过高，选手一般无法完成.比拟1934年和2002年能游到终点的人数百分比，给出能成功到达终点的选手条件，包括选手游泳的速率和方向.从选手游泳速率入手：即对于方程，当时，求解最小.其中Y=1160m，U=1.89m/s不变，针对193

7、4年的情况，即能游到终点的最小速率为；针对2002年的情况，即能游到终点的最小速率为；可见，2002年的比赛对选手速率要求较高，因此2002年能游到终点的人数百分比拟1934年小很多，2002年的比赛有利于挑选高水平选手.从可以选择的角度入手：2002年角度界限 1934年角度界限1.451.51.551.61.451.51.551.6上界58.466.6271.7875.77上界85.8186.4286.9887.51下界40.0731.8526.6822.7下界-59-59.6-60.2-60.7差值18.3334.7745.153.07差值144.8146147.2148.2由表可知：1

8、934年不同水平的选手可以选择的角度区间140度以上较2002年同水平的选手60度以下大得多，这也是导致二者完成比赛的概率有很大差异的重要原因.3.2 模型2水流分段恒速型模型假设竞渡过程中选手速率不变竞渡区域各段水流速率保持一致如题设 模型求解游泳者在流速相同的不同水域其游泳的速度方向是相同的，所以其在流速不同的水域交界地带要改变自己的游泳方向，根据此情况在下面列出了相关的目标函数和条件函数.所列函数如下：对于上面所列的函数用lingo进行求解，解得其最优解并换算单位得：由上面所解得的最优解可得，游泳者在水流速v=1.47m/s的水域，其游泳的速方向为沿y轴向右偏转，当他由v=1.47m/s

9、的水域游向v=2.11m/s，水域时其游泳的方向须变为沿y轴向右偏转3.3 模型3水流速度连续变化型模型假设设水速随着其与岸边的垂直距离y连续变化，如题设： 3.3对于此模型，游泳者不可能在水中连续的改变着自己的游泳的角度，故在水流速度连续的区域，采取将该区平均的分为m段，游泳者每游过一段便改变速度的方向.通过此模型列出的目标函数和条件函数如下： 通过lingo求解出该模型在 m=2，3，4，5，6 时游泳者在各分界段须变换的角度以及预测的游完全程可能需要的时间.列表如下：m游完全程所需时间(度)全过程需变方向次数12345672884.7011.4022.0013.52xxxx43883.1

10、211.2023.7516.2412.49xxx64882.5311.1224.9018.1314.4412.03xx85882.2511.0925.6719.5715.9913.5811.80 x106882.0911.0626.2420.6617.2214.8413.0311.6612由上表可知 ：总用时与分段m取值有关，m越大，设计的线路越接近理想线路.但如果改变角度的次数过多，那么游泳者在水中很难实现.从上表的数据我们可以发现，m取值发生改变时，总用时相差不大，故我们取m=2，即每段100m，总用时为884.70秒.3.4模型4(水流速度连续变化) 模型3中水流速度在靠近岸边的区域岩离

11、岸边的距离连续分布，在中间的一段区域，水流速度处处相等，而实际情况并非如此.现实中，水流速度岩离岸边距离连续变化，我们设 在游泳者速度为U=1.5m/s时，我们求得m=12和m=6时，即每为100m和200m所对应的及t的值.如下表：m用时i=1,2,312度12345678910111212884.736.225.922.721.721.421.321.521.522.023.628.540.96892.534.424.523.723.725.737.2XXXXXX在这种情况下m=12即每隔100m改变一个方向，总用时比拟少为884.7秒，和模型3结果大致相同，但这种模型的水流速度与实际更相

12、符. 4.模型评价4.1 模型优点对于模型3，在水流速连续变化的区域，选手不可能每时每刻改变速度方向，所以我们将该区域分段,减少选手改变方向次数，很好的解决了实际问题.对于模型4，我们在模型3的根底上稍加改良，这种模型的水流速度与实际更相符.4.2 模型缺点 在建立模型的时候只是粗略而没有仔细的考究长江水流深度与流速的关系，从而无法精确的建立长江中某点水的流速与该点距离岸边长度的函数关系.5.模型推广此问题中,选手的速度大小不变,方向随着水流速的大小而改变,在水流速恒定的区域方向不变.我们可以认为水流速为0,由于各种原因,在离岸边不同的距离,选手的速度不同.为尽快的到达终点,而选择一种折线路径

13、,这与光的折射定律相符. 在实际生活中人们要从A地到B地,而两地之间有水泥路,有沙子路如下列图，在选择最快路径时，也可以用此模型求解.6.致竞渡爱好者竞渡作为我国一项传统的体育活动，备受人们喜爱随着近年来中国体育事业的辉煌开展，竞渡这种竞技体育也越来越吸引人们的眼球，很多人都想一试上下或者试图超越自己除此之外，获奖者最终得到的可观收益也是驱动大家前往的动力，因此能够赢得比赛显得至关重要很多人以为只要水性够好，游得够快便能暂获金牌，显然这是缺乏以取信的从比赛的结果就可以知道，本次比赛男子冠军的静水速度只有1.364米/秒,在静水比赛中仅位居第十八名.然而,他是如何能突出重围的呢?这还得益于他的智

14、慧.从以上我们建立的几种模型就可以见分晓,恰当的选择游泳路线并及时调整游泳方向和大小才是取得理想成绩的关键.竞渡的魅力不仅在于它的速度与力量,更在于它向人们诠释着一种智慧.总之,但愿通过本文的阐述,能让竞渡者豁然开朗,积极地统筹策略,赢得比赛.7.参考文献1张志勇 杨祖樱 等，MATLAB教程，北京：北京航天航空大学出版社，2021.2李德宜 李明 等，数学建模，北京:科学出版社，2021.8.附录7.1 模型2求解程序 min=200/(1.5*cos(x1)+760/(1.5*cos(x2)+200/(1.5*cos(x3);t1=200/(1.5*cos(x1);t2=760/(1.5*cos(x2);t3=200/(1.5*cos(x3);1.47*t1-1.5*sin(x1)*t1+2.11*t2-1.5*sin(x2)*t2+1.47*t3-1.5*sin(x3)*t3=1000;bnd(-1.57,x1,1.57);bnd(-1.57,x2,1.57);bnd(-1.57,x3,1.57);7.2 模型3求解程序model:sets:jihe/1.5/:jd,