高等数知识点重点

1、学习必备 欢迎下载 高等数学学问点总结 空间解析几何与向量代数 一,重点与难点 1,重点 向量的基本概念, 向量的线性运算, 向量的模, 方向角； 数量积（是个数）, 向量积（是个向量） ；（填空选择题中考察） 几种常见的旋转曲面,柱面,二次曲面； （重积分求体积时画图需要） 平面的几种方程的表示方法（点法式,一般式方程,三点式方程,截距式方 程）,两平面的夹角；（一般必考） 空间直线的几种表示方法 （参数方程,对称式方程,一般方程,两点式方程）,两 直线的夹角,直线与平面的夹角； （一般必考） 空间解析几何和向量代数： 空间 2 点的距dM1M 2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1

2、 2为锐角时, 离： 向量在轴上的投影： Pr ju AB AB cos , 是 AB 与 u 轴的夹Pr j u a1 a 2 Pr j a1 Pr ja 2 角； a b ab cos axbx ayby azbz ,是一个数量 , 两向量之间的夹角： cos ax 2axbx ayby azbz 2 bz 2 a y 2 az 2 bx 2 by ijk c abax ay az , c a b sin .例：线速度： v w r . bx by bz ax ay az 向量的混合积： abc a b c bx by bz ab c cos , cx c y cz 代表平行六面体的体积

3、； 第 1 页,共 8 页学习必备 欢迎下载 平面的方程： 1,点法式： A x x0 B y y0 C z z0 0,其中 n A, B,C, M 0 x0 , y0 , z0 mt nt pt 2,一般方程： Ax By Cz D03,截距世方程： x ay z 1b c 平面外任意一点到该平 面的距离： dAx0 By0 Cz0 D x x0 A2 B 2 C 2 空间直线的方程： x x0 my ny0 z z0 t ,其中 s m, n, p; 参数方程：y y0pz z0 二次曲面： 1,椭球面： xa2 2y 2 2 bz 2 2c 12 2,抛物面： x2 p 2 y z（,

4、p,q 同2q 号） 3,双曲面： 2 单叶双曲面： x 2 a2 y 2 z 1b22 c （1马鞍面） 2 双叶双曲面： x 2 a2 y 2 z 2 b 2 c 多元函数微分法及应用 全微分： dz z dx x z dy y du u dx x u dy y u dz z 全微分的近似运算： z dz f x x, y x f y x, y y 多元复合函数的求导法 ： uz v z f ut, vt dz z dt ut v t z f u x, y, v x, y z z uz v x ux v x 当 u du u x, y,v v x, y时, v dx x v dy y u

5、dx x u dy y dv 隐函数的求导公式： 隐函数 F x, y 0, dy Fx , Fy 2 d y x Fx y Fx dy dx 2 dx Fy Fy dx 隐函数 F x, y, z 0, z Fx Fz , z Fy x y Fz 第 2 页,共 8 页F x, y,u,v 隐函数方程组： G x, y,u,v 0学习必备 欢迎下载 F F Fu Fv F ,G J u G v G 0Gu Gv u, v uv u1F ,G v 1 F ,G x J x, v x J u, x u1 F ,G v 1 F,G y J y, v y J u, y 微分法在几何上的应用： 空间曲

6、线 x t x , y , z 0 处的切线方程： x x0 t0 y y0 z z0 z0 0y t在点 M t0 t0 z t 在点 M 处的法平面方t 0 x x0 t0 y y0 t0 z z0 0程： F x, y, z 0,就切向量 T Fy Gy Fz Fz , Gz Fx , Fx Fy 如空间曲线方程为： G x, y, z 0G z G x Gx G y 曲面 F x, y, z 0 上一M x0 , y0 , z0 ,就：点 1,过此点的法向量： n Fx x0 , y0 , z0 , Fy x0 , y0 , z0 , Fz x0 , y0 , z0 2,过此点的切平面

7、方程 ： Fx x0 , y 0 , z0 x x0 Fy x0 , y0 , z0 y y0 Fz x0 , y0 , z0 z 3,过此点的法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx x0 , y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0 , z0 方向导数与梯度： 函数 z f x, y在一点 p x, y沿任一方向 l 的方向导数f jf cos x f sin y l为： 其中 为 x 轴到方向 l 的转f 角； 函数 z f x, y在一点 p x, y的梯度： gradf x, y f ix y 它与方向导数的关系是 ：f lgrad f x, y e

8、,其中 e cos isin j,为 l 方向上的 单位向量； f l是 gradf x, y在 l 上的投 影； 多元函数的极值及其求法： 设 f x x0 , y0 f y x0 , y0 0,令： f xx x0 , y0 A, f xy x0 , y0 B, f yy x0 , y0 C 0 时, A A 0, x0 , y0 为极大值AC 2 B 0, x0 , y0 为微小值就： AC AC 2 B 2 B 无极 值 0时, 不确定 0时 , 第 3 页,共 8 页学习必备 欢迎下载 重积分及其应用： f x, ydxdy f r cos , r sin rdrd D D2 2曲面

9、 z f x, y的面积 A 1 z z dxdy D x y x x, y d y x, y d 平面薄片的重心： x M x D , y M y DM x, y d M x, yd D D平面薄片的转动惯量： 对于 x 轴 x y 2 x, yd , 对于 y 轴 y x 2x, yd I D I D平面薄片（位于 xoy 平面）z 轴上质 M 0,0, a, a 0的引力： F Fx , Fy , Fz,其中：对 点 Fx f x, yxd 3, Fy f x, y yd 3, Fz fa x, y xd 3D x 2y 2a 2 2 D x 2y 2a 2 2 D x 2y 2a 2

10、2柱面坐标和球面坐标： x r cos dF r , , zrdrd dz, dv 柱面坐标： y r sin , f x, y, zdxdydz z z dr 2 r sin drd d其中： F r , , z f r cos , r sin , z x r sin cos 球面坐标： y r sin sin , dv rd r sin z r cos 2r , f x, y, zdxdydz 2 F r , , r sin drd dddF r , 2 , r sin dr 重心： x 1x dv, y 1y dv, z 0001z dv,其中 Mx MMM转动惯量： I x 2 y 2

11、 z dv,I y 2 x 2 z dv,I z 2 x 2 y dv 曲线积分： 第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）： t , t t , 就： x t 设 f x, y在 L 上连L 的参数方程x y 续, 为： f x, y ds f t, t 2t 2t dt 特殊情形： y t L第 4 页,共 8 页学习必备 欢迎下载 其次类曲线积分（对坐 标的曲线积分）： 设 L 的参数方程 为 x y t ,就： t P t , t t Q t , t t dt P x, ydx Q x, ydy L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy Pcos Qcos ds,其中 和 分别为 LLP

12、dxdy y LPdx Qdy L 上积分起止点处切向的方向角； 量 Q P dxdy y LPdx Qdy 格林公式： Q 格林公式： x x DD当y, Q x,即： Q x P 2 时,得到 D 的面积： A Ddxdy 1xdy ydx y 2 L P 平面上曲线积分与路径 无关的条件： 1,G 是一个单连通区,且 Q x P；留意奇点,如 0,0,应 y 域； 2,P x, y,Q x, y在 G 内具有一阶连续偏导数 减去对此奇点的积分, 留意方向相反！ 二元函数的全微分求积 ： 在 Q x P 时, Pdx y Qdy 才是二元函数 u x, y的全微分,其中： u x, y Q

13、x, y dy,通常设 x0 y0 0； x, y Px, y dx x0 , y0 曲面积分： 对面积的曲面积分： f x, y, zds Dxy 对坐标的曲面积分： Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx R x, y, zdxdy,其中： R x, y, z dxdy R x, y, zx, ydxdy,取曲面的上侧时取正 号； D xy P x, y, z dydz P x y, z, y, zdydz,取曲面的前侧时取正 号； D yz Qx, y, zdzdx Q x, y z, x, zdzdx,取曲面的右侧时取正 号； Dzx 两类曲面积分之间的关 系： Pdydz

14、 Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos ds 高斯公式： 第 5 页,共 8 页P Q R dv z 学习必备 欢迎下载 P cos Q cos R cos ds Pdydz Qdzdx Rdxdy x y 高斯公式的物理意义 通量与散度： 的流体质量,如 div 0,就为消逝 . 散度： div P Q R,即：单位体积内所产生 x y z 通量： A nds Ands P cos Q cos Rcos ds,因此,高斯公式又可写 成： div Adv Ands 常数项级数： 等比数列：1qq2qn 1 n 1 q 1q等差数列：123n n 1n2 1 是发散的 n调和级数

15、：11123级数审敛法： 1,正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）： 1 时,级数收敛 设： lim nnun,就 1 时,级数发散 1 时,不确定 2,比值审敛法： 1 时,级数收设： lim n U n U n 1 ,就 1 时,级数发 敛 散 3,定义法： 1 时,不确定 sn u1 u2 un ;lim sn存在,就收敛；否就 n 散； 发 交叉级数 u1 u2 u3 u4 或 u1 u2 u3 ,un 0的审敛法 莱布尼兹定理： un un 1假如交叉级数中意 lim un n 0,那么级数收敛且其和 s u1 ,其余项 rn的确定值 rn un 1； 确定收敛与条件收敛：

16、（ P392 定理一,定理二） 第 6 页,共 8 页1u1 u 2 un 学习必备 欢迎下载 ,其中 un为任意实2 u1 u2 u3 数； 假如 2收敛,就 1确定收敛,且称为确定 un 收敛级数； 假如 2发散,而 1收敛,就称 1为条件收敛级数； 调和级数： 1 发散,而 1 收敛； nn n级数： 1 收敛； n 2 1 时发散 p 级 数： n p p 1 时收敛 幂级数： 1 x 2 x 3 x n x 2x 1 时,收敛 于 1 1 x 10对于级数 3a 0a x ax 1 时,发散 a n x n ,假如它不是仅在原点 收敛,也不是在全 x2 数轴上都收敛,就必存 x R

17、时收敛 在 R,x R 时发散 ,其中 R 称为收敛半求收敛半径的方法：设 使 x 径； R 时不定 lim nan 1,其中 a n, an 是 3的系数,就 0 时, R 0 时, R an 时, R 函数开放成幂级数： 函数开放成泰勒级数： f x f x x x f x0 x 2. x 02 n f x0 x n. x 0 n 余项： Rn f n 1 x n1 x0 , f x 可以开放成泰勒级数的 充要条件是： lim nRn 0n 1. x0 0 时即为麦克劳林公f x f 0 f 0 x f 0 2 x f n 0 n x 2. n. 式： 一些函数开放成幂级数： m 1 x 1 mx