高二上数知识点归纳总结

1、第一章 不等式 不等式的概念和性质 基本学问 ： 1不等式的定义 ：用不等号 “, , , , ”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式； 2两个实数的大小 ： 用作差运算定义： ab0aab; aba0b; ab; a b 0 ab. 用作商运算定义： a1b; a b1a1ab; bb3不等式的性质 ： 不等号不转变方向的： a a aa c a c a c a c a 0 a abba（对称性） b, b c ac （传递性） bambm（不等量加等量） ba c b d （同向不等式相加） （留意：异向不等式不能相加！ ） d ba c b d （异向不等式相减） （留意：同向不等式不能

2、相减！ ） dbac bc （不等量乘正量） ； abac bc （不等量除正量） 0c 0b0ac bd （同向不等式相乘） （留意：异向不等式不能相乘！ ） d0b0ab（异向不等式相除） （留意：同向不等式不能相除！ ） c dc db0an b n （不等式的乘方） b0nanb （不等式的开方） 不等号要转变方向的： a c b0ac bc （不等量乘负量） ； abac bc （不等量除负量） 0c 0 a ab b11（不等量取倒数） ab均值不等式 第 1 页,共 15 页基本学问 ： 1均值不等式 1：假如 a,b R ,那么 a2b22ab （当且仅当 a b时取“ =”）

3、 b时取“ =”） b时取“ =”） 证明： a2b22ab a 2 b 2 当 b 时,b 0 2 2a a b 2 0 a b当 b 时,2均值不等式 2：假如 a, b 是正数, 那么 a a a22ab ab （当且仅当 a b证明： a2b 22 ab a b2 ab 即： ab2ab 当且仅当 ab 时 a2bab 3变式：ab ab2, ab a2b2R）（当且仅当 a（ a, b 24均方方均不等式 a： 2b 2 a22b25推广 ：（不作要求） （1） 定理：假如 a,b,c R3,那么 a b33 c 3abc （当且仅当 abc 时 取“ =”） 证明： a 3 b3

4、c 3 3abc a b 3c3 3a 2b 3ab 23abc bc 时取“ =”） a bc a 2 b a bc 2 c 3aba bc a b2 c a 2ab b 2 ac bc c 2 3ab a b2 c a b 2 c2 ab bc ca 1 a 2b c a b2b c 2c a 2 a, b, c R上式 0 从而 a3b33 c 3abc 指出：这里 a, b, c R a b c 0 就不能保证 （ 2）推论：假如 a, b,c a R ,那么 bc 3abc（当且仅当 a 3（ 3 ） 如 a1, a 2 ,., an R, 就 a1 a 2 n. an na1a2

5、.an （ 当 且 仅 当 第 2 页,共 15 页a1 a 2 . an 时取“ =”） 2y xy x 2y x 2 2y 2 6不等式链 ：如 x, y R, 就 1x （调和平均数几何平均数算术平均数加权平均数） 7柯西不等式 （特例）： ac 2 bd a 2 b 2 c 2 d 2 柯西不等式 二维形式 a2+b2c2+ d2 ac+bd2 等 号 成 立 条 件 ： ad=bc a/b=c/d 扩 展 : （ a12;+a22;+a32;+.+an2;b12;+b22;+b32;+.bn2; a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn2; 等号成立条件： a1:b1=a2:b2=

6、 =an:b当 nai=0或 时 ai 和 bi 都等于 0, 不考虑 ai:bi , i=1,2,3, ,）n 三角形式 bi=0a2+b2+c2+d2-ca2+b-d2注：“表”示平方根, 向量形式 | |,=a1,a, ,an, =b1,b, ,bn（ n N, n2） 等号成立条件： 为零向量,或 =（ R）； 一 般 形 式 （ai2;bi2; ai bi2; 等号成立条件： a1:b1=a2:b2= =an:bn,或 ai, bi 均为 零 ； 上 述 不 等 式 等 同 于 图 片 中 的 不 等 式 ； 推 广 形 式 x1+y1+ x2+y2+ xn+yn x1/n+ y1/

7、n+ 注：“n x表”x1 , x2, , xn 的乘积,其余同理；此推广形式又称 卡尔松不等式 ,其表述是：在 示 m*n 矩阵 中,各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积； （应为之积的几何 平均之和） 编辑本段 柯西不等式的证明 二维形式的证明 a2+b2c2+d2 （ a,b,c,d R=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2 2abcd+b2 c2=ac+bd2+ad bc2 ac+bd,2等在且仅在 ad bc=0 即 ad=bc 时成立； 号 三角形式的证明 a2+b2+c2+d2-ca2+b-d2 证 明 ： a2+b

8、2+ c2+d22=a2+b2+c2+d2+2* a2+b2* c2+d2 a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示 绝 对 值 ； * 表示乘 a2+b2+c2+d2-2 （a*c+b*d ） =a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2 =a-c2+b-d2 两边开根号即得 a2+b2+ c2+d2 -c2+ba-d2一般形式的证明 求 证 ： ai2 bi2 ai bi2 /2 证 明 ： 等 式 左 边 =ai2bj2+aj2bi2+. 共 n2 项 等 式 右 边 = （aibi）ajbj+ajbjaibi+. 共 n2 /2 项 用均值不等式简洁证明 等式左

9、边 等式右边 得证 第 3 页,共 15 页向量形式的证明 令 m =a1, a2, , an , n=b1, b2, , bn m n=a1b1+a2b2+anbn=|m |n |cos= a12+a22+ +an2 b12+b22+ +bn2 cos cos 1 a1b1+a2b2+ +anbn a12+a22+ +an2 b12+b22+ +bn2注：“表”示平方根； 注：以上仅是柯西不等式部分形 式的证明； 8确定值不等式 ：定 理 | a | | b | | a b | | a | | b |； 三角不等式 | a | | b | | a b | | a | | b | a,b同号时

10、右边取“ =”,a,b 异号时左边取“ =” 推论 1： | a1 a 2 an | | a1 | | a 2 | | an | . 推论 2： | a | | b | | a b | | a | | b | 不等式的证明 基本学问 ：证明不等式时,常用的基本方法是比较法,综合法,分析法； 1比较法 ： （ 1）求差比较法： a b0aabba1（ 2）求商比较法： bb02综合法 ：由已证不等式和不等式性质推证结论； 3分析法 ：从结论动身,分析使这个不等式成立的充分条件,如这些充分条件 均具备,就可判定欲证的不等式成立； 4反证法：（正难就反） 反设结论； 推出冲突； 确定回答； 5换元法

11、： 常见类型（最常见的 ） 2 如 x 2 y 1,就设 x cos 2,如 x 2 y 1,就设 x sec . y sin y tan 2 如 x 2 y 1, 就设 x r cos ,且 r 1. y r sin 如 x 1,就设 x sin , R. 第 4 页,共 15 页2 如 x 2 y 2 a , 就设 x a cos . a x cos . y asin 2 如 ax 2 by R2R a x 2 R b y 2 1, 就设 R b y sin 如 0 x 1, 就设 x cos ,0 2或 x R 2 . sin , 2如 x 1, 就设 x sec , 0 2. 如 x

12、R,就设 x tan , 26放缩法： 适当放缩,适应结论 2 . 7判别式法： 依据已知（或构造）的一元二次方程的根,一元二次不等式的解 集,二次函数的最值等性质确定其判别式应中意的条件,从而得证； 8最值法 ： x y 恒成x ymax ； x y 恒成x ym i n 立 立 （略） 9导数法,添项法,几何法,构造函数法 不等式的解法 除已讲的一元一次不等式,一元二次不等式, 简洁高次不等式,分式不等式的解法外, 把握 无理不等式,指数不等式,对数不等式的解法； 基本学问 ： 1 无理不等式： f x g x g x 0或 g x 0f x 2 gx f x 0 f x g x 0g x

13、 f x 0或0 时无g x 解 f x g x 2 f x g x型 f x 0定义域 g x 02 指数不等式： a f x a 1 f x g x a g x f x g x a f x 0 aa 1g x f x gx 第 5 页,共 15 页3 对数不等式： log a f x log g x f x 0g x 0a 1 f x g x log a f x 0 a 1log a g x f x 0g x 0f x g x 含确定值的不等式的解法 基本学问 ： 1实数的确定值的意义（前面已讲,此略） 2和差的确定值与确定值的和差的关系： 定 理 | a | | b | | a b |

14、| a | | b |； 三角不等式 号时左边取“ =” | a | | b | | a b | | a | | b | a,b 同号时右边取“ =”, a,b异 推 论 1| a1 a 2 an | | a1 | | a 2 | | an | . 推 论 2| a | | b | | a b | | a | | b | 3含确定值的不等式的解法 x a 0 x a, a ； x aa 0 x ax x 0 ； aax R. a x ax , a a, x ； aa000 f x gx f 2 x 2 g x 综合应用 ： 1一元二次不等式的有解问题,恒成立问题； 2一元二次的有解无解问题；

15、3二次函数的最值问题； 4多面体和旋转体的面积,体积的最值问题； 5点,线,面之间的位置关系问题； 6三角式的最值问题； 等等； 其次章 解析几何 直线的方程 基本学问 ： 第 6 页,共 15 页1 直线方程与方程的直线（略） 2直线的倾角 ：直线与 x 轴正向所成的最小正角； 3直线倾角 与斜率 k ： 关系 ： k tan y2 y1 90 0 x2 x1 表示： 当 k 0 时 , arctank; 当 k 0 arctank; pai+arctank 时 , 范畴 ： 0 0 ,180 0 ； k R对比 ： 4直线方程的形式 ： 点斜式： y y1 kx x1 ；斜截式： y kx

16、 b； 两点式： y y2 y1 x x1 ； 截距式： x ay b1 ； y1 x2 x1 一般式： Ax By C0 （ A,B 不同时为 0） 特殊的直线方程： 垂直于 x 轴且横截距为 a 的直线方程是 x a , y 轴的方程是 x 0垂直于 y 轴且横截距为 b 的直线方程是 y b , x 轴的方程是 y 05特殊形式和一般形式之间的关系 ： 第 7 页,共 15 页 点斜式是四种特殊形式中最基本,最特殊的； 在确定条件下,特殊形式和一般形式之间可以互化； 6直线方程的一般求法： 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出； 待定系数法：设方程,求系数,定答案； 两直线的位置关系

17、基本学问 ： 1 点与直线的位置 ： 点到直线的距离： 点 P（ x0, y0）到直线 l : Ax By C0 的距离： d Ax0 By0 C 2 A 2 B 两平行直线 Ax By C1 0 和 Ax By C 2 0 间的距离： dC1 C2 2 A 2 B 2两直线的平行与垂直： 直线位置关系： 设直线 l1 和 l 2 分别有斜截式方程 此时,斜率存在 ： l1 : y k1 x b1 , 1 ； l 2 : y k 2 x b2 . k 1 k 2 两线平行： l 1 l2 k1 k2 且 b1 b2 ； 两线垂直： l 1 l 2 3两直线所成的角： tan 1 k 2 k 2

18、 k1 k1 0 ,180 ； 0 0 tan 1 k 2 k 2 k1 k1 0 ,90 0 0 4两直线的交点 ：设直线 l1 : A1x B1 y C1 0,l 2 : A2x B2 C2 0 ,就 A1 x B1 y C1 0 A1 B1 C1 （ 1） A2 x B2 y C2 0 无 解 l 1 l2 A2 B2 C 2 . A1 x B1 y C1 0 A1 B1 （ 2） A2 x B2 y C2 0 有唯独解 l1 与 l 2相交 A2 B2 . 第 8 页,共 15 页A1 （ 3 ） A1 x B1 y C1 0有 无 穷 解 l 1 与 l 2重A B C1. 或 0A

19、 x B y C2A2 B2 C2 B1 B2 , 且 C 合 1C2A2 5巧设直线方程 ： 过两点 x1 , y1 , x2 , y2 的任意直线： y y1 x2 x1 y2 y1 x x1 ； 过点 Px0 , y0 的直线： Ax x0 B y y0 0 A B 0 或 y y0 k x x0 ； 与 直 线 Ax By C 0平 行 的 直 线 ： Ax By m 0m C 或 y A x m; B （ B 0, m C） 与直线 Ax By C 0 垂直的直线： Bx Ay m 0 或 y B x m（ A 0 ） A 过直线 A1x B1y C1 0 与 A2 x B2 y C

20、2 0 的直线： A1x B1 y C1 A2x B2 y C2 0（不表后直线） ； 简洁的线性规划 基本学问 ： 1平面区域的判定 设直线 l : Ax By C0如 A0, 就 Ax By C 0 表示 l 右半平面区域； 就 Ax By C0 表示 l 左半平面区域 . （同正右方,否就左方 ） 如 B0,就 Ax By C 0 表示 l 上半平面区 域； 就 Ax By C0 表示 l 下半平面区域 . （同正上方,否就下方 ） 2线性规划 线性约束条件 : 对于变量 x,y 的约束条件,都是关于 x,y 的一次不等式； 目标函数 ：欲达到最值所涉及的变量 x,y 的解析式 Z=f

21、x,y 线性目标函数 ：当解析式 Z=f x,y 是 x,y 的一次式时 称 线性规划： 求线性目标函数在约束条件的最值问题 可行解： 中意约束条件的解 x,y 可行域： 由全部可行解构成的集合 最优解： 使目标函数取得最值的解 整点的求法： 第 9 页,共 15 页目标函数的斜率为正,为负时的区分： 曲线与方程 基本学问 ： 1曲线的方程,方程的曲线 在直角坐标系中, 假如某曲线 C（看着适合某条件的点的集合或轨迹） 上的点与一个二 元方程 f x, y 0 的实数解建立了如下的关系： （ 1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f x, y 0 的解；（纯粹性） （ 2） 方程 f x, y

22、 0 的解为坐标的点都是曲线上的点 ,（完备性） 那么,这个方程叫做 曲线的方程 ；这条曲线叫做 方程的曲线（图形） 2 如曲线 C 的方程是 f x, y 0 ,就 点 P0 x0 , y0 在曲线 C 上 f x0 , y0 =0.3求曲线方程的一般步骤 ： （1）建立适当的坐标系,设曲线上任意一点的坐标为 M（ x, y ） .（2）写出适合条件 p 的点 M 的集合 P M p M ; （ 可据情省略 ） （3）用坐标表示条件 pM ,列出方程 f x, y 0 ； （4）化方程 f x, y 0 为最简形式 （ 5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . （ 可省略 ） 圆

23、的方程 基本学问 ： 1圆的定义： 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆. 定点就是 圆心（确定圆的位置） ,定长就是半径（确定圆的大小） 2圆的方程： 圆的标准方程 ： x 2 a y b2r 2,圆心在 C（ a, b）,半径为 r 圆的一般方程 ： x2 y2 Dx Ey F 0 , A化为标准方程 x D 2 2 y E 2 2D22 E 4F 4第 10 页,共 15 页B圆心坐标为（ D 2, E ）,半径 r1D22 E 4 F 0. 0 4 AF 0222 C方程 Ax Bxy 2 Cy Dx Ey F 0 表示圆 B 0A C D22 E 圆的参数方程 2 A圆

24、x 2 y 2 r r 0 的参数方程为 x r cos 是参数 y r sin B圆 x 2 a y 2 b r2 的参数方程为 x ar cos 是参数 y br sin 2点,直线,圆的位置关系： 点在圆内,上,外； 直线与圆相离,切,交； 圆与圆相离（内离和外离）,切（内切和外切）,交； 3巧设与圆有关的方程： 如直线 l : Ax By C2 0 ,圆 C ： x 2 y 2Dx 2 Ey F 00（圆 C , C , C 2圆 C1： x 2 y 2 D x E y F 0,圆 C ： x 2yD x E y F 均存在） 过直线 l 和圆 C 交点的圆系方程为： 2 x 2 y

25、Dx Ey F Ax By C 0 过圆 C1 和圆 C 2 交点的圆系方程为： x 2 y 2 Dx E y F x 2 y 2 D x E y F 0 （不含 C ） 过 圆 C1 和 圆 C 2 交 点 的 直 线 （ 公 共 弦 ） 方 程 为 ： D1 D 2 x E1 E2 x F1 F2 0第 11 页,共 15 页定义 第三章 圆锥曲线 是椭圆上任一点） 椭 圆 基本学问 ： 椭圆的一般式 ： 2 mx 2 ny 1m 0, n 0, m n 1平面内与两个定点 F1, F2 的距离的和等于常数（大于 F1F2 ）的动点的轨迹叫椭圆 . 2平面内与确定点的距离和确定直线的距离的

26、比是常数的动点的轨迹是椭圆； （下设 M x 0 , y 0 图 形 1 长 2 a ,短轴长 2b,关系 a 2 b 2 c2 , ab0, a c 0； 相 2离心率 ec 0 a e1 cos 2cos 2；3 椭圆面积 S ab ； ； 4. 通径端点坐标 c, b2,通径长 = 2 b 2= 2 a ec ；两准线间的距离 2 2a 同 c aa5弦长 AB 1k 2a12 k x 1x 211y 1y 2； k 2点 6 P x0 , y 0 在椭圆内 x 0 2y0 21; P x , y 在椭圆外 x0 2y 0 21; a2b2a2b2a c； 7如过焦点 F1 的弦两端点为

27、 A,B,就 CABF 24a ； 8 MF max a c, MF min 9在焦点 F1 MF 2 中, S F1MF 2 2 b tan 2； ac tan 2tan 2； ac 10焦半径为直径的圆与长轴为直径的圆相内切,焦点弦为直径的圆与相应准线相离； 不 方程 11 椭圆上不同三点 A x1 , y1 , Bx2 , y 2 , C x3 , y3 对同一焦点的三条焦半径成等差数列 12 x2 x1 x3 或 2 y2 y1 y3 12如焦点弦 P, Q 两端点在相应准线上的射影为 P , Q ,就 P FQ 是锐角； 2 x 2 y 1; x a2 m y 2 n 1y 22 x

28、 1; y an 2 x b2 m a2b22b2a2b222焦点 左： F1（ c, 0） 右： F2（ c, 0） 下： F1（ 0, c） 上： F2（ 0,c） a 左：- a,0 ,右 a,0 ,上：0,b ,下 0,-b左： -b,0 ,右： b,0 ,上： 0, a ,下： 0,- 顶点 第 12 页,共 15 页同 准线 左： x a2,右 : x a2下： y a2,上： y a2c c c c 点 焦半径 MF1 a ex0 , MF2 a ex0 MF1 a ey0 , MF2 a ey0 参数方程 x ma cos bsin （ 是参数） x mbcos （ 是参数）

29、y ny nasin 双曲线 定义 基本学问： 双 曲 线（ 一般式： 2 mx 2 ny 1 mn 0 ） . 1.平面内到两定点 F1, F2 的距离的差的确定值等于常数（小于 F1F2）的动点的轨迹叫双曲线 2.平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是双曲线 ； 图 形 2 1实轴长 2a,虚轴长 2b,关系 c a2b2, c a0, c b0 ；2离心率 e c e 1； a不 相 方程 3弦长公式,通径端点坐标,通径长公式,两准线间距离公式同椭圆 ； 4. 焦点弦为直径的圆与相应准线相交； 同 5过焦点 F1 的弦两端点为 A, B,如 AB m, 就 C

30、ABF2 4a 2m； 点 6在焦点 F1 MF 2 中, S F MF 1 2 2 b cot 2； ac tan 2cot 2； ac 2 x y 21; x am 2 y b2 n 1y 22 x 1; y a2 m x b2 n 1a2b2222 a b222焦点 左： F1（ c, 0） 右： F2（c, 0） 下： F1（ 0, c） 上： F2（0, c） 同 顶点 左： a ,0 , 右：（ a,0 ） 下： 0, a , 上：（ 0, a ） 点 准线 左： x a2,右： x a2下： y a2,上： y a2c c c c 焦半径 MF 1 aex0 , MF 2 aex0 MF1 aey0 , MF 2 aey0 y bx y ax 渐 ab进 求法：代入公式 y bx 求得 求法：代入公式 y ax 求得 ab线 令 2 x 2 y 0,得 x y 0令 y 2x 20,得 y x 0aba2b2aba 2 b 2 第 13 页,共 15 页巧 1同渐进线 y bx 的双曲线方程设为： 2 x 2 ka 2 y 2 kb 1 k 0 或 x 21y 2aa2b22 同渐进线 y ax 的双曲线方程设为： 2 y 2 x 1 k 0 或 y 2x 2b2 ka 2 kb 2 y a2b23同渐进线 y kx 的双曲线