概率论与数理统计第一章教案

1、第一节随机事件在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象:一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象。例如：一物体从高度为h(米)处垂直下落，则经过t(秒)后必然落到地面，且当高度h一定时，可由公式h=gt2得到，t=/g(秒)。2异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。例如：(1)在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将出现正面还是反面。将来某日某种股票的价格是多少。概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。二随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察，我们把对随机

2、现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E。例如，观察某射手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市120急救电话昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。随机试验具有下列特点：可重复性；试验可以在相同的条件下重复进行;可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知。三、样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的，我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点，记为e(或o)；它们的全体称为样本空间，记为S(或Q).例如：1)在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中有两个样本点：正面、反面.样本

3、空间为S=正面，反面或S=e,e(e=正面，e=反面)。1212在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT。在抛掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为S=1,2,3,4,5,6。观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：i次，i=0,123样本空间可简记为S=0,1,2,3，.。在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不可数):t小时，样本空间可简记为S=110tv田=0,+。注:同一

4、个随机试验，试验的样本点与样本空间是要根据要观察的内容来确定的。在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件，事件可分为以下三类：随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事情。必然事件:在每次试验中都必然发生的事件。不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。显然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是两个特殊的随机事件，并将随机事件简称为事件。五、事件的集合表示任何一个事件都可以用S的某一子集来表示，常用字母A,B,等表示。称仅含一个样本点的事件为基本事件;含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件。显然，样本空间S作为事件是必然事件，空集作为一个事件

5、是不可能事件。六、事件的关系与运算事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理为了方便，给出下列对照表：表注：两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件，而且，互斥的概念适用于多个事件，但是对立概念只适用于两个事件。七、事件的运算规律由集合的运算律，易给出事件间的运算律：交换律；结合律；分配律；自反律；对偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，记A-“甲中靶”B-“乙中靶”c-“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：“甲未中靶”：a;甲中靶而乙未中靶：AB;(3)三人中只有丙未中靶：ABC;(4)“三人中恰好有一人中靶”:ABCUABCUABC；“三人中

6、至少有一人中靶”:AUBUC；(6)“三人中至少有一人未中靶”:AUBUC;或ABC;“三人中恰有两人中靶”:ABCUABCUABC；“三人中至少两人中靶”：ABUACUBC；“三人均未中靶”：ABC；“三人中至多一人中靶”:ABCUABCUABCUABC；“三人中至多两人中靶”:ABC;或AUBUC;注：用其它事件的运算来表示一个事件方法往往不惟一，如上例中的和(11)实际上是同一事件,应学会用不同方法表达同一事件，特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法。课堂练习设当事件A与B同时发生时C也发生，则().(A)AUB是C的子事件；(B)ABC；或AUBUC;(C)AB是C

7、的子事件；(D)C是AB的子事件.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销,则A的对立事件为().甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销.课后作业P6,1,2,4第二节随机事件的概率一、频率及其性质定义1若在相同条件下进行n次试验，其中事件A发生的次数为r(A),贝U称nf(A)=心为事件A发生的频率。nn频率的基本性质：0f(A)1；nf(s)=1；n(3)设A,A，,A是两两互不相容的事件，则TOC o 1-5 h z12nf(A,UA2U-UA)=f(4)+f(A2)+f(A)-12nn1n2定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件a发

8、生的频率f(A)=q随着nn试验次数n的增大而稳定地在某个常数p(op0;完备性：p(s)=1；可列可加性：设a,a，是两两互不相容的事件，则有12则称P(A)为事件A的概率.三、概率的性质性质1P(0)=0性质2(有限可加性)若事件A,A，,A两两互不相容，则有12性质3对任一事件A，有P(A)=1-P(A)性质4P(A-B)=P(A)-P(AB);特别地，若AuB，则有(1)P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(B)P(A)性质5对任一事件A，P(A)0,则称P(BIA)=P(AB)(1)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率。相应地，把P(B)称为无条件概率。般地，P(B1

9、A)丰P(B)。2、条件概率的性质0P(A)2)相互独立，则其中任意k(1k2)相互独立，则将A,A，,A中任意12n12nm(1m2)个随机事件，则12nA,A,A相互独立宀A,A，,A两两独立.12n1/2问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果：事件A发生（记为A）或事件A不发生（记为A）,则称这样的试验为伯努利（Bermourlli）试验.设将伯努利试验独立地重复进行n次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验,或简称为伯努利概型.注n重伯努利试验的特点是：事件A在每次试验中发生的概率均为p，且不受其他各次试

10、验中A是否发生的影响.定理3（伯努利定理）设在一次试验中，事件A发生的概率为p（0p1）,则在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为推论设在一次试验中，事件A发生的概率为p（0p1）,则在n重贝努里试验中,事件A在第k次试验中的才首次发生的概率为注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事件A在前k-1次试验中均不发生而第k次试验中事件A发生”，再由伯努利定理即推得.例5某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为,现若干门炮同时各射发,（1）问欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮（2）现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机，问

11、:每门炮的命中率应提高到多少课堂练习某工人一天出废品的概率为，求在4天中：都不出废品的概率；至少有一天出废品的概率；仅有一天出废品的概率；最多有一天出废品的概率；第一天出废品，其余各天不出废品的概率.课后作业P253,6,8第一章习题课一、基本知识点1、概率的定义2、概率的性质3、基本公式：古典概型、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、独立性、伯努利定理二典型例题例1、已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AjB)=0.6,求P(AB)，P(AIB)，P(AoB)例2、P(A)=0.4,P(B)=0.2,(1)若A,B互不相容，则P(AjB)=(2)若A,B相互独立，则P(AjB)=例3、设某批产品中，甲，乙丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件，求取到的是次品的概率；经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率。例4发报台分别以概率和发出信号“”及“-”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台分别以概率及收到“”及“-”；又当发出信号“-