优秀全国数学建模大赛2002a

1、2002社大学生数学建模竞赛A车灯线光源的优化设参注意：以是命题人给出的学生的解答地进行评阅一. (略l W，B,C hB (lWhC(lW，hB(l和hC (l) 的表达式，再建立整个问题的数学模型yx以下均以毫米，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z 2002社大学生数学建模竞赛A车灯线光源的优化设参注意：以是命题人给出的学生的解答地进行评阅一. (略l W，B,C hB (lWhC(lW，hB(l和hC (l) 的表达式，再建立整个问题的数学模型yx以下均以毫米，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z 1) P(0,w,15)能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)xy设反射

2、点的坐标为Qx, .记入射向量为a ,该点反射面外法线方向为b ,不难到反射向量c 2zac a CABbc记r2 x2 y2 ,ra (x,y60b (x/30,y/P从而得c (c c c aycx rbxw(2y2 r2 r2 cy 1800r2 3600wyrcz 60(r2 注意到反射光通过 C 点,应kcx x,kcy 2600 kcz 25015r /2第1页，共4rk为常数x 0或k 两组方程.由此得反射点坐标满足以x y5 (w2600)y4 1800y3 (1498200w4680000)y2 (9360000w810000) 13(wy rk为常数x 0或k 两组方程.由

3、此得反射点坐标满足以x y5 (w2600)y4 1800y3 (1498200w4680000)y2 (9360000w810000) 13(wy x 5200y 900 y通过计算可知,wC 1.56,w wCr2 362的实根00即无反射点wwC时,Q (0,y y2 60i 1,20而第二组方程仅当3.8119 w 1.5609时存在满足r2 362的一对实根,y个反射点(x, ),4若反射点的坐标为Q(x, yz) ,则位于点P(0,w,15)Q点的能量密度L 面积的能量, 正比于光强度)4C)PQ (y w)2 (r2 /6015)2 ,QC (2600 y)2 (25015r2

4、/6015)xz轴的夹角25015r2 /cos .2)hB (lhC (l)的表达长l 的具P(0w,15的长dw的微小线光源段反射到C4E(w) fi (w)/,wl /2,wC(w) 400,i fC)ii0,w30,wC 0,wfi(w) 4,i C)i长l 的具C第2页，共4l /hC(l) l /类hB (l) 的表达式.相应的反射点方程x y5 (w1300)y4 l /hC(l) l /类hB (l) 的表达式.相应的反射点方程x y5 (w1300)y4 1800y3 (1498200w2340000)y2 (4680000w810000) y 13(w x 2600y900

5、 ywB 0.7803）W则它反射到BC点的能量密度分别为hB(lW hC (l) W .问题的数学模型为:和W0 l l s.thh(l )(l )BC三. hB(lhC (l可以用数值积分求得. hB (l0l 2wBB0h (l)l lBBB l lB0其中l l 的最大范围，例如取为20mm。h (l) 也有类似BB0C性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解hB(l2hC (l,l l*,ll ,不难看出l l l 落在(l ,lB *B 令w* 1/hC (l*) 2/hB(l* )现证w*为问题之最优值。事实上，对可行域中任一(l,w)，当l l* ,有w 2H /hB (l) 2H /hB (l* ) w*,（用到l l* 时hB ）。当l l* w 2H hC (l 2H hC (l* w*，（l l* hc ）。w* 的确是最小值。事实上数值结果为l 3.86,l 7.62,l BC*四. 第3页，共4区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，x 轴对称的.为mm),区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，x 轴对称的.为mm),五. (1)计算hB (l(hC (l.具体的做法是在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, )点附近取一