高数样板教案

1、高等数学教学 样板教案授课次序 01 教学课题教学基本指标新学问课微分方程的基本概念可分别变量的微分方程课的类型教学方法讲授教学手段演示教学重点微分方程、微分方程的阶、微分方程的通解、微教学难点微分方程的通解和微分方程的参考教材分方程的特解,可分别变量的微分方程的解法作业布置特解武汉高校与同济高校编微积分学习指导微积分标准化作业安玉伟等编高等数学定理方法 问题大纲要求明白微分方程的基本概念把握可分别变量的微分方程的解法双语教学 微分方程 differential equation 可分别变量的微分方程：separable differential equations 微分方程的通解 gener

2、al solution of differential equation 微分方程的阶 order of differential equation 微分方程的特解 particular solution of differential equation 初值条件 initial condition 教 学 基 本 内 容第四章 微分方程 备注栏第一节 微分方程的基本概念其次节可分别变量的微分方程x,y处的切线斜率等于2x,一、引例： 一条曲线通过点2,1,且在该曲线上任意一点M求该曲线方程；解：设所求曲线的方程为yy x ；由导数的几何意义知在x,y 点切线的斜率即为在该点的导数,故曲线方程

3、应满意对上式两端积分,得仍应满意dy2xx22C（1）dx2x dxy由已知条件yy x 当x1 时,y（ 2）代入上式,得22 1C即C1故所曲线方程为y2x dxx21二、基本概念微分方程：如（1）将含有未知函数的导数的等式叫做微分方程；常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；微分方程的阶：微分方程中显现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶；微分方程在区间 I 上的解：如在区间 I 上有定义的某个函数满意微分方程,即将此函数代入微分方程后能使微分方程成为恒等式,就称该函数是微分方程在区间 I上的解；微分方程的通解：如微分方程的解中含有相互独立的任意常数,并且任意常数的

4、个数与微分方程的阶数相同,就称这样的解为微分方程的通解；定解条件：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件（初值条件）；特解：由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到得解称为特解；微分方程初值问题或柯西问题：求微分方程满意初值条件得特解得为题称为微分方程初值问题或柯西问题；积分曲线：微分方程解得图形称为微分方程得积分曲线；三、可分别变量的微分方程1、定义： 凡是能够化为 g y dy f x dx 形式的一阶微分方程就称为可分别变量的微分方程,将可分别变量的微分方程化为 g y dy f x dx * 形式的过程称为分别变量,而对g y dy f x dx 两端同时积分来求解的方法

5、称为分别变量法；那么我们将怎样解可分别变量的微分方程？通常我们采纳两边积分的方法求解；假定方程（ * ）中的函数gy 和 fx是连续的；设yx是方程（ * ）的解,将它代入（*）中得到恒等式将上式两端积分,并由y x 引进变量 y ,得设 Gy 及 Fx 依次为 gy 及 fx的原函数,于是有Gy=Fx+C 因此,方程（ * ）的解满意上式；2、举例例 1、求微分方程dye xy的通解；dx解：所给微分方程是可分别变量的,分别变量后可得dyexdxy两端积分,得lnyx eC 1从而这里C2C e1ye exC 10e C 1ee xC2e exC 为任意常数,即得所给方程为任意的正常数；留意

6、到y也是方程的解,令的通解含量yCe ext0M0, 求衰变过程中铀例 2、衰变问题 : 衰变速度与未衰变原子含量M 成正比 , 已知MMt随时间 t 变化的规律 . 即解：衰变速度dM,由题设条件dMM0衰变系数）dtdtdMdt,lnMtlnC,MMCet,代入Mt0M0得M0Ce0C,MM0et3、可分别变量的微分方程的初值问题初值问题gydyyfx dx的解为ygy dy0 xfx dx的解y|xx00y0 x xxcosydxex1sinydy,y|x04例 3、求微分方程e解：所给微分方程是可分别变量的,分别变量后可得tanydyexex1dx利用可分别变量的微分方程初值问题的解法

7、yytanydyyxx edxx1 0 x e141ydcosxde4cos0ex1即lncosy|ylnex1x | 04 化简整理可得ln2lncosyln2lnex1 2即22ye21cosx或写成 1exsecy22小结：本节基本概念：微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解; 初始条件；特解；初值问题；分别变量法步骤:1 、分别变量 ;2 、两端积分 -0隐式通解 . 摸索题： 1、函数y2 3 ex是微分方程y4y的什么解 .2、求解微分方程dycosx2ycosx2y.dx练习题：一、填空题 : 1、x y 2 y x 2y 0 是 _阶微分方程；22、L d Q2 R dQ

8、Q 0 是 _阶微分方程；dt dt c3、dsin 2 是_阶微分方程；d4、一个二阶微分方程的通解应含有 _个任意常数 . 二 、 确 定 函 数 关 系 式 y C 1 sin x C 2 所 含 的 参 数 , 使 其 满 足 初 始 条 件y x 1 , y x 0 . 三、 设曲线上点 P x , y 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 y 轴平分 , 试写出该曲线所满意的微分方程 . 四、 已知函数 y ae xbe xx 1 , 其中 a , b 为任意常数 , 试求函数所满意的微分方程 . 五、 求以下微分方程的通解 : 1 、sec 2xtgydx sec 2ytgxdy 0；2、 e x ye x dx e x ye y dy 0； 3 、 y 1 2 dyx 3 0 . dx六、 求以下微分方程满意所给初始条件的特解 : 1 、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0；42、cos ydx 1 e x sin ydy 0 , y x 0 . 4七、质量 为1 克 的质点受外力作用作直线运动 , 这外力和时间成正比 , 和质点运动的速度成反比 . 在 t 10 秒时 , 速度等于 4 克 厘米 / 秒 2, 外力为 4 克 厘米 /