柯西不等式在高考中的运用1

1、等号成立条件：当且仅当等号成立条件：当且仅当时。柯西不等式：(1)二维形式bdbd公式变形：bdbd（2）一般形式bd，bbbb,bb,b,ib,iii等号成立条件：n，或,b中有一为零。ibbbiin（3）柯西不等式的三角形式bd设,b,d都是实数，则bdbd.从题型上来分，柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类。其中不等证明问题可细分为分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题；最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题。1、求最值问题（1）求多元变量代数式的最值求多元变量代数式的最小值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边；当求多元变量代数式的最大

2、值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边。6例（2012高考浙江卷文科第9,满足，则6的最小值是（）。B.B.A.D.6解：由解：由，得（*）（*）即即，所以，且时，mb时等号成立。所以的最小值是5，故选C.例7（2014年高考陕西卷理科第15题）设,b,m,且bmand，则mn的最小值为。解：由柯西不等式，得bmmanb即mn.所以mn，当且仅当所以mn的最小值是。例8（2013高考湖南卷理科第10题）已知,b,b，则b的最小值为。解：由柯西不等式得bb，即b，当且仅当b时等号成立，即，即b时取最小值12.例9（2011年高考浙江卷理科第16题）设,，则的最大值是。，即.解：由，即.

3、由柯西不等式，得由柯西不等式，得，当且仅当时，取等号。即，所以.A.A.,时，所以,例10（2011bb，则）bB.4C.D.5解：由式子知，故选C。bbb7.（2013高考陕西）已知,b,m,均为正数，且bmn，则ambnbm的最小值为.【答案】2【解析】由柯西不等式可得ambnbmambmbnmnb1.【2013,b,b，则b的最小值为.【答案】12【解析】bbb且当b时，取最小值为12.【考点】柯西不等式.1.【2015成都月考】对于，当非零实数,b满足b且使b最大时，的最小值为.b【答案】【解析】由题可知：bb，bbbbb即b，当且仅当，即b（同号）时，b取得最大值，此时，b当且仅当,

4、b,时，取最小值。b（2）求一个变量的最值例10.（2014年高考浙江卷文科第16题）已知实数,b,满足b，b，则a的最大值是。b解：由b，b得b由柯西不等式，得bb.（*）（*）将（*）式带入（*）式得，解得经验证，当b时，.所以a的最大值是。.评注求一个变量的最值的主要方法是将目标变量分离出来，然后利用柯西不等式建立目标变量的不等式，进而解不等式获得该变量的最值。1.函数的最大值。解析：由柯西不等式得【变式】2015江苏易大联考】求函数：最大值.【解析】易求得原函数的定义域为，即时等号成立，所以.故函数：最大值为。（2015陕西卷文-24.选修4-5：不等式选讲）【原题】已知关于的不等式b

5、的解集为（）求实数,b的值；例4（2008年全国卷理科）若直线过点M，则（）.（）求的最大值例4（2008年全国卷理科）若直线过点M，则（）.2、不等式证明问题b.b.bC.bb解由柯西不等式，得解由柯西不等式，得.bb又点M在直线上，即，bbb，即例1（2013年高考文科24题第2小题）设,b,b.b证明：.bb证明由柯西不等式，得bbbb代入b，得b例2（2009年高考浙江卷）已知正数,.证明：.证明由柯西不等式，得.评注从例1和例2可以看出，对于分式和不等式的证明，可以考虑给该分和配上一个由各个分式的分母的和构成的因式。例3（2008,b,bbbb.bbbb即b即bb.（*）bb，即，即

6、b.bb结合（*）式，得bbb评注当使用一次柯西不等式后无法得到结果时，可考虑再次应用柯西不等式.例5（2013年高考浙江卷，自选模块）设正数,b,满足b，求证，并给出等号成立的条件.由柯西不等式，得证明由柯西不等式，得即，.当且仅当时，即,b时，等号成立.当且仅当时，即,b时，等号成立.代入b，得.即等号成立的条件是b.b（【试题解析】）由b，得bb则b（b（当且仅当即时等号成立，故（3）在其他题型中的运用例5（湖北卷，理9）已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个FPF）A.B.C.3.D.2.解不妨设椭圆方程为bb，其离心率为e，双曲线方程为mm，其离心率为e，两曲线的公共点在第

7、一象限，PFd，PFd，FF，则ddddmdddd可得m，即ee由柯西不等式得由柯西不等式得eeeee，eee当且仅当e,e时等号成立，故ee的最大值为eee，从而选A。评注：此题可以转化为二次函数问题求解，但是不易想到，很灵活，且计算量较大。由此我们可以看出，在解题中若能善于利用柯西不等式，有时会非常简捷。,例11.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线,与相交于点，与椭圆相交于E,F两点.求四边形AEBF面积的最大值.解析：，4所示，由椭圆的对称性易知四边形AEBF的面积等于四边形的面积的两倍.设点F,，所以四边形AEBF面积.由柯西不等式的变式公式，得OBF，当且仅当，注意到且，即时上式取等号.故四边形AEBF面积最大值为.点评：观察目标函数变形为以便于利用柯西不等式的变形公式.利用柯西不等式的变形公式是求解问题的关键，敬请读者细细品味和充分领悟。（3）柯西不等式的三角形式设,b,d都是实数，则bdbdbd助三角形任意两边和大于第三边加以理解。下面谈谈这一形式在解题中的应用。例4.求函数的最小值。解析：由bdbdbd，得，点评：在应用三角形式求最小值时，我们要注意两点：在使用公式过程中，要能够抵消变量；要尽可能的使定值最大。比如本题若变成虽然产生结论，但“2”并不是最小值。例5.求函数的最大值；解