高等数学复旦大学出版第三版下册期末课后答案习题全

1、高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 习题七 1, 在空间直角坐标系中 ,定出以下各点的位置 : A1,2,3; B- 2,3,4; C2,- 3,- 4; D 3,4,0; E0,4,3; F3,0,0, 解: 点 A 在第卦限 ;点 B 在第卦限 ;点 C 在第卦限 ; 点 D 在 xOy 面上 ;点 E 在 yOz 面上 ;点 F 在 x 轴上, 2, xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？ yOz 面上的呢？ zOx 面上的呢？ 答: 在 xOy 面上的点 ,z=0; 在 yOz 面上的点 ,x=0; 在 zOx 面上的点 ,y=0, 3, x 轴上的点的坐标有什么特点？ 答:

2、 x 轴上的点 ,y=z=0; y 轴上的点 ,x=z=0; z 轴上的点 ,x=y=0, 4, 求以下各对点之间的距离 : y 轴上的点呢？ z 轴上的点呢？ 1 0,0,0,2,3,4; 2 0,0,0, 2 ,- 3,- 4; 3 - 2,3,- 4,1,0,3; 4 4 ,- 2,3, - 2,1,3, 2 2 2解:1 s 2 3 4 29 2 2 22 s 2 3 4 29 2 2 23 s 1 2 0 3 3 4 67 2 2 24 s 2 4 1 2 3 3 3 5 , 5, 求点 4,- 3,5到坐标原点与各坐标轴间的距离, 解: 点 4,- 3,5到 x 轴 ,y 轴,z

3、轴的垂足分别为 4,0,0,0 ,- 3,0,0,0,5 , 故 s0 4 2 3 25 2522 2 2sx 4 4 3 0 5 0 34 2s y 4 2 3 3 5 2 41 2 2 2sz 4 3 5 5 5, 6, 在 z 轴上 ,求与两点 A- 4,1,7与 B3,5,- 2等距离的点, 解: 设此点为 M0,0,z,就 2 4 2 17 2 z 2 35222 z 解得 z 14 9 14 M0,0, ,9即所求点为 第 1 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 7, 试证 :以三点 A4,1,9, B10,- 1,6,C2,4,3 为顶点的三角形就是等

4、腰直角三角形, 证明 :由于 |AB|=|AC|=7,且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=| BC|2,故 ABC 为等腰直角三角形, 8, 验证 : a b c a b c , 证明 :利用三角形法就得证,见图 7-1 图 7-1 9, 设 uab 2c, v a3b c. 试用 a, b, c 表示 2u 3v. 解: 2 u 3v 2 a b2c 3 a 3b c 2a 5a 2b4c 3a 9b 3c 11b 7c 10, uuur AB 把 ABC uuur c , BC 的 BC 边分成五等份 ,设分点依次为 D 1,D2,D 3,D4,再把各分点与 A 连接 ,试

5、以 uuuur uuuur uuuur uuuur a 表示向量 D1 A, D2 A, D3 A 与 D4 A,解: D1 A BA uuuur uuur uuuurBD1 c 1 a5uuuur uuur uuuur 2D2 A BA BD2 c a5uuuur uuur uuuur 3D3 A BA BD3 c a5uuuur D A 4 uuur BA uuuur BD 4 c 4 a. 5uuuur11, 设向量 OM 的模就是 4,它与投影轴的夹角就是 解: 设 M 的投影为 M ,就 Pr j OM uuuur OM uuuur cos60 4 1 2. 260,求这向量在该轴上

6、的投影, 12, 一向量的终点为点 B2,- 1,7,它在三坐标轴上的投影依次就是 4,- 4 与 7,求这向量的起点 A 的坐标, 解: 设此向量的起点 A 的坐标 Ax, y, z,就 uuur AB 4, 4,7 2 x, 1 y,7 z 解得 x=- 2, y=3, z=0 故 A 的坐标为 A- 2, 3, 0, 13, 一向量的起点就是 P14,0,5, 终点就是 P27,1,3,试求 : 第 2 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 1 uuuur P1P2在各坐标轴上的投影 ; 2 uuuur P1P2的模 ; 求合力 R 的大小与方向 3 uuuur

7、 P1P2的方向余弦 ; 4 uuuur P1P2方向的单位向量, 解:1 ax uuuur Pr jx P1P23, ay uuuur Pr j y P1P21, az uuuur Pr jz P1P22. uuuur 2P1P22 7 4 2 1 0 2 3 5 14 3 cos uuuur ax P1P2314 cos a y uuuu P1P2114 cos uuuur az P1P22, 14 4 e uuuur P1P2 uuuur P1P2 3, 1, 2 14 3i1j2k , 14 14 14 14 14 14, 三个力 F 1=1,2,3, F 2=- 2,3,- 4, F

8、 3=3,- 4,5同时作用于一点, 余弦, 解: R=1- 2+3,2+3 - 4,3- 4+5=2,1,4 | R | 222 14221 ea ,eb ,ec 来表达 cos 2 , 21 cos 1, cos 4 . 21 21 15, 求出向量 a= i +j+k, b=2i- 3j+5k 与 c =- 2i- j+2k 的模 ,并分别用单位向量 向量 a, b, c, 解: | a | 2 1 2 1 2 13y 轴上 |b | 222 3 2 538 |c | 2 2 2 1 223a3ea , b38eb , c 3ec . 16, 设 m=3 i+5j+8k, n=2i- 4

9、j- 7k, p=5i+j- 4k ,求向量 a=4m+3n- p 在 x 轴上的投影及在 第 3 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 的分向量, 解: a=43 i+5j+8 k+32 i- 4j- 7k- 5i+j - 4k=13 i+7j+15 k 在 x 轴上的投影 ax=13,在 y 轴上分向量为 7j, r 17,解 :设 a ax , ay , az 就有 rr cos r a ir ax a 1, i 1 3 a i1 求得 ax , 2r设 a 在 xoy 面上的投影向量为 r rb 就有 b ax, ay ,0 就 cos 4rrr a br a

10、 b2ax2ay2uuuuur 3MM 2uuuur ,求向径 OM 的 2 ax 2 ay 22 就 ay 1求得 ay 142r 又 a 1, 就2 ax 2 ay 2 az 1从而求得 r a 11 , , 2 2 2 或 , 12 1, 2 222uuuuur 18, 已知两点 M 12,5,- 3,M 23,- 2,5,点 M 在线段 M 1M 2 上 ,且 M 1M 坐标, uuuur 解: 设向径 OM = x, y, z x 11 uuuuur M 1M uuuuur MM 2 x 2, y 5, z 3 3 x, 2y,5 z uuuuur 由于 , M 1M uuuuur

11、3MM 2x 233 x 4y 1所以 , y 53 2 y 4z 335 z z 3故 OM uuuur = 11, 4 1 ,3 , 4uuru 19, 已知点 P 到点 A0,0,12 的距离就是 7, OP 的方向余弦就是 uuur 2 2 2 2解: 设 P 的坐标为 x, y, z, | PA | x y z 12 49 7 7 7 2 , 3 , 6 ,求点 P 的坐标, 第 4 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 得 x2 y2 z 2 95 24 z 6cos 2 x z 2 z 6z1 6, z2 570 2 y 749 又 cos 2 x x

12、2 z 2x 2, x 190 2 y 749 cos 2 x y 2 z 3y 3, y 285 2 y 749 故点 P 190 285 570 的坐标为 P2,3,6 或 P , , , 49 49 49 20, 已知 a, b 的夹角 2 ,且 a 33, b 4 ,运算 : 1 a b; 2 3 a- 2b a + 2b, | b| cos 2 34 13 234解:1 a b = cos |a | 2 3a 2b a 2b 3a a 6 a b 2b a4b b2 3 | a | 4a 2 b 4 | b | 3324 6 4 16 61. 21, 已知 a =4,- 2, 4,

13、b=6,- 3, 2, 运算 : uuur CD 上的投影, 1 a b; 2 2 a- 3b a + b; 2 3 | a b | 解:1 a b46 2 3 4238 2 2 a 3b a b 2a a 2a b 3a b 3b b 2 | a | 2a b 3| b | 2242 2 242 38 36 2322 2 236 38 349 113 3 | a 2 b | a b a b 2 a a 2a b b b | a | 2 2a b | b | 36 2 38 49 9uuur AB 在向量 22, 已知四点 A1,- 2,3,B4,- 4,- 3, C2,4,3, D8,6,6

14、, 求向量 uuur uuru 解: AB =3 ,- 2,- 6, CD =6,2,3 第 5 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 Pr j CD uuur uuur AB uuur uuur AB CD uuur CD 36 2 2 6 34. 622232723, 如向量 a+3 b 垂直于向量 7a- 5b,向量 a- 4b 垂直于向量 7a- 2b,求 a 与 b 的夹角, 解: a+3b 7a- 5b = 7 | a |22 16a b 15 | b |0 a- 4b 7a- 2b = 2 7 | a | 2 30a b 8 | b | 0 由及可得 :

15、 a b a b 12 a b 1| a |22 | b |2| a |2| b |24又 ab 1 2 | b | 0 ,所以 cos a b 1, 2| a | b | 2故 arccos 12 3, 24, 设 a= - 2,7,6,b=4, - 3, - 8,证明 :以 a 与 b 为邻边的平行四边形的两条对角线相互垂直, 证明 :以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为 a+b,a b,且 a+b=2,4, - 2 a- b= - 6,10,14 又 a+b a- b= 2 - 6+4 10+- 214=0 故 a+b a- b , 25, 已知 a =3i+2j - k,

16、b =i- j+2k,求 : 1 a b; 2 2a 7b; 7 j 5k 3 7 b 2a; 4 a a, 解:1 ab21i13j32k 3i 1221112 2a 7b 14a b 42i 98 j 70 k 70k 3 7 b 2a 14b a 14a b 42i 98 j 4 aa0 , 26, 已知向量 a 与 b 相互垂直 1 | a b ab|; 2 |3a b a 2b|, ,且 | a | 3, | b | 4 ,运算 : 1 | a b a b | a aabbab b | | 2a b | 2 | a | | b | sin 24 22 | 3a b a 2b | |

17、3a a 6a b ba 2b b | | 7 b a | 第 6 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 734 sin 84 227, 求垂直于向量 3i- 4j- k 与 2i- j +k 的单位向量 ,并求上述两向量夹角的正弦, 4 1 1 3 3 4解: a b i j k 5i 5 j 5k 1 1 1 2 2 1与 a b 平行的单位向量 e| a a bb| 3 3 i j k sin | a b | 5 3 5 13 , | a | | b| 26 6 26 28, 一平行四边形以向量 a =2,1, 1与 b=1, 2,1为邻边 ,求其对角线夹角的正

18、弦, 解: 两对角线向量为 l 1 a b 3i j, l 2 ab i 3 j 2k 由于 | l1 l2 | | 2i 6 j 10k | 140 , | l1 | 10, | l 2 | 14 所以 sin | l1 l 2 | 140 1 , | l1 | l 2 | 10 14 即为所求对角线间夹角的正弦, 29, 已知三点 uuuur uuur 明: MN MP A2,- 1,5, B0,3,- 2, 1 AC uuur uuur BC ,4C- 2,3,1, 点 M,N,P 分别就是 AB,BC,CA 的中点 , 证 证明 :中点 M,N,P 的坐标分别为 M 1,1, , 3

19、N 1,3, 2uuuur MN 2, 2, 2 1, P0,1,3 2uuur MP uuur AC 3 1,0, 2 4, 4, 4 uuur BC 2,0,3 uuuur MN uuur MP 22i22jj22k 3i 5 j 2k 03311022uuur AC uuur BC 44 3i4444 0k 12i 20 j 8k 0322第 7 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 故 uuuur MN uuurMP 1 AC uuur uuurBC ,4r r ri j k r r30, 1解 : a b ax ay az bx by bz r r r=（a

20、ybz -azby）i +（azbx -axbz）j +（axby -aybx）k r r ur 就（a b）C=（aybz -azby）Cx +（ az bx -axbz）Cy +（axby -ay bx）Cy ax ay az bx by bz Cx Cy Cz r r ur r r ur 如 a,b,C 共面 ,就有 a b 后与 C 就是垂直的, r r ur 从而（a b）C 0 反之亦成立, r r ur ax ay az 2 Q（a b） C bx by bz Cx Cy Cz r ur r bx by bz （b C） a Cx Cy Cz ax ay az ur r r Cx

21、 Cy Cz （C a）b ax ay az bx by bz 由行列式性质可得 : ax ay az bx by bz Cx Cy Cz bx by bz Cx Cy Cz ax ay az Cx Cy Cz ax ay az bx by bz r r ur r ur r ur r r故 Q（a b）C （b C） a （.C a） b 31, 四周体的顶点在 1,1,1,1,2,3,1,1,2 与 3,- 1,2求四周体的表面积, 解: 设四顶点依次取为 A, B, C, D, uuur uuur AB 0,1, 2, AD 2, 2,1 就由 A,B,D 三点所确定三角形的面积为 S1

22、1uuur | AB uuur AD | 1| 5i 4 j 2 k | 3 5 , 222第 8 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 同理可求其她三个三角形的面积依次为 1 2, 2, 3 , 故四周体的表面积 S 12335 2, 232,解 :设四周体的底为 BCD ,从 A 点到底面 V 1 SVBCD h , 3而 SVBCD 1 uuur BC uuur BD 1 4i r r j 2 2BCD 的高为 h ,就 r 8k 9 2又 BCD 所在的平面方程为 : 4x y 8 z 15 041 8 15 4就 h 16 1 64 31 9 4故 V 23

23、 2 333, 已知三点 A2,4,1, B3,7,5, C4,10,9,证 :此三点共线, uuur uuur 证明 : AB 1,3, 4 , AC 2,6,8 uuur uuur 明显 AC 2 AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur 就 AB AC AB 2 AB 2 AB AB 0故 A,B,C 三点共线, 34, 一动点与 M 01,1,1 连成的向量与向量 n=2,3 ,- 4垂直 ,求动点的轨迹方程, 解: 设动点为 Mx, y, z uuuuuur M 0 M x 1, y 1, z 1 uuuuuur 因 M 0 M uuuuuur n ,故 M

24、0 M n 0, 即 2x- 1+3 y- 1- 4z- 1=0 整理得 :2x+3y- 4z- 1=0 即为动点 M 的轨迹方程, 35, 求通过以下两已知点的直线方程 : 1 1, - 2,1, 3,1,- 1; 2 3, - 1,0,1,0, - 3, 解:1 两点所确立的一个向量为 s=3 - 1,1+2, - 1- 1=2,3, - 2 故直线的标准方程为 : x 1y 2z 1 或 x 3y 1z 1 2322322 直线方向向量可取为 s=1 - 3,0+1, - 3- 0= - 2,1,- 3 故直线的标准方程为 : 第 9 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后

25、答案习题全 x 3 y 1z 或 x 1 2y z 3 2131336, 求直线 2x 3y z 40的标准式方程与参数方程, 3x 5 y 2z 10解: 所给直线的方向向量为 s n1 n2 31i12j23k i7 j 19k 522335另取 x0=0 代入直线一般方程可解得 y0=7, z0=17 于就是直线过点 0,7,17, 因此直线的标准方程为 : x y 7 z 17 1 7 19 且直线的参数方程为 : x t y 7 7t z 17 19t 37, 求过点 4,1,- 2且与平面 3x- 2y+6z=11 平行的平面方程, 解: 所求平面与平面 3x- 2y+6z=11

26、平行 故 n=3, - 2,6, 又过点 4,1,- 2 故所求平面方程为 :3x- 4- 2y- 1+6 z+2=0 即 3x- 2y+6 z+2=0 , 38, 求过点 M 01,7,- 3,且与连接坐标原点到点 M 0 的线段 OM 0 垂直的平面方程, uuuuur解: 所求平面的法向量可取为 n OM 0 1,7, 3 故平面方程为 : x- 1+7 y- 7- 3z +3=0 即 x+7y- 3z- 59=0 39, 设平面过点 1,2,- 1, 而在 x 轴与 z 轴上的截距都等于在 程, 解: 设平面在 y 轴上的截距为 b就平面方程可定为 x y z 12b b 2b 又1,

27、2, - 1在平面上 ,就有 1211 2b 2b b 得 b=2 , 故所求平面方程为 x y z 11,2三点的平面方程, 42440, 求过 1,1,- 1, - 2,- 2,2与 1,- 解: 由平面的三点式方程知 y 轴上的截距的两倍 ,求此平面方 第 10 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 x x1 y y1 z z1 y 0z 10z2x2x1y2y1z1x3 x1 y3 y1 z3 z1 1x 1代入三已知点 ,有 212121111121化简得 x- 3y- 2z=0 即为所求平面方程, 41, 指出以下各平面的特殊位置 ,并画出其图形 : 1

28、y =0; 2 3 x- 1=0; 3 2 x- 3y- 6=0; 4 x y =0; 5 2 x- 3y+4z=0 , 解:1 y =0 表示 xOz 坐标面 如图 7-2 2 3 x- 1=0 表示垂直于 x 轴的平面, 如图 7-3 图 7-2 图 7-3 3 2x- 3y- 6=0 表示平行于 z 轴且在 x 轴及 y 轴上的截距分别为 x=3 与 y =- 2 的平面, 如图 7-4 4 x y=0表示过 z 轴的平面 如图 7-55 2 x- 3y+4z=0 表示过原点的平面 如图 7-6, 图 7-4 图 7-5 图 7-6 42, 通过两点 1,1,1, 与 2,2,2 作垂直

29、于平面 x+y- z=0 的平面, 解: 设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 就其法向量为 n= A,B,C 已知平面法向量为 n1 =1,1,-1 B. 过已知两点的向量 l=1,1,1 由题知 nn1=0, nl =0 即 A B C0C0, A A B C0第 11 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 所求平面方程变为 Ax- Ay+D=0 又点 1,1,1 在平面上 ,所以有 D =0 故平面方程为 x- y=0, 43, 准备参数 k 的值 ,使平面 x+ky- 2z=9 适合以下条件 : 1 经过点 5,- 4,6; 2 与平面 2x- 3y+z=0

30、 成 的角, 4 解:1 因平面过点 5,- 4,6 故有 5- 4k- 2 6=9 得 k=- 4, 2 两平面的法向量分别为 n1=1, k,- 2 n 2=2, - 3,1 的平面, 且 cos n1 n2 3k 14 cos 42| n | n | 2 5 k 2解得 k 70 244, 确定以下方程中的 l 与 m: 1 平面 2x+ly+3 z- 5=0 与平面 mx- 6y- z+2=0 平行 ; 2 平面 3x- 5y+lz- 3=0 与平面 x+3y+2z+5=0 垂直, 解:1 n 1=2, l ,3, n 2= m,- 6,- 1 n P n 22l3m2 ,l 318

31、m612 n 1=3, - 5, l , n 2=1,3,2 n1 n 2 3153l20l6. 45, 通过点 1,- 1,1作垂直于两平面 x- y+z- 1=0 与 2x+y+z+1=0 解: 设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D =0 其法向量 n= A,B,C n1=1, - 1,1, n2=2,1,1 2 n n1 A B C 0 A 3 Cn n2 2 A B C 0 C B 3又1, 1,1在所求平面上 ,故 A B+C+D =0,得 D=0 故所求平面方程为 2Cx Cy Cz 0 33即 2x- y- 3z=0 46, 求平行于平面 3x- y+7 z=5, 且垂直于向量

32、 解: n1=3, - 1,7, n 2=1, - 1,2 , n n1 , n n 2 i - j+2k 的单位向量, 高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 故 nn1 n2 17i73j31k 5i j 2k 122111就 e n15i j 2 k . 30 47, 求以下直线与平面的交点 : 1 x 1y 1 z , 62x+3y+z- 1=0; 122 x 2y 1z 3, x+2y- 2z+6=0 , 232x 1 t 解:1 直线参数方程为 y 12t z 6t 代入平面方程得 t=1 故交点为 2,- 3,6, x 12 2t 2 直线参数方程为 y 3t z 32t

33、代入平面方程解得 t=0, 故交点为 - 2,1,3, 48, 求以下直线的夹角 : 1 5x 3y 3z 1900与 2x 2 y z 23 0; 3x 2 y z 3x 8y z 18 02 x 2y 3z 1与 y 3z 812412 3x 1解:1 两直线的方向向量分别为 : ijk s1=5, - 3,3 3, - 2,1= 533=3,4, - 1 321ijk s2=2,2, - 1 3,8,1= 221=10, - 5,10 381由 s1 s2=310+4- 5+ - 110=0知 s1s2从而两直线垂直 ,夹角为 2, 第 13 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版

34、下册课后答案习题全 2 直线 x 2y 3z 1 的方向向量为 s1 =4, - 12,3, 直线 y 3z 8的方程可变 12412 3x 1为 2 y z 20,可求得其方向向量 s2=0,2, - 1 1,0,0=0, - 1, - 2, 于就是 x 10cos s1s2 6s1 s2 13 5 78 5 49, 求中意以下各组条件的直线方程 : 1 经过点 2,- 3,4,且与平面 3x- y+2z- 4=0 垂直 ; 2 过点 0,2,4,且与两平面 x+2z=1 与 y- 3z=2 平行 ; 3 过点 - 1,2,1,且与直线 x y 3 z 1平2 1 3 行, 解:1 可取直线

35、的方向向量为 s=3, - 1,2 故过点 2,- 3,4的直线方程为 x 2 y 3 z 43 1 22 所求直线平行两已知平面 ,且两平面的法向量 n 1 与 n2 不平行 ,故所求直线平行于两平面的 交线 ,于就是直线方向向量 s n1 n 2 ijk 2,3,1 102013故过点 0,2,4 的直线方程为 x y 2 z 42 3 13 所求直线与已知直线平行 ,故其方向向量可取为 s=2, - 1,3 故过点 - 1,2,1的直线方程为 x 1 y 2 z 1 , 2 1 350, 试定出以下各题中直线与平面间的位置关系 : 1 x 3 y 4 z 与 4x- 2y- 2z=3;

36、2 7 32 x y z 与 3x- 2y+7z=8; 3 2 73 x 2 y 2 z 3 与 x+y+z=3, 3 1 4解: 平行而不包含, 由于直线的方向向量为 s= - 2,- 7,3 平面的法向量 n=4, - 2,- 2, 所以 第 14 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 s n 2 4 7 2 3 2 0于就是直线与平面平行, 又由于直线上的点 M 0- 3,- 4,0代入平面方程有 4 3 2 4 2043 ,故直线 不在平面上, 2 因直线方向向量 s 等于平面的法向量 ,故直线垂直于平面, 3 直线在平面上 ,由于 3 1 1 1 4 1 0

37、 ,而直线上的点 2,- 2,3在平面上, 51, 求过点 1,- 2,1, 且垂直于直线 x 2y z 3 0 x y z 3 0的平面方程, 解: 直线的方向向量为 ijk i2 j 3k , 121111取平面法向量为 1,2,3, 故所求平面方程为 1 x 1 2 y 2 3 z 1 0即 x+2y+3z=0, 52, 求过点 1,- 2,3与两平面 2x- 3y+z=3, x+3y+2z+1=0 的交线的平面方程, 解: 设过两平面的交线的平面束方程为 2 x 3 y z 3 x 3y 2 z 1 0其中 为待定常数 ,又由于所求平面过点 1,- 2,3 故 213 2 331 3

38、2 23 1 0解得 =- 4, 故所求平面方程为 2x+15 y+7 z+7=0 53, 求点 - 1,2,0在平面 x+2 y- z+1=0 上的投影, 解: 过点 - 1,2,0 作垂直于已知平面的直线 ,就该直线的方向向量即为已知平面的法向量 ,即 s=n=1,2, - 1 所以垂线的参数方程为 x 1 t y 22t z t 将其代入平面方程可得 - 1+t+22+2 t- - t+1=0 得 t 2 35 , 2 , 2 3 3 3 于就是所求点 - 1,2,0 到平面的投影就就是此平面与垂线的交点 第 15 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 54,

39、求点 3,- 1,2到直线 x y z 10的距离, 02x y z 4 解: 过点 3,- 1,2作垂直于已知直线的平面 i j k 即 n s 1 1 1 3 j 3k 2 1 1故过已知点的平面方程为 y+z=1, x y z 10联立方程组 2 x y z 4 0y z 1解得 x 1, y 1 , z 2 3 . 21 3 即 1, , 为平面与直线的垂足 2 2 ,平面的法向量可取为直线的方向向量 于就是点到直线的距离为 d 1 3 2 11 2 32 2 32. 2 2 255, 求点 1,2,1 到平面 x+2y+2z- 10=0 距离, 解: 过点 1,2,1 作垂直于已知平

40、面的直线 ,直线的方向向量为 s=n=1,2,2 x 1 t 所以垂线的参数方程为 y 2 2t z 1 2t 将其代入平面方程得 t 1, 34 8 5 1 2 2 2 2 2 故垂足为 , , ,且与点 1,2,1 的距离为 d 13 3 3 3 3 3即为点到平面的距离, 56, 建立以点 1,3,-2 为中心 ,且通过坐标原点的球面方程, 解: 球的半径为 R 1 2 3 2 2 214. 设 x,y,z为球面上任一点 ,就 x- 12+ y- 3 2+z+2 2=14 即 x2 +y2+z2- 2x- 6y+4z=0 为所求球面方程, 57, 一动点离点 2,0,- 3的距离与离点

41、4,- 6,6的距离之比为 3,求此动点的轨迹方程, 解: 设该动点为 M x,y,z,由题意知 x 2 2 y 2 0 z 2 3 3. x 2 4 y 62 z 62化简得 :8x2+8 y2+8z2 - 68x+108y- 114z+779=0 即为动点的轨迹方程, 58, 指出以下方程所表示的就是什么曲面 ,并画出其图形 : 第 16 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 1 x a2y ; a22 2 x 4z 2 y 91; 23 2 x 92 z 1 ; 4 y2 0 ; 42 5 x 2 y 0 ; 6 2 x 2 y 0 , 解:1 母线平行于 z

42、轴的抛物柱面 ,如图 7-7, 2 母线平行于 z 轴的双曲柱面 ,如图 7-8, 图 7-7 图 7-8 3 母线平行于 y 轴的椭圆柱面 ,如图 7-9, 图 7-10 4 母线平行于 x 轴的抛物柱面 ,如图 7-10, 图 7-9 5 母线平行于 z 轴的两平面 ,如图 7-11, 6 z 轴 ,如图 7-12, 图 7-11 图 7-12 59, 指出以下方程表示怎样的曲面 ,并作出图形 : 2 22 y z 2 21 x 1 ; 2 36 x 9 y 4 z 36 ; 4 92 2 2 22 y z 2 y z 3 x 1 ; 4 x 11 ; 4 9 4 9第 17 页,共 15

43、6 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 2 5 x 2 y 2 z 0 , 图 7-14 9解:1 半轴分别为 1,2,3 的椭球面 ,如图 7-13, 2 顶点在 0,0,- 9的椭圆抛物面 ,如图 7-14, 图 7-13 3 以 x 轴为中心轴的双叶双曲面 ,如图 7-15, 4 单叶双曲面 ,如图 7-16, 图 7-15 图 7-16 5 顶点在坐标原点的圆锥面 ,其中心轴就是 z 轴 ,如图 7-17, 图 7-17 60, 作出以下曲面所围成的立体的图形 : 1 x2+y2+z2=a2 与z=0,z= aa0; 23 z=4 - x 2, x=0, y=0, z=0

44、及 2x+y=4; 2 x+y+z=4, x=0, x=1,y=0, y=2 及 z=0; 4 z=6- x 2+y 2,x=0, y=0, z=0 及 x+y=1, 解:1234 分别如图 7-18,7-19,7-20,7-21 所示, 第 18 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 图 7-18 图 7-19 图 7-20 图 7-21 61, 求以下曲面与直线的交点 : y 4z 2; 1 x 2 81 y 2 36 z 2 91 与 x 33y 642 x 2 16 y 2 9z 2 4x 1 与 4z 2, 43解:1 直线的参数方程为 x 3 3t y 4

45、 6t z 2 4t 代入曲面方程解得 t=0, t=1, 得交点坐标为 3,4,- 2,6,- 2,2, 2 直线的参数方程为 x 4t y 3t z 2 4t 代入曲面方程可解得 t=1, 得交点坐标为 4,- 3,2, 62, 设有一圆 ,它的中心在 z 轴上 ,半径为 3,且位于距离 xOy 平面 5 个单位的平面上 ,试建立 这个圆的方程, 解: 设 x,y,z为圆上任一点 ,依题意有 第 19 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 2 x 2 y 9z 5即为所求圆的方程, 63, 试考察曲面 x 2 9y 2 25 z 2 41 在以下各平面上的截痕的形

46、状 ,并写出其方程, 1 平面 x=2; 2 平面 y=0; 3 平面 y=5; 4 平面 z=2, 52 y 22 z 1解:1 截线方程为 35 2 35 2 x 2其形状为 x=2 平面上的双曲线, 2 截线方程为 2 x 02 z 194y 为 xOz 面上的一个椭圆, 3 截线方程为 2 x 2 z 13 2 2 2 2 2 y 5为平面 y=5 上的一个椭圆, 4 截线方程为 2 x 22 y 0925 z 为平面 z=2 上的两条直线, 64, 求曲线 x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2 在xOy 面上的投影曲线, 解: 以曲线为准线 ,母线平行于 z 轴的柱面方程为 2

47、 x 2 y a2x 2 y2 a22故曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为 2z 065, 建立曲线 x2+y2=z, z=x+1 在 xOy 平面上的投影方程, 解: 以曲线为准线 ,母线平行于 z 轴的柱面方程为 5 x 2+y 2=x+1 即 x 1 2 2 y 2 4, 第 20 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 故曲线在 xOy 平面上的投影方程为 x 122 y 524z 0习题八 1, 判定以下平面点集哪些就是开集,闭集,区域,有界集,无界集？并分别指出它们的聚 点集与边界 : 1 x, y|x 0; 2 x, y|1x 2 +y 24; 3 x,

48、 y|yx2; 4 x, y|x-12 +y2 1 x, y|x+12+y21 , 解:1 开集,无界集 ,聚点集 :R2,边界 : x, y|x=0 , 2 既非开集又非闭集 ,有界集 , 聚点集 : x, y|1 x2+y2 4, 边界 : x, y|x2+y2 =1 x, y| x2+y2=4 , 3 开集,区域,无界集 , 聚点集 : x, y|y x2, 边界 : x, y| y=x2 , 4 闭集,有界集 ,聚点集即就是其本身 , 边界 : x, y|x-12+y2=1 x, y|x+1 2+y2=1 , 2, 已知 fx, y=x2+y 2-xytan x ,试求 f tx, t

49、y , 1y 1 x ; y y2 ; y 解: f tx, ty tx2 2 ty tx ty tan tx ty t2 f x, y. 3, 已知 f u, v, w u w w u v ,试求 f x y, x y, xy. 解: f x + y, x-y, x y = x + yxy+ x yx+ y+x -y 4, 求以下各函数的定义域 : = x + yxy+x y2x, 1z 2 ln y 2x 1; 2 z x 3 z 4x 2 y 2 ; y 4 u 111 ; z ln1 2 x x y 5 z x y ; 6 z x ln y x 1x2 第 21 页,共 156 页高等

50、数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 7u arccos 2 x z 2 y . 0, x2y2 0. 解: 1D 2 x, y | y 2 x 1 0. 2 D x, y | x y 0, x y 0. 3 D x, y | 4 x y2 0,1 x2 y2 4 D x, y, z | x 0, y 0, z 0. 1. 0. 5 D x, y | x 0, y 2 0, x y. 6 D x, y | y x 0, x 2 0, x 2 y 7 D x, y, z | x2y2 0, x2y2 z 2 5, 求以下各极限 : 1lim x 1y 0ln x e y 2 ; y ln 2

51、. 2lim x 0y 02 x 12 y ; 2 x 3lim x 0y 02xy 4; 4lim x 0y 0 xy ; xy 1 1 xy 5lim x 0y 0sin xy; x 6lim x 0 y 02 1 cos x x2y y 2 . x2y2 e解:1 原式 = ln1 e 0 2 02 12 原式 =+ , 3 原式 = lim x 0y 04xy 44 1. y y 2 2 0. xy2 xy 44 原式 = lim x 0y 0 xy xy 1 1 2. xy 115 原式 = lim x 0y 0sin xy xy y 10 0. 6 原式 = lim x 0y 01

52、2 x 2 2 y lim x 0y 0 x 2 x 2 2e 2 2 x 2 x 2y e y 2第 22 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 6, 判定以下函数在原点 O0,0处就是否连续 : x y 3 sinx 3 y 1z 3 sin x 3 y 2 , y 2 x 2 y 0, 2 x 0, 2 x 2 y 0; 2 z 3 sin x 3x 33 x 3 y 0, y 3 y , 0, 3 x 3 y 0; 3 2 z 2 2x y 2 2x y 2 y , 2 x 2 y 0, x 0, x2 y2 0; 解:1 由于 03 sinx 3 y 3 x

53、 3 y 3 sin x 3 y x2 y 2 x 2 y2 x 3 y 3 x 3 y 3 又 lim x 0y 0 x y 0 ,且 lim x 0y 03 sin x 3 y lim u 0 sin u 1, 3 x 3 y u故 lim z x 0y 00 z0,0 , 故函数在 O0,0处连续, 2 lim z x 0y 0lim u 0 sinu 1 z0,0 0u故 O0,0就是 z 的间断点, 3 如 Px,y 沿直线 y=x 趋于 0,0 点 ,就 lim x 0y x 0 z lim x 0 x2 x x2 x 01 , 2 2 如点 Px,y 沿直线 y=- x 趋于 0

54、,0 点,就 x y lim z 0 x 0 lim x 0 2 x 2 2x x 2 x 2 4 x lim x 0 2 x 2x 40y 0, 故 lim z 不存在,故函 z 在 O0,0处不连续, 数 x 0y 07, 指出以下函数在向外间断 : 2 f x,y= 2 y 2 y 2 x 2x ; 1 f x,y= x 2 y ; 3 x 3 y 3 f x,y=ln1 x2 y2; 4f x,y= x 2 y x 2 e y 2 , 0, y 0. 第 23 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 解:1 由于当 y=- x 时,函数无定义 ,所以函数在直线

55、连续, 2 由于当 y2=2x 时 ,函数无定义 ,所以函数在抛物线 处均连续, y=- x 上的全部点处间断 ,而在其余点处均 y2=2 x 上的全部点处间断,而在其余各点 3 由于当 x 2+y 2=1 时 ,函数无定义 ,所以函数在圆周 x 2+y 2=1 上全部点处间断, 而在其余各点处 均连续, 4 由于点 Px,y沿直线 y=x 趋于 O0,0时, x y x lim 00 f x, y lim x 0 x x 2 e 1, 故0,0 就是函数的间断点 ,而在其余各点处均连续, 8, 求以下函数的偏导数 : 1 z = x2y+ y x 2 ; 2s = u 2uv v 2; 3

56、z = xln x 2y ; 24z = lntan x ; y 5 z = 1+ xy y; 6u = z xy; y 7 u = arctanx- y z; 8 u x z , 解:1 z x 2 xy y 12 , z y x 2 2 x y .32 s uv u v u s 1v u v 2 , s v v u2 1u . 2z 2 2 1 1 1 2 2 x 3 x ln x y x x 2y 22 x 2y 2 2x 2 ln x y x 2y 2 , z 1 1 xy y x x 2y 22 x 2y 2 2 y x 2y 2 . z 1 2 x 1 2 2x 4 sec csc

57、 , x tan x y y y y y z 1 2 x x 2 x 2x y tan x sec y y 2 y 2 csc y . y 5 两边取对数得 ln z y ln1 xy 2故 z x 1 xy yy ln1 xy x 1 xy y1 xy y y 2 1 xy y 1. 第 24 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 z y 1 xy y ln1 xy y 1 xy y ln1 xy y 1x xy y 1 y xy ln1 xy 1xy . xy 6 uxy ln z z y uxy ln z z x uxy 1 xy z x y z 7 u1z 2

58、 y z x z 1 y z x z 1 y . x 1 x 1 x 2 z y uz x z y 1 1 z x y z 12 z .y 1 x z 2 y 1 x y u x yz ln x y x y z ln x y . z 1 x z 2 y 1 x 2 z y 8 uy y x z z 1. x uy ln x 11y ln x. x z x z y z z uy y y y x ln x x ln x. z 2 z 2 z 9,已知 u2 2x y ,求证 : x uy u3u,x y x y 证明 : u2 2 xy x 2 2 y x y 2 2x y 3 2 xy , x

59、x 2 y x 2 y 由对称性知 u2 2 x y 3 2yx , y x y2于就是 x uy u2 23x y x y 3u , x y x 2 y 10,设 z e11,求证 : x2z y2 z 2 z,x y x y 证明 : z e111 2 x 1 2 x e1 1 , x y x y x 由 z 关于 x,y 的对称性得 第 25 页,共 156 页高等数学复旦高校出版第三版下册课后答案习题全 z 1e 2y 1112z. x y y 故 x2 z y 2 z x2 1e1 1 y2 1e1 1 2e 1x y x y x y x y x 2 y2 11,设 f x,y =

60、x+y-1arcsin x ,求 fxx,1 , y 解: f x, y 1 y 1 11x 221x 1y y y 就 fx x,1 10 1 ,12,求曲线 z 2 x 42 y 在点 2,4,5 处的切线与正向 x 轴所成的倾角, y 4解: z 1 x, 2z 1, x x 2,4,5 设切线与正向 x 轴的倾角为 , 就 tan=1, 故 = 4, 13,求以下函数的二阶偏导数 : 1 z = x 4+ y4- 4x2y2; 2z = arctan y ; x 3 z = y x; 4z = e2 x y , 解:1 z 3 4 x 2 8 xy , z 2 12 x 2 8 y ,