高考文数考点解析离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差

1、考点 46 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、挑选题1. 2022 全国甲卷文T11从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张 ,就抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为 A.1 B. 错误！未找到引用源； C. 错误！未找到引用源； D. 错误！未找到引用源；10【命题意图】基本领件和概率 ,意在考查同学的规律思维才能和运算才能 .【解析】选 D.如表所示 ,表中的点横坐标表示第一次取到的数 ,纵坐标表示其次次取到的数12345i =0=1-p i ,i=1 ,2. 如11,11,21,31,41,522,12

2、,22,32,42,533,13,23,33,43,544,14,24,34,44,555,15,25,35,45,5总计有 25 种情形 ,满意条件的有10 种,所以所求概率为10=2 5. 252. 2022浙 江 高 考 T8 已 知 随 机 变 量 i 满 足Pi =1=p i ,P 0p1p21 2,就2A.E1E2,D1DB.E1D2C.E1E2,D1E2,D1D2【命题意图】此题主要考查随机变量及其分布 的均值和方差的运算才能 .,意在考查同学对两点分布中的随机变量【解析】选A. 依据已知得i i=1 ,2听从两点分布,由两点分布的均值和方差知E0p1p21 2, 所 以E 1=

3、p1p2=E 2,D 1-D i =pi ,D i =pi 1-p i , 因 为2=p1-2 p - p2-2 p =p1-p21p 1p 2,已知p1p2,p1+p21,所以D1-D20,即 D1D2.二、简答题1. 2022 天津高考理科T16从甲地到乙地要经过 3 个十字路口 ,设各路口信号灯工作相互独立 ,且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 2, 1 3, 1 .1设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 .2如有 2 辆车独立地从甲地到乙地 ,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 .【命题意图】此题考查概率、离散型随机变量分布列和数学期望

4、等学问 . 考查运用概率学问解决实际问题的才能 .【解析】 1随机变量 X 的全部可能取值为 0,1,2,3.PX=0= 1 11 11 1 =1 ,2 3 4 4PX=1=11 11 1 + 1 111 1 + 1 11 11 =11 ,2 3 4 2 3 4 2 3 4 24PX=2=111 31 4+1 2111 4+1 21 311=1 4,.234PX=3=1 21 31 4=1 24.+111 24+21 4+31 24=13 12所以 ,随机变量X 的分布列为X0123P1111424424随机变量X 的数学期望EX=01 42设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示其次辆车

5、遇到红灯的个数,就所求大事的概率为 PY+Z=1=PY=0,Z=1+PY=1,Z=0=PY=0PZ=1+PY=1PZ=0=1 4 11 +11 24 1 =1148 .所以 ,这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 11 .48【反思总结】在 1中,精确算出随机变量每个可能值的概率是列出分布列 ,求出数学期望的关键 . 运算随机变量每个可能值的概率时 ,比较琐碎、复杂 ,肯定要耐心、细致 ,否就 ,其中有一个概率算错了 ,后面就全错了 .2. 2022 江苏高考T23已知一个口袋有 m个白球 ,n 个黑球 m,n N*,n 2,这些球除颜色外全部相同 . 现将口袋中的球随机地逐个取出 ,并放入

6、如下列图的编号为 1,2,3, ,m+n的抽屉内 ,其中第 k 次取球放入编号为123m+nk 的抽屉 k=1,2,3, ,m+n.1试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p.2随机变量 X 表示最终一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数 ,EX是 X 的数学期望 ,证明 :EX n .m n n 1【命题意图】主要考查古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望的求法 ,突出考查考生利用数学相关学问解决实际问题的才能.p 为 :p=C m n n 11=mnn.【解析】 1编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率n C m n2随机变量X 的概率分布为:X1n11n121m1nnkPn C n1 1n

7、 C n1n C n1n C k1 1n 1C m n11n C m nCn m nn C mnn C m nn C m n随机变量X 的期望为 :EX=m n1n C k1 1=m n1nk1 .n. .:knkCn m nk nk1 .k所以 EX1m nnk2 .n.n C m nkn1 .k=n1n C m nm nnk2 .n.k n2 .k1=n1Cn1+Cn2+Cn2+Cn22n1nm n1m n=n1CnCn1+Cn2+Cn2+Cn22n1n1nm n1m n=n1CnCn1+Cn2+Cn22nnm n1m n=n1CnCn12+n 2C m n2m n1m n=nn 1C m

8、 n1=mnnn11n C m n所以 EXmnn1.n【反思总结】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为第一步是“ 判定取值”,即判定随机变量的全部可能取值 ,以及取每个值所表示的意义 ;其次步是“ 探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式 常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥大事的概率和公式、独立大事的概率积公式 ,以及对立大事的概率公式等 ,求出随机变量取每个值时的概率 ;第三步是“ 写分布列”,即按规范形式写出分布列 ,并留意用分布列的性质检验所求的分布列或某大事的概率是否正确 ;第四步是“ 求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 ,对于有些实际问题中的

9、随机变量 ,假如能够肯定它听从某常见的典型分布 如二项分布 XBn,p,就此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式EX=np求得 .3. 2022 北京高考理科T17为了讨论一种新药的疗效 ,选 100 名患者随机分成两组 ,每组各 50 名 ,一组服药 ,另一组不服药 . 一段时间后 ,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据 ,并制成下图 ,其中“ ” 表示服药者 ,“ +” 表示未服药者 .1从服药的 50 名患者中随机选出一人 ,求此人指标 y 的值小于 60 的概率 .2从图中 A,B,C,D四人中随机选出两人 ,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数 ,求

10、 的分布列和数学期望 E .3试判定这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 . 只需写出结论 【命题意图】此题主要考查统计中的概率与期望方差的学问 与运算才能 .,意在培育同学的识图才能【解析】 1由图可知 ,在 50 名服药患者中,有 15 名患者指标y 的值小于60,就从服药的50 名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60 的概率为15即3 10.,502由图 ,A,C两人指标 x 的值大于1.7 ,而 B,D两人就小于1.7 ,可知在四人中随机选出两人 的可能取值为0,1,2.且 p =0=1=1 6,p =1=1 C C1=2 3,22

11、 C 42 C 4p =2=12 =1,C64分布列如下 0 1 2p 1 2 16 3 6E =01 +12 +21 =1,即所求数学期望为 1.6 3 63由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大 . 5. 2022 全国丙卷 理科T18 12 分某超市方案按月订购一种酸奶 ,每天进货量相同 ,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元 ,未售出的酸奶降价处理 ,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 依据往年销售体会 ,每天需求量与当天最高气温 单位 :有关 . 假如最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;假如最高气温位于区间 20,25 ,需求

12、量为 300 瓶;假如最高气温低于 20,需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购方案 ,统计了前三年六月份各天的最高气温数据 ,得下面的频数分布表 :最高 10,15 15,20 20,25 25,30 30,35 35,40气温天216362574数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 .1求六月份这种酸奶一天的需求量X单位 :瓶的分布列 .2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位 :元 ,当六月份这种酸奶一天的进货量n单位 :瓶为多少时 ,Y 的数学期望达到最大值 .【解析】 1由题意得 ,X 的可能取值为 200,300,500. 依据题意 ,结合频数分布表 ,

13、用频率估计概率可知PX200=216=1 5,PX300=36 90=2 5, 90PX500=2574=2 5,X 的分布列为 :90所以六月份这种酸奶一天的需求量X200300500P1225552当 200n300 时 ,如 X=200,就 Y=6-4 X+2-4 n-X =4X-2n=800-2n ,PY8002 n =15.如 X=300 时 ,就 Y= 64 n=2n,PY2 n =2 5,如 X=500 时 ,就 Y= 64 n=2n,PY2 n =25.所以 Y 的分布列为 :Y800-2n2n2n2n +2 5 2n+2 5 2n=6 5n+160,P122555所以 EY=

14、1 5 800所以当 n=300 时,EYmax=520元.当 300n500 时,如 X=200,就 Y=6-4 X+2-4 n-X =800-2n ,PY=800-2n =1.5如 X=300 时 ,就 Y=6-4 X+2-4 n-X=1200-2n ,PY=1200-2n =2.5如 X=500 时 ,就 Y=6-4 n=2n,PY=2n=2.5所以 Y 的分布列为 :Y800-2n1 2n200-2nP 1 2 25 5 5所以 EY=1 5 800-2n + 2 5 1200-2n + 25 2n=-2 n+640-2 300+640=520元.5 5综上 ,当 n 为 300 瓶时

15、 ,Y 的数学期望达到最大值 .6. 2022 山东高考理科T18在心理学讨论中 ,常采纳对比试验的方法评判不同心理暗示对人的影响 ,详细方法如下 :将参与试验的理想者随机分成两组 ,一组接受甲种心理暗示 ,另一组接受乙种心理示意 ,通过对比这两组理想者接受心理示意后的结果来评判两种心理示意的作用 ,现有 6 名男理想者 A1,A2,A3,A4,A5,A6 和 4 名女理想者 B1,B2,B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理示意 ,另 5 人接受乙种心理示意 .1求接受甲种心理示意的理想者中包含 A1 但不包含 B3的频率 .2用 X 表示接受乙种心理示意的女理想者人数 ,求 X 的分布列与数学期望 EX.【命题意图】此题考查古典概型概率的求解以及随机变量期望求解 ,意在考查考生运算求解才能与分析问题、解决问题的才能 .【解析】 1记接受甲种心理示意的理想者中包含 A1 但不包含 B3的大事为 M,4就 PM= c5